Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdfval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcdfval 35202
Description: Dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lcdval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lcdfval  |-  ( K  e.  X  ->  (LCDual `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) ) )
Distinct variable groups:    w, H    w, f, K
Allowed substitution hints:    H( f)    X( w, f)

Proof of Theorem lcdfval
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3066 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  K  e.  _V )
2 fveq2 5892 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  ( LHyp `  K
) )
3 lcdval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3syl6eqr 2514 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  H )
5 fveq2 5892 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( DVecH `  k )  =  ( DVecH `  K )
)
65fveq1d 5894 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( DVecH `  k ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )
76fveq2d 5896 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (LDual `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  =  (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) )
86fveq2d 5896 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (LFnl `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  =  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) )
9 fveq2 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( ocH `  k )  =  ( ocH `  K
) )
109fveq1d 5894 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ocH `  k
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  w
) )
116fveq2d 5896 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  =  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) )
1211fveq1d 5894 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
(LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )
1310, 12fveq12d 5898 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )
1410, 13fveq12d 5898 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) ) )
1514, 12eqeq12d 2477 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (
( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )  <->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )
168, 15rabeqbidv 3052 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  k ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (
( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f ) }  =  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } )
177, 16oveq12d 6338 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
(LDual `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  k ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (
( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f ) } )  =  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) )
184, 17mpteq12dv 4497 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) } ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) } ) ) )
19 df-lcdual 35201 . . 3  |- LCDual  =  ( k  e.  _V  |->  ( w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) } ) ) )
20 fvex 5902 . . . . 5  |-  ( LHyp `  K )  e.  _V
213, 20eqeltri 2536 . . . 4  |-  H  e. 
_V
2221mptex 6166 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)s 
{ f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) } ) )  e.  _V
2318, 19, 22fvmpt 5976 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  (LCDual `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) ) )
241, 23syl 17 1  |-  ( K  e.  X  ->  (LCDual `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( (LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )s  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f ) } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1455    e. wcel 1898   {crab 2753   _Vcvv 3057    |-> cmpt 4477   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   ↾s cress 15177  LFnlclfn 32669  LKerclk 32697  LDualcld 32735   LHypclh 33595   DVecHcdvh 34692   ocHcoch 34961  LCDualclcd 35200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pr 4656
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-lcdual 35201
This theorem is referenced by:  lcdval  35203
  Copyright terms: Public domain W3C validator