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Theorem lbspropd 17157
Description: If two structures have the same components (properties), they have the same set of bases. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbspropd.b1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
lbspropd.b2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
lbspropd.w  |-  ( ph  ->  B  C_  W )
lbspropd.p  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
lbspropd.s1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  e.  W )
lbspropd.s2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
lbspropd.f  |-  F  =  (Scalar `  K )
lbspropd.g  |-  G  =  (Scalar `  L )
lbspropd.p1  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  F ) )
lbspropd.p2  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  G ) )
lbspropd.a  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  F ) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
lbspropd.v1  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
lbspropd.v2  |-  ( ph  ->  L  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
lbspropd  |-  ( ph  ->  (LBasis `  K )  =  (LBasis `  L )
)
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    x, L, y    ph, x, y   
x, F, y    x, G, y    x, P, y   
x, W, y

Proof of Theorem lbspropd
Dummy variables  v  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  /\  v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } ) )  ->  ph )
2 eldifi 3473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( P  \  { ( 0g `  F ) } )  ->  v  e.  P
)
32adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  /\  v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } ) )  ->  v  e.  P )
4 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  z  C_  B )
54sselda 3351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  u  e.  B )
65adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  /\  v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } ) )  ->  u  e.  B )
7 lbspropd.s2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
87proplem 14620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  P  /\  u  e.  B ) )  -> 
( v ( .s
`  K ) u )  =  ( v ( .s `  L
) u ) )
91, 3, 6, 8syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  /\  v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } ) )  ->  (
v ( .s `  K ) u )  =  ( v ( .s `  L ) u ) )
10 lbspropd.b1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
11 lbspropd.b2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
12 lbspropd.w . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  C_  W )
13 lbspropd.p . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
14 lbspropd.s1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  e.  W )
15 lbspropd.p1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  F ) )
16 lbspropd.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  =  (Scalar `  K )
1716fveq2i 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  (Scalar `  K
) )
1815, 17syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
19 lbspropd.p2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  G ) )
20 lbspropd.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  G  =  (Scalar `  L )
2120fveq2i 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  (Scalar `  L
) )
2219, 21syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  L )
) )
23 lbspropd.v1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
24 lbspropd.v2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  L  e.  _V )
2510, 11, 12, 13, 14, 7, 18, 22, 23, 24lsppropd 17076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( LSpan `  K )  =  ( LSpan `  L
) )
261, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  /\  v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } ) )  ->  ( LSpan `  K )  =  ( LSpan `  L )
)
2726fveq1d 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  /\  v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } ) )  ->  (
( LSpan `  K ) `  ( z  \  {
u } ) )  =  ( ( LSpan `  L ) `  (
z  \  { u } ) ) )
289, 27eleq12d 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  /\  v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } ) )  ->  (
( v ( .s
`  K ) u )  e.  ( (
LSpan `  K ) `  ( z  \  {
u } ) )  <-> 
( v ( .s
`  L ) u )  e.  ( (
LSpan `  L ) `  ( z  \  {
u } ) ) ) )
2928notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  /\  v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } ) )  ->  ( -.  ( v ( .s
`  K ) u )  e.  ( (
LSpan `  K ) `  ( z  \  {
u } ) )  <->  -.  ( v ( .s
`  L ) u )  e.  ( (
LSpan `  L ) `  ( z  \  {
u } ) ) ) )
3029ralbidva 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  ( A. v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) )  <->  A. v  e.  ( P  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  (
v ( .s `  L ) u )  e.  ( ( LSpan `  L ) `  (
z  \  { u } ) ) ) )
3115ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  P  =  ( Base `  F
) )
3231difeq1d 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } )  =  ( (
Base `  F )  \  { ( 0g `  F ) } ) )
3332raleqdv 2918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  ( A. v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) )  <->  A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) ) )
3419ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  P  =  ( Base `  G
) )
35 lbspropd.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  F ) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
3615, 19, 35grpidpropd 15439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0g `  F
)  =  ( 0g
`  G ) )
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  ( 0g `  F )  =  ( 0g `  G
) )
3837sneqd 3884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  { ( 0g `  F ) }  =  { ( 0g `  G ) } )
3934, 38difeq12d 3470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } )  =  ( (
Base `  G )  \  { ( 0g `  G ) } ) )
4039raleqdv 2918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  ( A. v  e.  ( P  \  { ( 0g
`  F ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) )  <->  A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) )
