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Theorem lbsextlem4 18384
Description: Lemma for lbsext 18386. lbsextlem3 18383 satisfies the conditions for the application of Zorn's lemma zorn 8937 (thus invoking AC), and so there is a maximal linearly independent set extending  C. Here we prove that such a set is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lbsext.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lbsext.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lbsext.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lbsext.c  |-  ( ph  ->  C  C_  V )
lbsext.x  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) ) )
lbsext.s  |-  S  =  { z  e.  ~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) ) }
lbsext.k  |-  ( ph  ->  ~P V  e.  dom  card )
Assertion
Ref Expression
lbsextlem4  |-  ( ph  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
Distinct variable groups:    x, J    ph, x, s    S, s, x    x, z, C   
x, N, z    x, V, z    x, W    z,
s    ph, s
Allowed substitution hints:    ph( z)    C( s)    S( z)    J( z, s)    N( s)    V( s)    W( z, s)

Proof of Theorem lbsextlem4
Dummy variables  u  w  y  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsext.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P V  e.  dom  card )
2 lbsext.s . . . . 5  |-  S  =  { z  e.  ~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) ) }
3 ssrab2 3514 . . . . 5  |-  { z  e.  ~P V  | 
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) ) } 
C_  ~P V
42, 3eqsstri 3462 . . . 4  |-  S  C_  ~P V
5 ssnum 8470 . . . 4  |-  ( ( ~P V  e.  dom  card  /\  S  C_  ~P V
)  ->  S  e.  dom  card )
61, 4, 5sylancl 668 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  card )
7 lbsext.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lbsext.j . . . 4  |-  J  =  (LBasis `  W )
9 lbsext.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
10 lbsext.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
11 lbsext.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  C_  V )
12 lbsext.x . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) ) )
137, 8, 9, 10, 11, 12, 2lbsextlem1 18381 . . 3  |-  ( ph  ->  S  =/=  (/) )
1410adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  W  e.  LVec )
1511adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  C  C_  V )
1612adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )
17 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
18 simpr1 1014 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  y  C_  S )
19 simpr2 1015 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  y  =/=  (/) )
20 simpr3 1016 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  -> [ C.]  Or  y
)
21 eqid 2451 . . . . . 6  |-  U_ u  e.  y  ( N `  ( u  \  {
x } ) )  =  U_ u  e.  y  ( N `  ( u  \  { x } ) )
227, 8, 9, 14, 15, 16, 2, 17, 18, 19, 20, 21lbsextlem3 18383 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  U. y  e.  S )
2322ex 436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  S ) )
2423alrimiv 1773 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y ( ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  S ) )
25 zornn0g 8935 . . 3  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y ( ( y 
C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  S ) )  ->  E. s  e.  S  A. t  e.  S  -.  s  C.  t )
266, 13, 24, 25syl3anc 1268 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  S  A. t  e.  S  -.  s  C.  t )
27 simprl 764 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
s  e.  S )
28 sseq2 3454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  s  ->  ( C  C_  z  <->  C  C_  s
) )
29 difeq1 3544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  s  ->  (
z  \  { x } )  =  ( s  \  { x } ) )
3029fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  s  ->  ( N `  ( z  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( s  \  { x } ) ) )
3130eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  s  ->  (
x  e.  ( N `
 ( z  \  { x } ) )  <->  x  e.  ( N `  ( s  \  { x } ) ) ) )
3231notbid 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  s  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( z  \  { x } ) )  <->  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
3332raleqbi1dv 2995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  s  ->  ( A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
3428, 33anbi12d 717 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  s  ->  (
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) )  <->  ( C  C_  s  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  (
s  \  { x } ) ) ) ) )
3534, 2elrab2 3198 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  S  <->  ( s  e.  ~P V  /\  ( C  C_  s  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s  \  {
x } ) ) ) ) )
3627, 35sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( s  e.  ~P V  /\  ( C  C_  s  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  (
s  \  { x } ) ) ) ) )
3736simpld 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
s  e.  ~P V
)
3837elpwid 3961 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
s  C_  V )
39 lveclmod 18329 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
4010, 39syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4140adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  W  e.  LMod )
427, 9lspssv 18206 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  C_  V )  ->  ( N `  s )  C_  V )
4341, 38, 42syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( N `  s
)  C_  V )
44 ssun1 3597 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  C_  ( s  u.  {
w } )
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  s  C_  ( s  u.  {
w } ) )
46 ssun2 3598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { w }  C_  ( s  u. 
