Theorem lcdsca 37028

Description: The ring of scalars of the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdsca.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcdsca.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcdsca.f	|- F = (Scalar ` U )
lcdsca.o	|- O = (oppr ` F )
lcdsca.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
lcdsca.r	|- R = (Scalar ` C )
lcdsca.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
lcdsca	|- ( ph -> R = O )

Proof of Theorem lcdsca

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdsca.r	. 2 |- R = (Scalar ` C )
2		lcdsca.h	. . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
3		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( ( ocH ` K ) ` W ) = ( ( ocH ` K ) ` W )
4		lcdsca.c	. . . . . 6 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
5		lcdsca.u	. . . . . 6 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
6		eqid 2441	. . . . . 6 |- (LFnl ` U ) = (LFnl ` U )
7		eqid 2441	. . . . . 6 |- (LKer ` U ) = (LKer ` U )
8		eqid 2441	. . . . . 6 |- (LDual ` U ) = (LDual ` U )
9		lcdsca.k	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcdval 37018	. . . . 5 |- ( ph -> C = ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) )
11	10	fveq2d 5856	. . . 4 |- ( ph -> (Scalar ` C ) = (Scalar ` ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) ) )
12		fvex 5862	. . . . . 6 |- (LFnl ` U ) e. _V
13	12	rabex 4584	. . . . 5 |- { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } e. _V
14		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) = ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } )
15		eqid 2441	. . . . . 6 |- (Scalar ` (LDual ` U ) ) = (Scalar ` (LDual ` U ) )
16	14, 15	resssca 14647	. . . . 5 |- ( { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } e. _V -> (Scalar ` (LDual ` U ) ) = (Scalar ` ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) ) )
17	13, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- (Scalar ` (LDual ` U ) ) = (Scalar ` ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) )
18	11, 17	syl6eqr 2500	. . 3 |- ( ph -> (Scalar ` C ) = (Scalar ` (LDual ` U ) ) )
19		lcdsca.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` U )
20		lcdsca.o	. . . 4 |- O = (oppr ` F )
21	2, 5, 9	dvhlmod 36539	. . . 4 |- ( ph -> U e. LMod )
22	19, 20, 8, 15, 21	ldualsca 34559	. . 3 |- ( ph -> (Scalar ` (LDual ` U ) ) = O )
23	18, 22	eqtrd 2482	. 2 |- ( ph -> (Scalar ` C ) = O )
24	1, 23	syl5eq 2494	1 |- ( ph -> R = O )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1381   e. wcel 1802   {crab 2795   _Vcvv 3093   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   ↾_s cress 14505  Scalarcsca 14572  opp_rcoppr 17139   LModclmod 17380  LFnlclfn 34484  LKerclk 34512  LDualcld 34550   HLchlt 34777   LHypclh 35410   DVecHcdvh 36507   ocHcoch 36776  LCDualclcd 37015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-riotaBAD 34386

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6953  df-undef 7000  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-0g 14711  df-preset 15426  df-poset 15444  df-plt 15457  df-lub 15473  df-glb 15474  df-join 15475  df-meet 15476  df-p0 15538  df-p1 15539  df-lat 15545  df-clat 15607  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-oppr 17140  df-dvdsr 17158  df-unit 17159  df-invr 17189  df-dvr 17200  df-drng 17266  df-lmod 17382  df-lvec 17617  df-ldual 34551  df-oposet 34603  df-ol 34605  df-oml 34606  df-covers 34693  df-ats 34694  df-atl 34725  df-cvlat 34749  df-hlat 34778  df-llines 34924  df-lplanes 34925  df-lvols 34926  df-lines 34927  df-psubsp 34929  df-pmap 34930  df-padd 35222  df-lhyp 35414  df-laut 35415  df-ldil 35530  df-ltrn 35531  df-trl 35586  df-tendo 36183  df-edring 36185  df-dvech 36508  df-lcdual 37016

This theorem is referenced by:  lcdsbase  37029  lcdsadd  37030  lcdsmul  37031  lcd0  37037  lcd1  37038  lcdneg  37039  lcdvsub  37046