Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvbase Structured version   Unicode version

Theorem lcdvbase 35541
Description: Vector base set of a dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvbase.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdvbase.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcdvbase.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdvbase.v  |-  V  =  ( Base `  C
)
lcdvbase.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcdvbase.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcdvbase.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcdvbase.b  |-  B  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcdvbase.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
lcdvbase  |-  ( ph  ->  V  =  B )
Distinct variable groups:    f, F    f, K    f, W
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    C( f)    U( f)    H( f)    L( f)    ._|_ ( f)    V( f)

Proof of Theorem lcdvbase
StepHypRef Expression
1 lcdvbase.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  C
)
2 lcdvbase.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 lcdvbase.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcdvbase.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
5 lcdvbase.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 lcdvbase.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  U )
7 lcdvbase.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  U )
8 eqid 2451 . . . . 5  |-  (LDual `  U )  =  (LDual `  U )
9 lcdvbase.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 lcdvbase.b . . . . 5  |-  B  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lcdval2 35538 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =  ( (LDual `  U )s  B ) )
1211fveq2d 5790 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  C
)  =  ( Base `  ( (LDual `  U
)s 
B ) ) )
131, 12syl5eq 2503 . 2  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  ( (LDual `  U
)s 
B ) ) )
14 ssrab2 3532 . . . . 5  |-  { f  e.  F  |  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) }  C_  F
1510, 14eqsstri 3481 . . . 4  |-  B  C_  F
16 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  (LDual `  U )
)  =  ( Base `  (LDual `  U )
)
172, 5, 9dvhlmod 35058 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
186, 8, 16, 17ldualvbase 33074 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (LDual `  U ) )  =  F )
1915, 18syl5sseqr 3500 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  (LDual `  U )
) )
20 eqid 2451 . . . 4  |-  ( (LDual `  U )s  B )  =  ( (LDual `  U )s  B
)
2120, 16ressbas2 14328 . . 3  |-  ( B 
C_  ( Base `  (LDual `  U ) )  ->  B  =  ( Base `  ( (LDual `  U
)s 
B ) ) )
2219, 21syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( (LDual `  U
)s 
B ) ) )
2313, 22eqtr4d 2494 1  |-  ( ph  ->  V  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2797    C_ wss 3423   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   Basecbs 14273   ↾s cress 14274   LModclmod 17051  LFnlclfn 33005  LKerclk 33033  LDualcld 33071   HLchlt 33298   LHypclh 33931   DVecHcdvh 35026   ocHcoch 35295  LCDualclcd 35534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-riotaBAD 32907
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-iin 4269  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-of 6417  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-tpos 6842  df-undef 6889  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-fz 11536  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-sca 14353  df-vsca 14354  df-0g 14479  df-poset 15215  df-plt 15227  df-lub 15243  df-glb 15244  df-join 15245  df-meet 15246  df-p0 15308  df-p1 15309  df-lat 15315  df-clat 15377  df-mnd 15514  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-mgp 16694  df-ur 16706  df-rng 16750  df-oppr 16818  df-dvdsr 16836  df-unit 16837  df-invr 16867  df-dvr 16878  df-drng 16937  df-lmod 17053  df-lvec 17287  df-ldual 33072  df-oposet 33124  df-ol 33126  df-oml 33127  df-covers 33214  df-ats 33215  df-atl 33246  df-cvlat 33270  df-hlat 33299  df-llines 33445  df-lplanes 33446  df-lvols 33447  df-lines 33448  df-psubsp 33450  df-pmap 33451  df-padd 33743  df-lhyp 33935  df-laut 33936  df-ldil 34051  df-ltrn 34052  df-trl 34106  df-tendo 34702  df-edring 34704  df-dvech 35027  df-lcdual 35535
This theorem is referenced by:  lcdvbasess  35542  lcdlss2N  35568  lcdlsp  35569  hvmap1o2  35713
  Copyright terms: Public domain W3C validator