Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdlvec Structured version   Unicode version

Theorem lcdlvec 36406
Description: The dual vector space of functionals with closed kernels is a left vector space. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdlmod.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdlmod.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdlmod.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
lcdlvec  |-  ( ph  ->  C  e.  LVec )

Proof of Theorem lcdlvec
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdlmod.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcdlmod.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
4 eqid 2467 . . 3  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
5 eqid 2467 . . 3  |-  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
6 eqid 2467 . . 3  |-  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
7 eqid 2467 . . 3  |-  (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
8 lcdlmod.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lcdval 36404 . 2  |-  ( ph  ->  C  =  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  f ) } ) )
101, 4, 8dvhlvec 35924 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( DVecH `  K
) `  W )  e.  LVec )
117, 10lduallvec 33969 . . 3  |-  ( ph  ->  (LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  e. 
LVec )
12 eqid 2467 . . . 4  |-  ( LSubSp `  (LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) )  =  ( LSubSp `  (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
13 eqid 2467 . . . 4  |-  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  f ) }  =  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  f ) }
141, 4, 2, 5, 6, 7, 12, 13, 8lclkr 36348 . . 3  |-  ( ph  ->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  f ) }  e.  ( LSubSp `  (LDual `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ) )
15 eqid 2467 . . . 4  |-  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  f ) } )  =  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  f ) } )
1615, 12lsslvec 17553 . . 3  |-  ( ( (LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  e. 
LVec  /\  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  f ) }  e.  ( LSubSp `  (LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) ) )  ->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) `  f ) } )  e.  LVec )
1711, 14, 16syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( (LDual `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  f ) } )  e.  LVec )
189, 17eqeltrd 2555 1  |-  ( ph  ->  C  e.  LVec )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ↾s cress 14491   LSubSpclss 17378   LVecclvec 17548  LFnlclfn 33872  LKerclk 33900  LDualcld 33938   HLchlt 34165   LHypclh 34798   DVecHcdvh 35893   ocHcoch 36162  LCDualclcd 36401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-riotaBAD 33774
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-undef 7002  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-0g 14697  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-p1 15527  df-lat 15533  df-clat 15595  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-oppg 16186  df-lsm 16462  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-drng 17198  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lvec 17549  df-lsatoms 33791  df-lshyp 33792  df-lcv 33834  df-lfl 33873  df-lkr 33901  df-ldual 33939  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313  df-lvols 34314  df-lines 34315  df-psubsp 34317  df-pmap 34318  df-padd 34610  df-lhyp 34802  df-laut 34803  df-ldil 34918  df-ltrn 34919  df-trl 34973  df-tgrp 35557  df-tendo 35569  df-edring 35571  df-dveca 35817  df-disoa 35844  df-dvech 35894  df-dib 35954  df-dic 35988  df-dih 36044  df-doch 36163  df-djh 36210  df-lcdual 36402
This theorem is referenced by:  lcdlmod  36407  mapdcnvatN  36481  mapdat  36482  mapdpglem18  36504  mapdpglem20  36506  mapdpglem22  36508  mapdpglem26  36513  mapdpglem27  36514  mapdpglem30  36517  mapdheq4lem  36546  mapdh6lem1N  36548  mapdh6lem2N  36549  hdmap1l6lem1  36623  hdmap1l6lem2  36624  hdmaprnlem3N  36668  hdmaprnlem3uN  36669  hdmaprnlem9N  36675  hdmap14lem2a  36685  hdmap14lem2N  36687  hdmap14lem3  36688  hdmap14lem6  36691  hdmap14lem9  36694  hgmapval0  36710  hgmapval1  36711  hgmapadd  36712  hgmapmul  36713  hgmaprnlem1N  36714
  Copyright terms: Public domain W3C validator