Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdval Structured version   Unicode version
Theorem lcdval 36787
Description: Dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdval.h |- H = ( LHyp ` K )
lcdval.o |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcdval.c |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
lcdval.u |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcdval.f |- F = (LFnl ` U )
lcdval.l |- L = (LKer ` U )
lcdval.d |- D = (LDual ` U )
lcdval.k |- ( ph -> ( K e. X /\ W e. H ) )
Assertion
Ref Expression
lcdval |- ( ph -> C = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
Distinct variable groups:   f, K   f, F   f, W
Allowed substitution hints:   ph( f)   C( f)   D( f)   U( f)   H( f)   L( f)   ._|_ ( f)   X( f)
Proof of Theorem lcdval
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdval.k . 2 |- ( ph -> ( K e. X /\ W e. H ) )
2 lcdval.c . . . 4 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
3 lcdval.h . . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
43lcdfval 36786 . . . . 5 |- ( K e. X -> (LCDual ` K ) = ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) )
54fveq1d 5874 . . . 4 |- ( K e. X -> ( (LCDual ` K ) ` W ) = ( ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) ` W ) )
62, 5syl5eq 2520 . . 3 |- ( K e. X -> C = ( ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) ` W ) )
7 fveq2 5872 . . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( DVecH ` K ) ` w ) = ( ( DVecH ` K ) ` W ) )
8 lcdval.u . . . . . . . 8 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
97, 8syl6eqr 2526 . . . . . . 7 |- ( w = W -> ( ( DVecH ` K ) ` w ) = U )
109fveq2d 5876 . . . . . 6 |- ( w = W -> (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = (LDual ` U ) )
11 lcdval.d . . . . . 6 |- D = (LDual ` U )
1210, 11syl6eqr 2526 . . . . 5 |- ( w = W -> (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = D )
139fveq2d 5876 . . . . . . 7 |- ( w = W -> (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = (LFnl ` U ) )
14 lcdval.f . . . . . . 7 |- F = (LFnl ` U )
1513, 14syl6eqr 2526 . . . . . 6 |- ( w = W -> (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = F )
16 fveq2 5872 . . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( ( ocH ` K ) ` w ) = ( ( ocH ` K ) ` W ) )
17 lcdval.o . . . . . . . . 9 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
1816, 17syl6eqr 2526 . . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( ocH ` K ) ` w ) = ._|_ )
199fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = W -> (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = (LKer ` U ) )
20 lcdval.l . . . . . . . . . . 11 |- L = (LKer ` U )
2119, 20syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10 |- ( w = W -> (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = L )
2221fveq1d 5874 . . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) = ( L ` f ) )
2318, 22fveq12d 5878 . . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) = ( ._|_ ` ( L ` f ) ) )
2418, 23fveq12d 5878 . . . . . . 7 |- ( w = W -> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) )
2524, 22eqeq12d 2489 . . . . . 6 |- ( w = W -> ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) ) )
2615, 25rabeqbidv 3113 . . . . 5 |- ( w = W -> { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } )
2712, 26oveq12d 6313 . . . 4 |- ( w = W -> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
28 eqid 2467 . . . 4 |- ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) = ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) )
29 ovex 6320 . . . 4 |- ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) e. _V
3027, 28, 29fvmpt 5957 . . 3 |- ( W e. H -> ( ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) ` W ) = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
316, 30sylan9eq 2528 . 2 |- ( ( K e. X /\ W e. H ) -> C = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
321, 31syl 16 1 |- ( ph -> C = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   {crab 2821   |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   ↾s cress 14508  LFnlclfn 34255  LKerclk 34283  LDualcld 34321   LHypclh 35181   DVecHcdvh 36276   ocHcoch 36545  LCDualclcd 36784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-lcdual 36785
This theorem is referenced by:  lcdval2  36788  lcdlvec  36789  lcdvadd  36795  lcdsca  36797  lcdvs  36801  lcd0v  36809  lcdlsp  36819
  Copyright terms: Public domain W3C validator