Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdval Structured version   Unicode version

Theorem lcdval 35234
Description: Dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdval.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcdval.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcdval.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcdval.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcdval.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcdval.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  X  /\  W  e.  H
) )
Assertion
Ref Expression
lcdval  |-  ( ph  ->  C  =  ( Ds  { f  e.  F  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) } ) )
Distinct variable groups:    f, K    f, F    f, W
Allowed substitution hints:    ph( f)    C( f)    D( f)    U( f)    H( f)    L( f)    ._|_ ( f)    X( f)

Proof of Theorem lcdval
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdval.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  X  /\  W  e.  H
) )
2 lcdval.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
3 lcdval.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
43lcdfval 35233 . . . . 5  |-  ( K  e.  X  ->  (LCDual `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) ) )
54fveq1d 5693 . . . 4  |-  ( K  e.  X  ->  (
(LCDual `  K ) `  W )  =  ( ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) ) `  W ) )
62, 5syl5eq 2487 . . 3  |-  ( K  e.  X  ->  C  =  ( ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) } ) ) `  W ) )
7 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( DVecH `  K ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )
8 lcdval.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
97, 8syl6eqr 2493 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( DVecH `  K ) `  w )  =  U )
109fveq2d 5695 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  (LDual `  U ) )
11 lcdval.d . . . . . 6  |-  D  =  (LDual `  U )
1210, 11syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  D )
139fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  (LFnl `  U ) )
14 lcdval.f . . . . . . 7  |-  F  =  (LFnl `  U )
1513, 14syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  F )
16 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  W
) )
17 lcdval.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
1816, 17syl6eqr 2493 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  ._|_  )
199fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  W  ->  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  (LKer `  U ) )
20 lcdval.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  (LKer `  U )
2119, 20syl6eqr 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  L )
2221fveq1d 5693 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
(LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  =  ( L `  f ) )
2318, 22fveq12d 5697 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  =  (  ._|_  `  ( L `
 f ) ) )
2418, 23fveq12d 5697 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) ) )
2524, 22eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) ) )
2615, 25rabeqbidv 2967 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) }  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) } )
2712, 26oveq12d 6109 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
(LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } )  =  ( Ds  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) } ) )
28 eqid 2443 . . . 4  |-  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) } ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) } ) )
29 ovex 6116 . . . 4  |-  ( Ds  { f  e.  F  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) } )  e. 
_V
3027, 28, 29fvmpt 5774 . . 3  |-  ( W  e.  H  ->  (
( w  e.  H  |->  ( (LDual `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) ) `  W )  =  ( Ds  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) } ) )
316, 30sylan9eq 2495 . 2  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  C  =  ( Ds  { f  e.  F  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) } ) )
321, 31syl 16 1  |-  ( ph  ->  C  =  ( Ds  { f  e.  F  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719    e. cmpt 4350   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   ↾s cress 14175  LFnlclfn 32702  LKerclk 32730  LDualcld 32768   LHypclh 33628   DVecHcdvh 34723   ocHcoch 34992  LCDualclcd 35231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-lcdual 35232
This theorem is referenced by:  lcdval2  35235  lcdlvec  35236  lcdvadd  35242  lcdsca  35244  lcdvs  35248  lcd0v  35256  lcdlsp  35266
  Copyright terms: Public domain W3C validator