Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdlsp Structured version   Unicode version

Theorem lcdlsp 37088
Description: Span in the set of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdlsp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdlsp.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcdlsp.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcdlsp.m  |-  M  =  ( LSpan `  D )
lcdlsp.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdlsp.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
lcdlsp.n  |-  N  =  ( LSpan `  C )
lcdlsp.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcdlsp.g  |-  ( ph  ->  G  C_  F )
Assertion
Ref Expression
lcdlsp  |-  ( ph  ->  ( N `  G
)  =  ( M `
 G ) )

Proof of Theorem lcdlsp
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdlsp.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  C )
2 lcdlsp.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcdlsp.c . . . . . 6  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
5 lcdlsp.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
7 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (LKer `  U )  =  (LKer `  U )
8 lcdlsp.d . . . . . 6  |-  D  =  (LDual `  U )
9 lcdlsp.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lcdval 37056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) )
1110fveq2d 5860 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( LSpan `  C )  =  ( LSpan `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) ) )
121, 11syl5eq 2496 . . 3  |-  ( ph  ->  N  =  ( LSpan `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) ) )
1312fveq1d 5858 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  G
)  =  ( (
LSpan `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) ) `  G ) )
142, 5, 9dvhlmod 36577 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
158, 14lduallmod 34618 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  LMod )
16 eqid 2443 . . . 4  |-  ( LSubSp `  D )  =  (
LSubSp `  D )
17 eqid 2443 . . . 4  |-  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }  =  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }
182, 5, 3, 6, 7, 8, 16, 17, 9lclkr 37000 . . 3  |-  ( ph  ->  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }  e.  ( LSubSp `  D ) )
19 lcdlsp.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  C_  F )
20 lcdlsp.f . . . . 5  |-  F  =  ( Base `  C
)
212, 3, 4, 20, 5, 6, 7, 17, 9lcdvbase 37060 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } )
2219, 21sseqtrd 3525 . . 3  |-  ( ph  ->  G  C_  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } )
23 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } )  =  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } )
24 lcdlsp.m . . . 4  |-  M  =  ( LSpan `  D )
25 eqid 2443 . . . 4  |-  ( LSpan `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) )  =  ( LSpan `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) )
2623, 24, 25, 16lsslsp 17535 . . 3  |-  ( ( D  e.  LMod  /\  {
f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }  e.  ( LSubSp `  D )  /\  G  C_ 
{ f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } )  ->  ( M `  G )  =  ( ( LSpan `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) ) `  G ) )
2715, 18, 22, 26syl3anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  G
)  =  ( (
LSpan `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) ) `  G ) )
2813, 27eqtr4d 2487 1  |-  ( ph  ->  ( N `  G
)  =  ( M `
 G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   {crab 2797    C_ wss 3461   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   ↾s cress 14510   LModclmod 17386   LSubSpclss 17452   LSpanclspn 17491  LFnlclfn 34522  LKerclk 34550  LDualcld 34588   HLchlt 34815   LHypclh 35448   DVecHcdvh 36545   ocHcoch 36814  LCDualclcd 37053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-riotaBAD 34424
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-0g 14716  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-preset 15431  df-poset 15449  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-subg 16072  df-cntz 16229  df-oppg 16255  df-lsm 16530  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-oppr 17146  df-dvdsr 17164  df-unit 17165  df-invr 17195  df-dvr 17206  df-drng 17272  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-lsp 17492  df-lvec 17623  df-lsatoms 34441  df-lshyp 34442  df-lcv 34484  df-lfl 34523  df-lkr 34551  df-ldual 34589  df-oposet 34641  df-ol 34643  df-oml 34644  df-covers 34731  df-ats 34732  df-atl 34763  df-cvlat 34787  df-hlat 34816  df-llines 34962  df-lplanes 34963  df-lvols 34964  df-lines 34965  df-psubsp 34967  df-pmap 34968  df-padd 35260  df-lhyp 35452  df-laut 35453  df-ldil 35568  df-ltrn 35569  df-trl 35624  df-tgrp 36209  df-tendo 36221  df-edring 36223  df-dveca 36469  df-disoa 36496  df-dvech 36546  df-dib 36606  df-dic 36640  df-dih 36696  df-doch 36815  df-djh 36862  df-lcdual 37054
This theorem is referenced by:  lcdlkreqN  37089  mapdhvmap  37236
  Copyright terms: Public domain W3C validator