4130, 33, 403bitr3d 283 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  B )  /\  u  e.  z )  ->  ( A. v  e.  (
( Base `  F )  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K ) u )  e.  ( ( LSpan `  K ) `  ( z  \  {
u } ) )  <->  A. v  e.  (
( Base `  G )  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L ) u )  e.  ( ( LSpan `  L ) `  ( z  \  {
u } ) ) ) )
4241ralbidva 2726 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  ( A. u  e.  z  A. v  e.  (
( Base `  F )  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K ) u )  e.  ( ( LSpan `  K ) `  ( z  \  {
u } ) )  <->  A. u  e.  z  A. v  e.  (
( Base `  G )  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L ) u )  e.  ( ( LSpan `  L ) `  ( z  \  {
u } ) ) ) )
4342anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  (
( ( ( LSpan `  K ) `  z
)  =  ( Base `  K )  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  ( ( Base `  F )  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K ) u )  e.  ( ( LSpan `  K ) `  ( z  \  {
u } ) ) )  <->  ( ( (
LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
4443pm5.32da 641 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  C_  B  /\  ( ( (
LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) ) )  <->  ( z  C_  B  /\  ( ( ( LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) ) )
4510sseq2d 3379 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  C_  B  <->  z 
C_  ( Base `  K
) ) )
4645anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  C_  B  /\  ( ( (
LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) ) )  <->  ( z  C_  ( Base `  K
)  /\  ( (
( LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) ) )
4711sseq2d 3379 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  C_  B  <->  z 
C_  ( Base `  L
) ) )
4825fveq1d 5688 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  K
) `  z )  =  ( ( LSpan `  L ) `  z
) )
4910, 11eqtr3d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  K
)  =  ( Base `  L ) )
5048, 49eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  K ) `  z
)  =  ( Base `  K )  <->  ( ( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )
) )
5150anbi1d 704 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) )  <->  ( (
( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
5247, 51anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  C_  B  /\  ( ( (
LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) )  <->  ( z  C_  ( Base `  L
)  /\  ( (
( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) ) )
5344, 46, 523bitr3d 283 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  C_  ( Base `  K )  /\  ( ( ( LSpan `  K ) `  z
)  =  ( Base `  K )  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  ( ( Base `  F )  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K ) u )  e.  ( ( LSpan `  K ) `  ( z  \  {
u } ) ) ) )  <->  ( z  C_  ( Base `  L
)  /\  ( (
( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) ) )
54 3anass 969 . . . 4  |-  ( ( z  C_  ( Base `  K )  /\  (
( LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) )  <->  ( z  C_  ( Base `  K
)  /\  ( (
( LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
55 3anass 969 . . . 4  |-  ( ( z  C_  ( Base `  L )  /\  (
( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) )  <->  ( z  C_  ( Base `  L
)  /\  ( (
( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
5653, 54, 553bitr4g 288 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  C_  ( Base `  K )  /\  ( ( LSpan `  K
) `  z )  =  ( Base `  K
)  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) )  <->  ( z  C_  ( Base `  L
)  /\  ( ( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
57 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
58 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( .s
`  K )  =  ( .s `  K
)
59 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
60 eqid 2438 . . . . 5  |-  (LBasis `  K )  =  (LBasis `  K )
61 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( LSpan `  K )  =  (
LSpan `  K )
62 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
6357, 16, 58, 59, 60, 61, 62islbs 17134 . . . 4  |-  ( K  e.  _V  ->  (
z  e.  (LBasis `  K )  <->  ( z  C_  ( Base `  K
)  /\  ( ( LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
6423, 63syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  (LBasis `  K )  <->  ( z  C_  ( Base `  K
)  /\  ( ( LSpan `  K ) `  z )  =  (
Base `  K )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  F
)  \  { ( 0g `  F ) } )  -.  ( v ( .s `  K
) u )  e.  ( ( LSpan `  K
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
65 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
66 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
67 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
68 eqid 2438 . . . . 5  |-  (LBasis `  L )  =  (LBasis `  L )
69 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( LSpan `  L )  =  (
LSpan `  L )
70 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
7165, 20, 66, 67, 68, 69, 70islbs 17134 . . . 4  |-  ( L  e.  _V  ->  (
z  e.  (LBasis `  L )  <->  ( z  C_  ( Base `  L
)  /\  ( ( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
7224, 71syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  (LBasis `  L )  <->  ( z  C_  ( Base `  L
)  /\  ( ( LSpan `  L ) `  z )  =  (
Base `  L )  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  ( ( Base `  G
)  \  { ( 0g `  G ) } )  -.  ( v ( .s `  L
) u )  e.  ( ( LSpan `  L
) `  ( z  \  { u } ) ) ) ) )
7356, 64, 723bitr4d 285 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  (LBasis `  K )  <->  z  e.  (LBasis `  L ) ) )
7473eqrdv 2436 1  |-  ( ph  ->  (LBasis `  K )  =  (LBasis `  L )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    C_ wss 3323   {csn 3872   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230  Scalarcsca 14233   .scvsca 14234   0gc0g 14370   LSpanclspn 17029  LBasisclbs 17132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-0g 14372  df-lss 16991  df-lsp 17030  df-lbs 17133
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