Theorem lcdlss 37743

Description: Subspaces of a dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdlss.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcdlss.o	|- O = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcdlss.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
lcdlss.s	|- S = ( LSubSp ` C )
lcdlss.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcdlss.f	|- F = (LFnl ` U )
lcdlss.l	|- L = (LKer ` U )
lcdlss.d	|- D = (LDual ` U )
lcdlss.t	|- T = ( LSubSp ` D )
lcdlss.b	|- B = { f e. F | ( O ` ( O ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
lcdlss.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
lcdlss	|- ( ph -> S = ( T i^i ~P B ) )

Distinct variable groups:   D, f   f, F   f, K   f, L   f, O   U, f   f, W

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   C( f)   S( f)   T( f)   H( f)

Proof of Theorem lcdlss

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdlss.s	. . . . . 6 |- S = ( LSubSp ` C )
2		lcdlss.h	. . . . . . . 8 |- H = ( LHyp ` K )
3		lcdlss.o	. . . . . . . 8 |- O = ( ( ocH ` K ) ` W )
4		lcdlss.c	. . . . . . . 8 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
5		lcdlss.u	. . . . . . . 8 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
6		lcdlss.f	. . . . . . . 8 |- F = (LFnl ` U )
7		lcdlss.l	. . . . . . . 8 |- L = (LKer ` U )
8		lcdlss.d	. . . . . . . 8 |- D = (LDual ` U )
9		lcdlss.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
10		lcdlss.b	. . . . . . . 8 |- B = { f e. F | ( O ` ( O ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lcdval2 37714	. . . . . . 7 |- ( ph -> C = ( D ↾s B ) )
12	11	fveq2d 5852	. . . . . 6 |- ( ph -> ( LSubSp ` C ) = ( LSubSp ` ( D ↾s B ) ) )
13	1, 12	syl5eq 2507	. . . . 5 |- ( ph -> S = ( LSubSp ` ( D ↾s B ) ) )
14	13	eleq2d 2524	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. S <-> u e. ( LSubSp ` ( D ↾s B ) ) ) )
15	2, 5, 9	dvhlmod 37234	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. LMod )
16	8, 15	lduallmod 35275	. . . . 5 |- ( ph -> D e. LMod )
17		lcdlss.t	. . . . . 6 |- T = ( LSubSp ` D )
18	2, 5, 3, 6, 7, 8, 17, 10, 9	lclkr 37657	. . . . 5 |- ( ph -> B e. T )
19		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( D ↾s B ) = ( D ↾s B )
20		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( LSubSp ` ( D ↾s B ) ) = ( LSubSp ` ( D ↾s B ) )
21	19, 17, 20	lsslss 17802	. . . . 5 |- ( ( D e. LMod /\ B e. T ) -> ( u e. ( LSubSp ` ( D ↾s B ) ) <-> ( u e. T /\ u C_ B ) ) )
22	16, 18, 21	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. ( LSubSp ` ( D ↾s B ) ) <-> ( u e. T /\ u C_ B ) ) )
23	14, 22	bitrd 253	. . 3 |- ( ph -> ( u e. S <-> ( u e. T /\ u C_ B ) ) )
24		elin 3673	. . . 4 |- ( u e. ( T i^i ~P B ) <-> ( u e. T /\ u e. ~P B ) )
25		selpw 4006	. . . . 5 |- ( u e. ~P B <-> u C_ B )
26	25	anbi2i 692	. . . 4 |- ( ( u e. T /\ u e. ~P B ) <-> ( u e. T /\ u C_ B ) )
27	24, 26	bitr2i 250	. . 3 |- ( ( u e. T /\ u C_ B ) <-> u e. ( T i^i ~P B ) )
28	23, 27	syl6bb 261	. 2 |- ( ph -> ( u e. S <-> u e. ( T i^i ~P B ) ) )
29	28	eqrdv 2451	1 |- ( ph -> S = ( T i^i ~P B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   {crab 2808   i^i cin 3460   C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ↾_s cress 14717   LModclmod 17707   LSubSpclss 17773  LFnlclfn 35179  LKerclk 35207  LDualcld 35245   HLchlt 35472   LHypclh 36105   DVecHcdvh 37202   ocHcoch 37471  LCDualclcd 37710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 35081

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-0g 14931  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-p1 15869  df-lat 15875  df-clat 15937  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-oppg 16580  df-lsm 16855  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-dvr 17527  df-drng 17593  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-lvec 17944  df-lsatoms 35098  df-lshyp 35099  df-lcv 35141  df-lfl 35180  df-lkr 35208  df-ldual 35246  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473  df-llines 35619  df-lplanes 35620  df-lvols 35621  df-lines 35622  df-psubsp 35624  df-pmap 35625  df-padd 35917  df-lhyp 36109  df-laut 36110  df-ldil 36225  df-ltrn 36226  df-trl 36281  df-tgrp 36866  df-tendo 36878  df-edring 36880  df-dveca 37126  df-disoa 37153  df-dvech 37203  df-dib 37263  df-dic 37297  df-dih 37353  df-doch 37472  df-djh 37519  df-lcdual 37711

This theorem is referenced by:  lcdlss2N  37744  mapdrn2  37775