Theorem lbzbi 13657

Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
lbzbi	|- (A C_ RR -> (E.x e. RR A.y e. A x <_ y <-> E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y))

Distinct variable group:   x,A,y

Proof of Theorem lbzbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1317	. . 3 |- (A C_ RR -> A.x A C_ RR)
2		hbre1 2150	. . 3 |- (E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y -> A.xE.x e. ZZ A.y e. A x <_ y)
3		ltletr 6694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((z e. RR /\ x e. RR /\ y e. RR) -> ((z < x /\ x <_ y) -> z < y))
4		ltle 6690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ((z e. RR /\ y e. RR) -> (z < y -> z <_ y))
5	4	3adant2 895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((z e. RR /\ x e. RR /\ y e. RR) -> (z < y -> z <_ y))
6	3, 5	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((z e. RR /\ x e. RR /\ y e. RR) -> ((z < x /\ x <_ y) -> z <_ y))
7		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (z e. ZZ -> z e. RR)
8	6, 7	syl3an1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((z e. ZZ /\ x e. RR /\ y e. RR) -> ((z < x /\ x <_ y) -> z <_ y))
9	8	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((z e. ZZ /\ x e. RR /\ y e. RR) -> (z < x -> (x <_ y -> z <_ y)))
10	9	3expia 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((z e. ZZ /\ x e. RR) -> (y e. RR -> (z < x -> (x <_ y -> z <_ y))))
11		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((A C_ RR /\ y e. A) -> y e. RR)
12	10, 11	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((z e. ZZ /\ x e. RR) -> ((A C_ RR /\ y e. A) -> (z < x -> (x <_ y -> z <_ y))))
13	12	expdimp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((z e. ZZ /\ x e. RR) /\ A C_ RR) -> (y e. A -> (z < x -> (x <_ y -> z <_ y))))
14	13	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((z e. ZZ /\ x e. RR) /\ A C_ RR) -> (z < x -> (y e. A -> (x <_ y -> z <_ y))))
15	14	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((z e. ZZ /\ x e. RR) /\ A C_ RR) /\ z < x) -> (y e. A -> (x <_ y -> z <_ y)))
16	15	r19.21aiv 2175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((z e. ZZ /\ x e. RR) /\ A C_ RR) /\ z < x) -> A.y e. A (x <_ y -> z <_ y))
17		ralim 2164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (A.y e. A (x <_ y -> z <_ y) -> (A.y e. A x <_ y -> A.y e. A z <_ y))
18	16, 17	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((z e. ZZ /\ x e. RR) /\ A C_ RR) /\ z < x) -> (A.y e. A x <_ y -> A.y e. A z <_ y))
19	18	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((z e. ZZ /\ x e. RR) /\ A C_ RR) -> (z < x -> (A.y e. A x <_ y -> A.y e. A z <_ y)))
20	19	anasss 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((z e. ZZ /\ (x e. RR /\ A C_ RR)) -> (z < x -> (A.y e. A x <_ y -> A.y e. A z <_ y)))
21	20	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. RR /\ A C_ RR) -> (z e. ZZ -> (z < x -> (A.y e. A x <_ y -> A.y e. A z <_ y))))
22	21	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. RR /\ A C_ RR) -> (z < x -> (z e. ZZ -> (A.y e. A x <_ y -> A.y e. A z <_ y))))
23	22	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((x e. RR /\ A C_ RR) /\ z < x) -> (z e. ZZ -> (A.y e. A x <_ y -> A.y e. A z <_ y)))
24	23	imdistand 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((x e. RR /\ A C_ RR) /\ z < x) -> ((z e. ZZ /\ A.y e. A x <_ y) -> (z e. ZZ /\ A.y e. A z <_ y)))
25		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = z -> (x <_ y <-> z <_ y))
26	25	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = z -> (A.y e. A x <_ y <-> A.y e. A z <_ y))
27	26	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. ZZ /\ A.y e. A z <_ y) -> E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y)
28	24, 27	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. RR /\ A C_ RR) /\ z < x) -> ((z e. ZZ /\ A.y e. A x <_ y) -> E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y))
29	28	ex 402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. RR /\ A C_ RR) -> (z < x -> ((z e. ZZ /\ A.y e. A x <_ y) -> E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y)))
30	29	com23 36	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ A C_ RR) -> ((z e. ZZ /\ A.y e. A x <_ y) -> (z < x -> E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y)))
31	30	ancomsd 485	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ A C_ RR) -> ((A.y e. A x <_ y /\ z e. ZZ) -> (z < x -> E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y)))
32	31	expdimp 406	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. RR /\ A C_ RR) /\ A.y e. A x <_ y) -> (z e. ZZ -> (z < x -> E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y)))
33	32	r19.23adv 2215	. . . . . . . . 9 |- (((x e. RR /\ A C_ RR) /\ A.y e. A x <_ y) -> (E.z e. ZZ z < x -> E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y))
34	33	anasss 488	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ (A C_ RR /\ A.y e. A x <_ y)) -> (E.z e. ZZ z < x -> E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y))
35	34	expcom 403	. . . . . . 7 |- ((A C_ RR /\ A.y e. A x <_ y) -> (x e. RR -> (E.z e. ZZ z < x -> E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y)))
36	35	imp3a 388	. . . . . 6 |- ((A C_ RR /\ A.y e. A x <_ y) -> ((x e. RR /\ E.z e. ZZ z < x) -> E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y))
37		btwnz 7428	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> (E.z e. ZZ z < x /\ E.z e. ZZ x < z))
38	37	simplld 348	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> E.z e. ZZ z < x)
39	38	pm4.71i 699	. . . . . 6 |- (x e. RR <-> (x e. RR /\ E.z e. ZZ z < x))
40	36, 39	syl5ib 223	. . . . 5 |- ((A C_ RR /\ A.y e. A x <_ y) -> (x e. RR -> E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y))
41	40	ex 402	. . . 4 |- (A C_ RR -> (A.y e. A x <_ y -> (x e. RR -> E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y)))
42	41	com23 36	. . 3 |- (A C_ RR -> (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y)))
43	1, 2, 42	r19.23ad 2213	. 2 |- (A C_ RR -> (E.x e. RR A.y e. A x <_ y -> E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y))
44		zssre 7351	. . . 4 |- ZZ C_ RR
45		ssrexv 2673	. . . 4 |- (ZZ C_ RR -> (E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y -> E.x e. RR A.y e. A x <_ y))
46	44, 45	ax-mp 7	. . 3 |- (E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y -> E.x e. RR A.y e. A x <_ y)
47	46	a1i 8	. 2 |- (A C_ RR -> (E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y -> E.x e. RR A.y e. A x <_ y))
48	43, 47	impbid 574	1 |- (A C_ RR -> (E.x e. RR A.y e. A x <_ y <-> E.x e. ZZ A.y e. A x <_ y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  RRcr 6385   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653

This theorem is referenced by:  suprzcl 13658

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-z 7345

Copyright terms: Public domain