Theorem lcd0 35222

Description: The zero scalar of the closed kernel dual of a vector space. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcd0.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcd0.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcd0.f	|- F = (Scalar ` U )
lcd0.z	|- .0. = ( 0g ` F )
lcd0.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
lcd0.s	|- S = (Scalar ` C )
lcd0.o	|- O = ( 0g ` S )
lcd0.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
lcd0	|- ( ph -> O = .0. )

Proof of Theorem lcd0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcd0.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
2		lcd0.u	. . . 4 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		lcd0.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` U )
4		eqid 2462	. . . 4 |- (oppr ` F ) = (oppr ` F )
5		lcd0.c	. . . 4 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
6		lcd0.s	. . . 4 |- S = (Scalar ` C )
7		lcd0.k	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lcdsca 35213	. . 3 |- ( ph -> S = (oppr ` F ) )
9	8	fveq2d 5896	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` S ) = ( 0g ` (oppr ` F ) ) )
10		lcd0.o	. 2 |- O = ( 0g ` S )
11		lcd0.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` F )
12	4, 11	oppr0 17916	. 2 |- .0. = ( 0g ` (oppr ` F ) )
13	9, 10, 12	3eqtr4g 2521	1 |- ( ph -> O = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   ` cfv 5605  Scalarcsca 15248   0gc0g 15393  opp_rcoppr 17905   HLchlt 32962   LHypclh 33595   DVecHcdvh 34692  LCDualclcd 35200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-riotaBAD 32571

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-tpos 7004  df-undef 7051  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-0g 15395  df-preset 16228  df-poset 16246  df-plt 16259  df-lub 16275  df-glb 16276  df-join 16277  df-meet 16278  df-p0 16340  df-p1 16341  df-lat 16347  df-clat 16409  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-oppr 17906  df-dvdsr 17924  df-unit 17925  df-invr 17955  df-dvr 17966  df-drng 18032  df-lmod 18148  df-lvec 18381  df-ldual 32736  df-oposet 32788  df-ol 32790  df-oml 32791  df-covers 32878  df-ats 32879  df-atl 32910  df-cvlat 32934  df-hlat 32963  df-llines 33109  df-lplanes 33110  df-lvols 33111  df-lines 33112  df-psubsp 33114  df-pmap 33115  df-padd 33407  df-lhyp 33599  df-laut 33600  df-ldil 33715  df-ltrn 33716  df-trl 33771  df-tendo 34368  df-edring 34370  df-dvech 34693  df-lcdual 35201

This theorem is referenced by:  lcd0vs  35229  mapdpglem18  35303  mapdpglem22  35307  mapdpglem26  35312  mapdpglem27  35313  hgmapval0  35509