MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsind2 Structured version   Unicode version

Theorem lbsind2 17853
Description: A basis is linearly independent; that is, every element is not in the span of the remainder of the basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsind2.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lbsind2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lbsind2.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lbsind2.o  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
lbsind2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
Assertion
Ref Expression
lbsind2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  -.  E  e.  ( N `  ( B  \  { E }
) ) )

Proof of Theorem lbsind2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1020 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  W  e.  LMod )
2 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  B  e.  J )
3 simp3 998 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  E  e.  B )
4 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
5 lbsind2.j . . . . 5  |-  J  =  (LBasis `  W )
64, 5lbsel 17850 . . . 4  |-  ( ( B  e.  J  /\  E  e.  B )  ->  E  e.  ( Base `  W ) )
72, 3, 6syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  E  e.  ( Base `  W )
)
8 lbsind2.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
9 eqid 2457 . . . 4  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
10 lbsind2.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
114, 8, 9, 10lmodvs1 17666 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  E  e.  ( Base `  W
) )  ->  (  .1.  ( .s `  W
) E )  =  E )
121, 7, 11syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  (  .1.  ( .s `  W ) E )  =  E )
138lmodring 17646 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
14 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
1514, 10ringidcl 17345 . . . 4  |-  ( F  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  F )
)
161, 13, 153syl 20 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  .1.  e.  ( Base `  F )
)
17 simp1r 1021 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  .1.  =/=  .0.  )
18 lbsind2.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
19 lbsind2.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
204, 5, 18, 8, 9, 14, 19lbsind 17852 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  J  /\  E  e.  B
)  /\  (  .1.  e.  ( Base `  F
)  /\  .1.  =/=  .0.  ) )  ->  -.  (  .1.  ( .s `  W ) E )  e.  ( N `  ( B  \  { E } ) ) )
212, 3, 16, 17, 20syl22anc 1229 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  -.  (  .1.  ( .s `  W
) E )  e.  ( N `  ( B  \  { E }
) ) )
2212, 21eqneltrrd 2567 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  .1.  =/=  .0.  )  /\  B  e.  J  /\  E  e.  B
)  ->  -.  E  e.  ( N `  ( B  \  { E }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    \ cdif 3468   {csn 4032   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643  Scalarcsca 14714   .scvsca 14715   0gc0g 14856   1rcur 17279   Ringcrg 17324   LModclmod 17638   LSpanclspn 17743  LBasisclbs 17846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-lmod 17640  df-lbs 17847
This theorem is referenced by:  lbspss  17854  islbs2  17926
  Copyright terms: Public domain W3C validator