Theorem lcdlss 35583

Description: Subspaces of a dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdlss.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcdlss.o	|- O = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcdlss.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
lcdlss.s	|- S = ( LSubSp ` C )
lcdlss.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcdlss.f	|- F = (LFnl ` U )
lcdlss.l	|- L = (LKer ` U )
lcdlss.d	|- D = (LDual ` U )
lcdlss.t	|- T = ( LSubSp ` D )
lcdlss.b	|- B = { f e. F | ( O ` ( O ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
lcdlss.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
lcdlss	|- ( ph -> S = ( T i^i ~P B ) )

Distinct variable groups:   D, f   f, F   f, K   f, L   f, O   U, f   f, W

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   C( f)   S( f)   T( f)   H( f)

Proof of Theorem lcdlss

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdlss.s	. . . . . 6 |- S = ( LSubSp ` C )
2		lcdlss.h	. . . . . . . 8 |- H = ( LHyp ` K )
3		lcdlss.o	. . . . . . . 8 |- O = ( ( ocH ` K ) ` W )
4		lcdlss.c	. . . . . . . 8 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
5		lcdlss.u	. . . . . . . 8 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
6		lcdlss.f	. . . . . . . 8 |- F = (LFnl ` U )
7		lcdlss.l	. . . . . . . 8 |- L = (LKer ` U )
8		lcdlss.d	. . . . . . . 8 |- D = (LDual ` U )
9		lcdlss.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
10		lcdlss.b	. . . . . . . 8 |- B = { f e. F | ( O ` ( O ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lcdval2 35554	. . . . . . 7 |- ( ph -> C = ( D ↾s B ) )
12	11	fveq2d 5798	. . . . . 6 |- ( ph -> ( LSubSp ` C ) = ( LSubSp ` ( D ↾s B ) ) )
13	1, 12	syl5eq 2505	. . . . 5 |- ( ph -> S = ( LSubSp ` ( D ↾s B ) ) )
14	13	eleq2d 2522	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. S <-> u e. ( LSubSp ` ( D ↾s B ) ) ) )
15	2, 5, 9	dvhlmod 35074	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. LMod )
16	8, 15	lduallmod 33117	. . . . 5 |- ( ph -> D e. LMod )
17		lcdlss.t	. . . . . 6 |- T = ( LSubSp ` D )
18	2, 5, 3, 6, 7, 8, 17, 10, 9	lclkr 35497	. . . . 5 |- ( ph -> B e. T )
19		eqid 2452	. . . . . 6 |- ( D ↾s B ) = ( D ↾s B )
20		eqid 2452	. . . . . 6 |- ( LSubSp ` ( D ↾s B ) ) = ( LSubSp ` ( D ↾s B ) )
21	19, 17, 20	lsslss 17160	. . . . 5 |- ( ( D e. LMod /\ B e. T ) -> ( u e. ( LSubSp ` ( D ↾s B ) ) <-> ( u e. T /\ u C_ B ) ) )
22	16, 18, 21	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. ( LSubSp ` ( D ↾s B ) ) <-> ( u e. T /\ u C_ B ) ) )
23	14, 22	bitrd 253	. . 3 |- ( ph -> ( u e. S <-> ( u e. T /\ u C_ B ) ) )
24		elin 3642	. . . 4 |- ( u e. ( T i^i ~P B ) <-> ( u e. T /\ u e. ~P B ) )
25		selpw 3970	. . . . 5 |- ( u e. ~P B <-> u C_ B )
26	25	anbi2i 694	. . . 4 |- ( ( u e. T /\ u e. ~P B ) <-> ( u e. T /\ u C_ B ) )
27	24, 26	bitr2i 250	. . 3 |- ( ( u e. T /\ u C_ B ) <-> u e. ( T i^i ~P B ) )
28	23, 27	syl6bb 261	. 2 |- ( ph -> ( u e. S <-> u e. ( T i^i ~P B ) ) )
29	28	eqrdv 2449	1 |- ( ph -> S = ( T i^i ~P B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   {crab 2800   i^i cin 3430   C_ wss 3431   ~Pcpw 3963   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   ↾_s cress 14288   LModclmod 17066   LSubSpclss 17131  LFnlclfn 33021  LKerclk 33049  LDualcld 33087   HLchlt 33314   LHypclh 33947   DVecHcdvh 35042   ocHcoch 35311  LCDualclcd 35550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-riotaBAD 32923

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-tpos 6850  df-undef 6897  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-0g 14494  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-poset 15230  df-plt 15242  df-lub 15258  df-glb 15259  df-join 15260  df-meet 15261  df-p0 15323  df-p1 15324  df-lat 15330  df-clat 15392  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-subg 15792  df-cntz 15949  df-oppg 15975  df-lsm 16251  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-oppr 16833  df-dvdsr 16851  df-unit 16852  df-invr 16882  df-dvr 16893  df-drng 16952  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-lsp 17171  df-lvec 17302  df-lsatoms 32940  df-lshyp 32941  df-lcv 32983  df-lfl 33022  df-lkr 33050  df-ldual 33088  df-oposet 33140  df-ol 33142  df-oml 33143  df-covers 33230  df-ats 33231  df-atl 33262  df-cvlat 33286  df-hlat 33315  df-llines 33461  df-lplanes 33462  df-lvols 33463  df-lines 33464  df-psubsp 33466  df-pmap 33467  df-padd 33759  df-lhyp 33951  df-laut 33952  df-ldil 34067  df-ltrn 34068  df-trl 34122  df-tgrp 34706  df-tendo 34718  df-edring 34720  df-dveca 34966  df-disoa 34993  df-dvech 35043  df-dib 35103  df-dic 35137  df-dih 35193  df-doch 35312  df-djh 35359  df-lcdual 35551

This theorem is referenced by:  lcdlss2N  35584  mapdrn2  35615