Theorem lcdsca 37742

Description: The ring of scalars of the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdsca.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcdsca.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcdsca.f	|- F = (Scalar ` U )
lcdsca.o	|- O = (oppr ` F )
lcdsca.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
lcdsca.r	|- R = (Scalar ` C )
lcdsca.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
lcdsca	|- ( ph -> R = O )

Proof of Theorem lcdsca

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdsca.r	. 2 |- R = (Scalar ` C )
2		lcdsca.h	. . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
3		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( ( ocH ` K ) ` W ) = ( ( ocH ` K ) ` W )
4		lcdsca.c	. . . . . 6 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
5		lcdsca.u	. . . . . 6 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
6		eqid 2454	. . . . . 6 |- (LFnl ` U ) = (LFnl ` U )
7		eqid 2454	. . . . . 6 |- (LKer ` U ) = (LKer ` U )
8		eqid 2454	. . . . . 6 |- (LDual ` U ) = (LDual ` U )
9		lcdsca.k	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcdval 37732	. . . . 5 |- ( ph -> C = ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) )
11	10	fveq2d 5852	. . . 4 |- ( ph -> (Scalar ` C ) = (Scalar ` ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) ) )
12		fvex 5858	. . . . . 6 |- (LFnl ` U ) e. _V
13	12	rabex 4588	. . . . 5 |- { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } e. _V
14		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) = ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } )
15		eqid 2454	. . . . . 6 |- (Scalar ` (LDual ` U ) ) = (Scalar ` (LDual ` U ) )
16	14, 15	resssca 14869	. . . . 5 |- ( { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } e. _V -> (Scalar ` (LDual ` U ) ) = (Scalar ` ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) ) )
17	13, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- (Scalar ` (LDual ` U ) ) = (Scalar ` ( (LDual ` U ) ↾s { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) } ) )
18	11, 17	syl6eqr 2513	. . 3 |- ( ph -> (Scalar ` C ) = (Scalar ` (LDual ` U ) ) )
19		lcdsca.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` U )
20		lcdsca.o	. . . 4 |- O = (oppr ` F )
21	2, 5, 9	dvhlmod 37253	. . . 4 |- ( ph -> U e. LMod )
22	19, 20, 8, 15, 21	ldualsca 35273	. . 3 |- ( ph -> (Scalar ` (LDual ` U ) ) = O )
23	18, 22	eqtrd 2495	. 2 |- ( ph -> (Scalar ` C ) = O )
24	1, 23	syl5eq 2507	1 |- ( ph -> R = O )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   {crab 2808   _Vcvv 3106   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ↾_s cress 14720  Scalarcsca 14790  opp_rcoppr 17469   LModclmod 17710  LFnlclfn 35198  LKerclk 35226  LDualcld 35264   HLchlt 35491   LHypclh 36124   DVecHcdvh 37221   ocHcoch 37490  LCDualclcd 37729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 35100

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-0g 14934  df-preset 15759  df-poset 15777  df-plt 15790  df-lub 15806  df-glb 15807  df-join 15808  df-meet 15809  df-p0 15871  df-p1 15872  df-lat 15878  df-clat 15940  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-unit 17489  df-invr 17519  df-dvr 17530  df-drng 17596  df-lmod 17712  df-lvec 17947  df-ldual 35265  df-oposet 35317  df-ol 35319  df-oml 35320  df-covers 35407  df-ats 35408  df-atl 35439  df-cvlat 35463  df-hlat 35492  df-llines 35638  df-lplanes 35639  df-lvols 35640  df-lines 35641  df-psubsp 35643  df-pmap 35644  df-padd 35936  df-lhyp 36128  df-laut 36129  df-ldil 36244  df-ltrn 36245  df-trl 36300  df-tendo 36897  df-edring 36899  df-dvech 37222  df-lcdual 37730

This theorem is referenced by:  lcdsbase  37743  lcdsadd  37744  lcdsmul  37745  lcd0  37751  lcd1  37752  lcdneg  37753  lcdvsub  37760