Theorem lcdsca 35211

Description: The ring of scalars of the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdsca.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcdsca.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcdsca.f	|- F = (Scalar ` U )
lcdsca.o	|- O = (oppr ` F )
lcdsca.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
lcdsca.r	|- R = (Scalar ` C )
lcdsca.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
lcdsca	|- ( ph -> R = O )

Proof of Theorem lcdsca

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdsca.r	. 2 |- R = (Scalar ` C )
2		lcdsca.h	. . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
3		eqid 2461	. . . . . 6 |- ( ( ocH ` K ) ` W ) = ( ( ocH ` K ) ` W )
4		lcdsca.c	. . . . . 6 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
5		lcdsca.u	. . . . . 6 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
6		eqid 2461	. . . . . 6 |- (LFnl ` U ) = (LFnl ` U )
7		eqid 2461	. . . . . 6 |- (LKer ` U ) = (LKer ` U )
8		eqid 2461	. . . . . 6 |- (LDual ` U ) = (LDual ` U )
9		lcdsca.k	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcdval 35201	. . . . 5 |- ( ph -> C = ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) )
11	10	fveq2d 5891	. . . 4 |- ( ph -> (Scalar ` C ) = (Scalar ` ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) ) )
12		fvex 5897	. . . . . 6 |- (LFnl ` U ) e. _V
13	12	rabex 4567	. . . . 5 |- { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } e. _V
14		eqid 2461	. . . . . 6 |- ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) = ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } )
15		eqid 2461	. . . . . 6 |- (Scalar ` (LDual ` U ) ) = (Scalar ` (LDual ` U ) )
16	14, 15	resssca 15323	. . . . 5 |- ( { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } e. _V -> (Scalar ` (LDual ` U ) ) = (Scalar ` ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) ) )
17	13, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- (Scalar ` (LDual ` U ) ) = (Scalar ` ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) )
18	11, 17	syl6eqr 2513	. . 3 |- ( ph -> (Scalar ` C ) = (Scalar ` (LDual ` U ) ) )
19		lcdsca.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` U )
20		lcdsca.o	. . . 4 |- O = (oppr ` F )
21	2, 5, 9	dvhlmod 34722	. . . 4 |- ( ph -> U e. LMod )
22	19, 20, 8, 15, 21	ldualsca 32742	. . 3 |- ( ph -> (Scalar ` (LDual ` U ) ) = O )
23	18, 22	eqtrd 2495	. 2 |- ( ph -> (Scalar ` C ) = O )
24	1, 23	syl5eq 2507	1 |- ( ph -> R = O )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   {crab 2752   _Vcvv 3056   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   ↾_s cress 15170  Scalarcsca 15241  opp_rcoppr 17898   LModclmod 18139  LFnlclfn 32667  LKerclk 32695  LDualcld 32733   HLchlt 32960   LHypclh 33593   DVecHcdvh 34690   ocHcoch 34959  LCDualclcd 35198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-riotaBAD 32569

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-tpos 6998  df-undef 7045  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-0g 15388  df-preset 16221  df-poset 16239  df-plt 16252  df-lub 16268  df-glb 16269  df-join 16270  df-meet 16271  df-p0 16333  df-p1 16334  df-lat 16340  df-clat 16402  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-oppr 17899  df-dvdsr 17917  df-unit 17918  df-invr 17948  df-dvr 17959  df-drng 18025  df-lmod 18141  df-lvec 18374  df-ldual 32734  df-oposet 32786  df-ol 32788  df-oml 32789  df-covers 32876  df-ats 32877  df-atl 32908  df-cvlat 32932  df-hlat 32961  df-llines 33107  df-lplanes 33108  df-lvols 33109  df-lines 33110  df-psubsp 33112  df-pmap 33113  df-padd 33405  df-lhyp 33597  df-laut 33598  df-ldil 33713  df-ltrn 33714  df-trl 33769  df-tendo 34366  df-edring 34368  df-dvech 34691  df-lcdual 35199

This theorem is referenced by:  lcdsbase  35212  lcdsadd  35213  lcdsmul  35214  lcd0  35220  lcd1  35221  lcdneg  35222  lcdvsub  35229