Theorem lcdval 35234

Description: Dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdval.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcdval.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcdval.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
lcdval.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcdval.f	|- F = (LFnl ` U )
lcdval.l	|- L = (LKer ` U )
lcdval.d	|- D = (LDual ` U )
lcdval.k	|- ( ph -> ( K e. X /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
lcdval	|- ( ph -> C = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )

Distinct variable groups:   f, K   f, F   f, W

Allowed substitution hints:   ph( f)   C( f)   D( f)   U( f)   H( f)   L( f)   ._|_ ( f)   X( f)

Proof of Theorem lcdval

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdval.k	. 2 |- ( ph -> ( K e. X /\ W e. H ) )
2		lcdval.c	. . . 4 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
3		lcdval.h	. . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
4	3	lcdfval 35233	. . . . 5 |- ( K e. X -> (LCDual ` K ) = ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) )
5	4	fveq1d 5693	. . . 4 |- ( K e. X -> ( (LCDual ` K ) ` W ) = ( ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) ` W ) )
6	2, 5	syl5eq 2487	. . 3 |- ( K e. X -> C = ( ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) ` W ) )
7		fveq2 5691	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( DVecH ` K ) ` w ) = ( ( DVecH ` K ) ` W ) )
8		lcdval.u	. . . . . . . 8 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
9	7, 8	syl6eqr 2493	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( ( DVecH ` K ) ` w ) = U )
10	9	fveq2d 5695	. . . . . 6 |- ( w = W -> (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = (LDual ` U ) )
11		lcdval.d	. . . . . 6 |- D = (LDual ` U )
12	10, 11	syl6eqr 2493	. . . . 5 |- ( w = W -> (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = D )
13	9	fveq2d 5695	. . . . . . 7 |- ( w = W -> (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = (LFnl ` U ) )
14		lcdval.f	. . . . . . 7 |- F = (LFnl ` U )
15	13, 14	syl6eqr 2493	. . . . . 6 |- ( w = W -> (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = F )
16		fveq2 5691	. . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( ( ocH ` K ) ` w ) = ( ( ocH ` K ) ` W ) )
17		lcdval.o	. . . . . . . . 9 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
18	16, 17	syl6eqr 2493	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( ocH ` K ) ` w ) = ._|_ )
19	9	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = W -> (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = (LKer ` U ) )
20		lcdval.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = (LKer ` U )
21	19, 20	syl6eqr 2493	. . . . . . . . . 10 |- ( w = W -> (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = L )
22	21	fveq1d 5693	. . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) = ( L ` f ) )
23	18, 22	fveq12d 5697	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) = ( ._|_ ` ( L ` f ) ) )
24	18, 23	fveq12d 5697	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) )
25	24, 22	eqeq12d 2457	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) ) )
26	15, 25	rabeqbidv 2967	. . . . 5 |- ( w = W -> { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } )
27	12, 26	oveq12d 6109	. . . 4 |- ( w = W -> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
28		eqid 2443	. . . 4 |- ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) = ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) )
29		ovex 6116	. . . 4 |- ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) e. _V
30	27, 28, 29	fvmpt 5774	. . 3 |- ( W e. H -> ( ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) ` W ) = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
31	6, 30	sylan9eq 2495	. 2 |- ( ( K e. X /\ W e. H ) -> C = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
32	1, 31	syl 16	1 |- ( ph -> C = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   {crab 2719   e. cmpt 4350   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   ↾_s cress 14175  LFnlclfn 32702  LKerclk 32730  LDualcld 32768   LHypclh 33628   DVecHcdvh 34723   ocHcoch 34992  LCDualclcd 35231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-lcdual 35232

This theorem is referenced by:  lcdval2  35235  lcdlvec  35236  lcdvadd  35242  lcdsca  35244  lcdvs  35248  lcd0v  35256  lcdlsp  35266