Theorem lcdsca 35256

Description: The ring of scalars of the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdsca.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcdsca.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcdsca.f	|- F = (Scalar ` U )
lcdsca.o	|- O = (oppr ` F )
lcdsca.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
lcdsca.r	|- R = (Scalar ` C )
lcdsca.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
lcdsca	|- ( ph -> R = O )

Proof of Theorem lcdsca

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdsca.r	. 2 |- R = (Scalar ` C )
2		lcdsca.h	. . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
3		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( ( ocH ` K ) ` W ) = ( ( ocH ` K ) ` W )
4		lcdsca.c	. . . . . 6 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
5		lcdsca.u	. . . . . 6 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
6		eqid 2443	. . . . . 6 |- (LFnl ` U ) = (LFnl ` U )
7		eqid 2443	. . . . . 6 |- (LKer ` U ) = (LKer ` U )
8		eqid 2443	. . . . . 6 |- (LDual ` U ) = (LDual ` U )
9		lcdsca.k	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcdval 35246	. . . . 5 |- ( ph -> C = ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) )
11	10	fveq2d 5707	. . . 4 |- ( ph -> (Scalar ` C ) = (Scalar ` ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) ) )
12		fvex 5713	. . . . . 6 |- (LFnl ` U ) e. _V
13	12	rabex 4455	. . . . 5 |- { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } e. _V
14		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) = ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } )
15		eqid 2443	. . . . . 6 |- (Scalar ` (LDual ` U ) ) = (Scalar ` (LDual ` U ) )
16	14, 15	resssca 14328	. . . . 5 |- ( { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } e. _V -> (Scalar ` (LDual ` U ) ) = (Scalar ` ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) ) )
17	13, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- (Scalar ` (LDual ` U ) ) = (Scalar ` ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) )
18	11, 17	syl6eqr 2493	. . 3 |- ( ph -> (Scalar ` C ) = (Scalar ` (LDual ` U ) ) )
19		lcdsca.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` U )
20		lcdsca.o	. . . 4 |- O = (oppr ` F )
21	2, 5, 9	dvhlmod 34767	. . . 4 |- ( ph -> U e. LMod )
22	19, 20, 8, 15, 21	ldualsca 32789	. . 3 |- ( ph -> (Scalar ` (LDual ` U ) ) = O )
23	18, 22	eqtrd 2475	. 2 |- ( ph -> (Scalar ` C ) = O )
24	1, 23	syl5eq 2487	1 |- ( ph -> R = O )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   {crab 2731   _Vcvv 2984   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   ↾_s cress 14187  Scalarcsca 14253  opp_rcoppr 16726   LModclmod 16960  LFnlclfn 32714  LKerclk 32742  LDualcld 32780   HLchlt 33007   LHypclh 33640   DVecHcdvh 34735   ocHcoch 35004  LCDualclcd 35243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-riotaBAD 32616

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-tpos 6757  df-undef 6804  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-0g 14392  df-poset 15128  df-plt 15140  df-lub 15156  df-glb 15157  df-join 15158  df-meet 15159  df-p0 15221  df-p1 15222  df-lat 15228  df-clat 15290  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-oppr 16727  df-dvdsr 16745  df-unit 16746  df-invr 16776  df-dvr 16787  df-drng 16846  df-lmod 16962  df-lvec 17196  df-ldual 32781  df-oposet 32833  df-ol 32835  df-oml 32836  df-covers 32923  df-ats 32924  df-atl 32955  df-cvlat 32979  df-hlat 33008  df-llines 33154  df-lplanes 33155  df-lvols 33156  df-lines 33157  df-psubsp 33159  df-pmap 33160  df-padd 33452  df-lhyp 33644  df-laut 33645  df-ldil 33760  df-ltrn 33761  df-trl 33815  df-tendo 34411  df-edring 34413  df-dvech 34736  df-lcdual 35244

This theorem is referenced by:  lcdsbase  35257  lcdsadd  35258  lcdsmul  35259  lcd0  35265  lcd1  35266  lcdneg  35267  lcdvsub  35274