{ w } )
47 ssnid 3997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
{ w }
4846, 47sselii 3429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  w  e.  ( s  u.  {
w } )
497, 9lspssid 18208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  C_  V )  ->  s  C_  ( N `  s
) )
5041, 38, 49syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
s  C_  ( N `  s ) )
5150adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  s  C_  ( N `  s ) )
52 eldifn 3556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( V  \ 
( N `  s
) )  ->  -.  w  e.  ( N `  s ) )
5352adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  s
) )
5451, 53ssneldd 3435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  -.  w  e.  s )
55 nelne1 2720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ( s  u.  { w }
)  /\  -.  w  e.  s )  ->  (
s  u.  { w } )  =/=  s
)
5648, 54, 55sylancr 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( s  u.  { w } )  =/=  s )
5756necomd 2679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  s  =/=  ( s  u.  {
w } ) )
58 df-pss 3420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s 
C.  ( s  u. 
{ w } )  <-> 
( s  C_  (
s  u.  { w } )  /\  s  =/=  ( s  u.  {
w } ) ) )
5945, 57, 58sylanbrc 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  s  C.  (
s  u.  { w } ) )
6038adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  s  C_  V )
61 eldifi 3555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( V  \ 
( N `  s
) )  ->  w  e.  V )
6261adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  w  e.  V )
6362snssd 4117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  { w }  C_  V )
6460, 63unssd 3610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( s  u.  { w } ) 
C_  V )
65 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  W )  e.  _V
667, 65eqeltri 2525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  e. 
_V
6766elpw2 4567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  u.  { w } )  e.  ~P V 
<->  ( s  u.  {
w } )  C_  V )
6864, 67sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( s  u.  { w } )  e.  ~P V )
6936simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( C  C_  s  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
7069simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  C  C_  s )
7170adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  C  C_  s
)
7271, 44syl6ss 3444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  C  C_  (
s  u.  { w } ) )
7310ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  W  e.  LVec )
7438adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  s  C_  V
)
7574ssdifssd 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( s  \  { x } ) 
C_  V )
7662adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  w  e.  V
)
77 simprrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( ( s  u.  { w } )  \  {
x } ) ) )
78 simprrl 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  x  e.  s )
7954adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  -.  w  e.  s )
80 nelne2 2721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  s  /\  -.  w  e.  s
)  ->  x  =/=  w )
8178, 79, 80syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  x  =/=  w
)
82 elsni 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  { w }  ->  x  =  w )
8382necon3ai 2649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =/=  w  ->  -.  x  e.  { w } )
8481, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  -.  x  e.  { w } )
85 disjsn 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { w }  i^i  { x } )  =  (/) 
<->  -.  x  e.  {
w } )
8684, 85sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( { w }  i^i  { x }
)  =  (/) )
87 disj3 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( { w }  i^i  { x } )  =  (/) 
<->  { w }  =  ( { w }  \  { x } ) )
8886, 87sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  { w }  =  ( { w }  \  { x }
) )
8988uneq2d 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( ( s 
\  { x }
)  u.  { w } )  =  ( ( s  \  {
x } )  u.  ( { w }  \  { x } ) ) )
90 difundir 3696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( s  u.  { w } )  \  {
x } )  =  ( ( s  \  { x } )  u.  ( { w }  \  { x }
) )
9189, 90syl6reqr 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } )  =  ( ( s  \  {
x } )  u. 
