MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsind2 Structured version   Unicode version

Theorem lbsind2 17174
Description: A basis is linearly independent; that is, every element is not in the span of the remainder of the basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsind2.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lbsind2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lbsind2.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lbsind2.o  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
lbsind2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
Assertion
Ref Expression
lbsind2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  -.  E  e.  ( N `  ( B  \  { E }
) ) )

Proof of Theorem lbsind2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1012 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  W  e.  LMod )
2 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  B  e.  J )
3 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  E  e.  B )
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
5 lbsind2.j . . . . 5  |-  J  =  (LBasis `  W )
64, 5lbsel 17171 . . . 4  |-  ( ( B  e.  J  /\  E  e.  B )  ->  E  e.  ( Base `  W ) )
72, 3, 6syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  E  e.  ( Base `  W )
)
8 lbsind2.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
9 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
10 lbsind2.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
114, 8, 9, 10lmodvs1 16988 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  E  e.  ( Base `  W
) )  ->  (  .1.  ( .s `  W
) E )  =  E )
121, 7, 11syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  (  .1.  ( .s `  W ) E )  =  E )
138lmodrng 16968 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
14 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
1514, 10rngidcl 16677 . . . 4  |-  ( F  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  F )
)
161, 13, 153syl 20 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  .1.  e.  ( Base `  F )
)
17 simp1r 1013 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  .1.  =/=  .0.  )
18 lbsind2.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
19 lbsind2.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
204, 5, 18, 8, 9, 14, 19lbsind 17173 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  J  /\  E  e.  B
)  /\  (  .1.  e.  ( Base `  F
)  /\  .1.  =/=  .0.  ) )  ->  -.  (  .1.  ( .s `  W ) E )  e.  ( N `  ( B  \  { E } ) ) )
212, 3, 16, 17, 20syl22anc 1219 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  -.  (  .1.  ( .s `  W
) E )  e.  ( N `  ( B  \  { E }
) ) )
2212, 21eqneltrrd 2537 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  -.  E  e.  ( N `  ( B  \  { E }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618    \ cdif 3337   {csn 3889   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186  Scalarcsca 14253   .scvsca 14254   0gc0g 14390   1rcur 16615   Ringcrg 16657   LModclmod 16960   LSpanclspn 17064  LBasisclbs 17167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-plusg 14263  df-0g 14392  df-mnd 15427  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-lmod 16962  df-lbs 17168
This theorem is referenced by:  lbspss  17175  islbs2  17247
  Copyright terms: Public domain W3C validator