Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvadd Structured version   Unicode version

Theorem lcdvadd 37064
Description: Vector addition for the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 10-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvadd.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdvadd.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcdvadd.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcdvadd.a  |-  .+  =  ( +g  `  D )
lcdvadd.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdvadd.p  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
lcdvadd.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
lcdvadd  |-  ( ph  -> 
.+b  =  .+  )

Proof of Theorem lcdvadd
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdvadd.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcdvadd.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
4 lcdvadd.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 eqid 2443 . . . 4  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
6 eqid 2443 . . . 4  |-  (LKer `  U )  =  (LKer `  U )
7 lcdvadd.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  U )
8 lcdvadd.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lcdval 37056 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) )
109fveq2d 5860 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  C
)  =  ( +g  `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) ) )
11 lcdvadd.p . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
12 fvex 5866 . . . 4  |-  (LFnl `  U )  e.  _V
1312rabex 4588 . . 3  |-  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }  e.  _V
14 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } )  =  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } )
15 lcdvadd.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  D )
1614, 15ressplusg 14720 . . 3  |-  ( { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) ) )
1713, 16ax-mp 5 . 2  |-  .+  =  ( +g  `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) )
1810, 11, 173eqtr4g 2509 1  |-  ( ph  -> 
.+b  =  .+  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   {crab 2797   _Vcvv 3095   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   ↾s cress 14614   +g cplusg 14678  LFnlclfn 34522  LKerclk 34550  LDualcld 34588   HLchlt 34815   LHypclh 35448   DVecHcdvh 36545   ocHcoch 36814  LCDualclcd 37053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-lcdual 37054
This theorem is referenced by:  lcdvaddval  37065
  Copyright terms: Public domain W3C validator