Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcd0v Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcd0v 35224
Description: The zero functional in the set of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcd0v.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcd0v.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcd0v.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcd0v.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
lcd0v.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lcd0v.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcd0v.o  |-  O  =  ( 0g `  C
)
lcd0v.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
lcd0v  |-  ( ph  ->  O  =  ( V  X.  {  .0.  }
) )

Proof of Theorem lcd0v
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcd0v.o . . 3  |-  O  =  ( 0g `  C
)
2 lcd0v.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcd0v.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
5 lcd0v.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 eqid 2462 . . . . 5  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
7 eqid 2462 . . . . 5  |-  (LKer `  U )  =  (LKer `  U )
8 eqid 2462 . . . . 5  |-  (LDual `  U )  =  (LDual `  U )
9 lcd0v.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lcdval 35202 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =  ( (LDual `  U )s  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) )
1110fveq2d 5892 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  C
)  =  ( 0g
`  ( (LDual `  U )s  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) ) )
121, 11syl5eq 2508 . 2  |-  ( ph  ->  O  =  ( 0g
`  ( (LDual `  U )s  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) ) )
132, 5, 9dvhlmod 34723 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
148, 13lduallmod 32764 . . 3  |-  ( ph  ->  (LDual `  U )  e.  LMod )
15 eqid 2462 . . . 4  |-  ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  =  ( LSubSp `  (LDual `  U )
)
16 eqid 2462 . . . 4  |-  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }  =  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }
172, 5, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 9lclkr 35146 . . 3  |-  ( ph  ->  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }  e.  ( LSubSp `  (LDual `  U )
) )
18 eqid 2462 . . . 4  |-  ( (LDual `  U )s  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } )  =  ( (LDual `  U )s  {
f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } )
19 eqid 2462 . . . 4  |-  ( 0g
`  (LDual `  U
) )  =  ( 0g `  (LDual `  U ) )
20 eqid 2462 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( (LDual `  U )s  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) )  =  ( 0g `  (
(LDual `  U )s  {
f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) )
2118, 19, 20, 15lss0v 18288 . . 3  |-  ( ( (LDual `  U )  e.  LMod  /\  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }  e.  ( LSubSp `  (LDual `  U )
) )  ->  ( 0g `  ( (LDual `  U )s  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) )  =  ( 0g `  (LDual `  U ) ) )
2214, 17, 21syl2anc 671 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (
(LDual `  U )s  {
f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) )  =  ( 0g `  (LDual `  U ) ) )
23 lcd0v.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
24 lcd0v.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  U )
25 lcd0v.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2623, 24, 25, 8, 19, 13ldual0v 32761 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (LDual `  U ) )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )
2712, 22, 263eqtrd 2500 1  |-  ( ph  ->  O  =  ( V  X.  {  .0.  }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   {crab 2753   {csn 3980    X. cxp 4851   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Basecbs 15170   ↾s cress 15171  Scalarcsca 15242   0gc0g 15387   LModclmod 18140   LSubSpclss 18204  LFnlclfn 32668  LKerclk 32696  LDualcld 32734   HLchlt 32961   LHypclh 33594   DVecHcdvh 34691   ocHcoch 34960  LCDualclcd 35199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-riotaBAD 32570
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-tpos 6999  df-undef 7046  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-0g 15389  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-lub 16269  df-glb 16270  df-join 16271  df-meet 16272  df-p0 16334  df-p1 16335  df-lat 16341  df-clat 16403  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-sbg 16724  df-subg 16863  df-cntz 17020  df-oppg 17046  df-lsm 17337  df-cmn 17481  df-abl 17482  df-mgp 17773  df-ur 17785  df-ring 17831  df-oppr 17900  df-dvdsr 17918  df-unit 17919  df-invr 17949  df-dvr 17960  df-drng 18026  df-lmod 18142  df-lss 18205  df-lsp 18244  df-lvec 18375  df-lsatoms 32587  df-lshyp 32588  df-lcv 32630  df-lfl 32669  df-lkr 32697  df-ldual 32735  df-oposet 32787  df-ol 32789  df-oml 32790  df-covers 32877  df-ats 32878  df-atl 32909  df-cvlat 32933  df-hlat 32962  df-llines 33108  df-lplanes 33109  df-lvols 33110  df-lines 33111  df-psubsp 33113  df-pmap 33114  df-padd 33406  df-lhyp 33598  df-laut 33599  df-ldil 33714  df-ltrn 33715  df-trl 33770  df-tgrp 34355  df-tendo 34367  df-edring 34369  df-dveca 34615  df-disoa 34642  df-dvech 34692  df-dib 34752  df-dic 34786  df-dih 34842  df-doch 34961  df-djh 35008  df-lcdual 35200
This theorem is referenced by:  lcd0v2  35225  lcd0vvalN  35226  mapd0  35278  hdmaplkr  35529
  Copyright terms: Public domain W3C validator