Theorem lcd0v2 35225

Description: The zero functional in the set of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcd0v2.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcd0v2.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcd0v2.d	|- D = (LDual ` U )
lcd0v2.z	|- .0. = ( 0g ` D )
lcd0v2.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
lcd0v2.o	|- O = ( 0g ` C )
lcd0v2.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
lcd0v2	|- ( ph -> O = .0. )

Proof of Theorem lcd0v2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcd0v2.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
2		lcd0v2.u	. . 3 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		eqid 2462	. . 3 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
4		eqid 2462	. . 3 |- (Scalar ` U ) = (Scalar ` U )
5		eqid 2462	. . 3 |- ( 0g ` (Scalar ` U ) ) = ( 0g ` (Scalar ` U ) )
6		lcd0v2.c	. . 3 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
7		lcd0v2.o	. . 3 |- O = ( 0g ` C )
8		lcd0v2.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lcd0v 35224	. 2 |- ( ph -> O = ( ( Base ` U ) X. { ( 0g ` (Scalar ` U ) ) } ) )
10		lcd0v2.d	. . 3 |- D = (LDual ` U )
11		lcd0v2.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` D )
12	1, 2, 8	dvhlmod 34723	. . 3 |- ( ph -> U e. LMod )
13	3, 4, 5, 10, 11, 12	ldual0v 32761	. 2 |- ( ph -> .0. = ( ( Base ` U ) X. { ( 0g ` (Scalar ` U ) ) } ) )
14	9, 13	eqtr4d 2499	1 |- ( ph -> O = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   {csn 3980   X. cxp 4851   ` cfv 5601   Basecbs 15170  Scalarcsca 15242   0gc0g 15387  LDualcld 32734   HLchlt 32961   LHypclh 33594   DVecHcdvh 34691  LCDualclcd 35199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-riotaBAD 32570

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-tpos 6999  df-undef 7046  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-0g 15389  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-lub 16269  df-glb 16270  df-join 16271  df-meet 16272  df-p0 16334  df-p1 16335  df-lat 16341  df-clat 16403  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-sbg 16724  df-subg 16863  df-cntz 17020  df-oppg 17046  df-lsm 17337  df-cmn 17481  df-abl 17482  df-mgp 17773  df-ur 17785  df-ring 17831  df-oppr 17900  df-dvdsr 17918  df-unit 17919  df-invr 17949  df-dvr 17960  df-drng 18026  df-lmod 18142  df-lss 18205  df-lsp 18244  df-lvec 18375  df-lsatoms 32587  df-lshyp 32588  df-lcv 32630  df-lfl 32669  df-lkr 32697  df-ldual 32735  df-oposet 32787  df-ol 32789  df-oml 32790  df-covers 32877  df-ats 32878  df-atl 32909  df-cvlat 32933  df-hlat 32962  df-llines 33108  df-lplanes 33109  df-lvols 33110  df-lines 33111  df-psubsp 33113  df-pmap 33114  df-padd 33406  df-lhyp 33598  df-laut 33599  df-ldil 33714  df-ltrn 33715  df-trl 33770  df-tgrp 34355  df-tendo 34367  df-edring 34369  df-dveca 34615  df-disoa 34642  df-dvech 34692  df-dib 34752  df-dic 34786  df-dih 34842  df-doch 34961  df-djh 35008  df-lcdual 35200

This theorem is referenced by:  lcdlkreqN  35235  hvmap1o2  35378