Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdval Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem lcdval 35203
Description: Dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdval.h |- H = ( LHyp ` K )
lcdval.o |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcdval.c |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
lcdval.u |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcdval.f |- F = (LFnl ` U )
lcdval.l |- L = (LKer ` U )
lcdval.d |- D = (LDual ` U )
lcdval.k |- ( ph -> ( K e. X /\ W e. H ) )
Assertion
Ref Expression
lcdval |- ( ph -> C = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
Distinct variable groups:   f, K   f, F   f, W
Allowed substitution hints:   ph( f)   C( f)   D( f)   U( f)   H( f)   L( f)   ._|_ ( f)   X( f)
Proof of Theorem lcdval
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdval.k . 2 |- ( ph -> ( K e. X /\ W e. H ) )
2 lcdval.c . . . 4 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
3 lcdval.h . . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
43lcdfval 35202 . . . . 5 |- ( K e. X -> (LCDual ` K ) = ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) )
54fveq1d 5894 . . . 4 |- ( K e. X -> ( (LCDual ` K ) ` W ) = ( ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) ` W ) )
62, 5syl5eq 2508 . . 3 |- ( K e. X -> C = ( ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) ` W ) )
7 fveq2 5892 . . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( DVecH ` K ) ` w ) = ( ( DVecH ` K ) ` W ) )
8 lcdval.u . . . . . . . 8 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
97, 8syl6eqr 2514 . . . . . . 7 |- ( w = W -> ( ( DVecH ` K ) ` w ) = U )
109fveq2d 5896 . . . . . 6 |- ( w = W -> (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = (LDual ` U ) )
11 lcdval.d . . . . . 6 |- D = (LDual ` U )
1210, 11syl6eqr 2514 . . . . 5 |- ( w = W -> (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = D )
139fveq2d 5896 . . . . . . 7 |- ( w = W -> (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = (LFnl ` U ) )
14 lcdval.f . . . . . . 7 |- F = (LFnl ` U )
1513, 14syl6eqr 2514 . . . . . 6 |- ( w = W -> (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = F )
16 fveq2 5892 . . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( ( ocH ` K ) ` w ) = ( ( ocH ` K ) ` W ) )
17 lcdval.o . . . . . . . . 9 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
1816, 17syl6eqr 2514 . . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( ocH ` K ) ` w ) = ._|_ )
199fveq2d 5896 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = W -> (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = (LKer ` U ) )
20 lcdval.l . . . . . . . . . . 11 |- L = (LKer ` U )
2119, 20syl6eqr 2514 . . . . . . . . . 10 |- ( w = W -> (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = L )
2221fveq1d 5894 . . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) = ( L ` f ) )
2318, 22fveq12d 5898 . . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) = ( ._|_ ` ( L ` f ) ) )
2418, 23fveq12d 5898 . . . . . . 7 |- ( w = W -> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) )
2524, 22eqeq12d 2477 . . . . . 6 |- ( w = W -> ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) ) )
2615, 25rabeqbidv 3052 . . . . 5 |- ( w = W -> { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } )
2712, 26oveq12d 6338 . . . 4 |- ( w = W -> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
28 eqid 2462 . . . 4 |- ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) = ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) )
29 ovex 6348 . . . 4 |- ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) e. _V
3027, 28, 29fvmpt 5976 . . 3 |- ( W e. H -> ( ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) ` W ) = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
316, 30sylan9eq 2516 . 2 |- ( ( K e. X /\ W e. H ) -> C = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
321, 31syl 17 1 |- ( ph -> C = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   {crab 2753   |-> cmpt 4477   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   ↾s cress 15177  LFnlclfn 32669  LKerclk 32697  LDualcld 32735   LHypclh 33595   DVecHcdvh 34692   ocHcoch 34961  LCDualclcd 35200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pr 4656
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-lcdual 35201
This theorem is referenced by:  lcdval2  35204  lcdlvec  35205  lcdvadd  35211  lcdsca  35213  lcdvs  35217  lcd0v  35225  lcdlsp  35235
  Copyright terms: Public domain W3C validator