Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdval Structured version   Unicode version

Theorem lcdval 36787
Description: Dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdval.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcdval.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcdval.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcdval.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcdval.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcdval.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  X  /\  W  e.  H
) )
Assertion
Ref Expression
lcdval  |-  ( ph  ->  C  =  ( Ds  { f  e.  F  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) } ) )
Distinct variable groups:    f, K    f, F    f, W
Allowed substitution hints:    ph( f)    C( f)    D( f)    U( f)    H( f)    L( f)    ._|_ ( f)    X( f)

Proof of Theorem lcdval
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdval.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  X  /\  W  e.  H
) )
2 lcdval.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
3 lcdval.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
43lcdfval 36786 . . . . 5  |-  ( K  e.  X  ->  (LCDual `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) ) )
54fveq1d 5874 . . . 4  |-  ( K  e.  X  ->  (
(LCDual `  K ) `  W )  =  ( ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) ) `  W ) )
62, 5syl5eq 2520 . . 3  |-  ( K  e.  X  ->  C  =  ( ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) } ) ) `  W ) )
7 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( DVecH `  K ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )
8 lcdval.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
97, 8syl6eqr 2526 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( DVecH `  K ) `  w )  =  U )
109fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  (LDual `  U ) )
11 lcdval.d . . . . . 6  |-  D  =  (LDual `  U )
1210, 11syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  D )
139fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  (LFnl `  U ) )
14 lcdval.f . . . . . . 7  |-  F  =  (LFnl `  U )
1513, 14syl6eqr 2526 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  F )
16 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  W
) )
17 lcdval.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
1816, 17syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  ._|_  )
199fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  W  ->  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  (LKer `  U ) )
20 lcdval.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  (LKer `  U )
2119, 20syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  L )
2221fveq1d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
(LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  =  ( L `  f ) )
2318, 22fveq12d 5878 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  =  (  ._|_  `  ( L `
 f ) ) )
2418, 23fveq12d 5878 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) ) )
2524, 22eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) ) )
2615, 25rabeqbidv 3113 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) }  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) } )
2712, 26oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
(LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } )  =  ( Ds  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) } ) )
28 eqid 2467 . . . 4  |-  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) } ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) } ) )
29 ovex 6320 . . . 4  |-  ( Ds  { f  e.  F  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) } )  e. 
_V
3027, 28, 29fvmpt 5957 . . 3  |-  ( W  e.  H  ->  (
( w  e.  H  |->  ( (LDual `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) ) `  W )  =  ( Ds  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) } ) )
316, 30sylan9eq 2528 . 2  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  C  =  ( Ds  { f  e.  F  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) } ) )
321, 31syl 16 1  |-  ( ph  ->  C  =  ( Ds  { f  e.  F  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   ↾s cress 14508  LFnlclfn 34255  LKerclk 34283  LDualcld 34321   LHypclh 35181   DVecHcdvh 36276   ocHcoch 36545  LCDualclcd 36784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-lcdual 36785
This theorem is referenced by:  lcdval2  36788  lcdlvec  36789  lcdvadd  36795  lcdsca  36797  lcdvs  36801  lcd0v  36809  lcdlsp  36819
  Copyright terms: Public domain W3C validator