{ w } ) )
9291fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) )  =  ( N `  ( ( s  \  { x } )  u.  {
w } ) ) )
9377, 92eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( ( s  \  { x } )  u.  {
w } ) ) )
9469simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s  \  { x } ) ) )
9594adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) )
96 rsp 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s  \  {
x } ) )  ->  ( x  e.  s  ->  -.  x  e.  ( N `  (
s  \  { x } ) ) ) )
9795, 78, 96sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) )
9893, 97eldifd 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( N `  (
( s  \  {
x } )  u. 
{ w } ) )  \  ( N `
 ( s  \  { x } ) ) ) )
997, 17, 9lspsolv 18366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  (
( s  \  {
x } )  C_  V  /\  w  e.  V  /\  x  e.  (
( N `  (
( s  \  {
x } )  u. 
{ w } ) )  \  ( N `
 ( s  \  { x } ) ) ) ) )  ->  w  e.  ( N `  ( ( s  \  { x } )  u.  {
x } ) ) )
10073, 75, 76, 98, 99syl13anc 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  w  e.  ( N `  ( ( s  \  { x } )  u.  {
x } ) ) )
101 undif1 3842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( s  \  { x } )  u.  {
x } )  =  ( s  u.  {
x } )
10278snssd 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  { x }  C_  s )
103 ssequn2 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { x }  C_  s  <->  ( s  u.  { x } )  =  s )
104102, 103sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( s  u. 
{ x } )  =  s )
105101, 104syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( ( s 
\  { x }
)  u.  { x } )  =  s )
106105fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( N `  ( ( s  \  { x } )  u.  { x }
) )  =  ( N `  s ) )
107100, 106eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  w  e.  ( N `  s ) )
108107expr 620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( (
x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) ) )  ->  w  e.  ( N `  s ) ) )
10953, 108mtod 181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  -.  (
x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) ) ) )
110 imnan 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  s  ->  -.  x  e.  ( N `  ( (
s  u.  { w } )  \  {
x } ) ) )  <->  -.  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) )
111109, 110sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( x  e.  s  ->  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) )
112111ralrimiv 2800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) )
113 difssd 3561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( s  \  {
w } )  C_  s )
1147, 9lspss 18207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  C_  V  /\  ( s 
\  { w }
)  C_  s )  ->  ( N `  (
s  \  { w } ) )  C_  ( N `  s ) )
11541, 38, 113, 114syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( N `  (
s  \  { w } ) )  C_  ( N `  s ) )
116115adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( N `  ( s  \  {
w } ) ) 
C_  ( N `  s ) )
117116, 53ssneldd 3435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  (
s  \  { w } ) ) )
118 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  w  e. 
_V
119 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  x  =  w )
120 sneq 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  w  ->  { x }  =  { w } )
121120difeq2d 3551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } )  =  ( ( s  u.  { w }
)  \  { w } ) )
122 difun2 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  u.  { w } )  \  {
w } )  =  ( s  \  {
w } )
123121, 122syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } )  =  ( s  \  { w } ) )
124123fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  ( N `  ( (
s  u.  { w } )  \  {
x } ) )  =  ( N `  ( s  \  {
w } ) ) )
125119, 124eleq12d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  ( N `
 ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } ) )  <->  w  e.  ( N `  ( s 
\  { w }
) ) ) )
126125notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( (
s  u.  { w } )  \  {
x } ) )  <->  -.  w  e.  ( N `  ( s  \  { w } ) ) ) )
127118, 126ralsn 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  { w }  -.  x  e.  ( N `  ( ( s  u.  { w } )  \  {
x } ) )  <->  -.  w  e.  ( N `  ( s  \  { w } ) ) )
128117, 127sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  A. x  e.  { w }  -.  x  e.  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) ) )
129 ralun 3616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( ( s  u.  { w } )  \  {
x } ) )  /\  A. x  e. 
{ w }  -.  x  e.  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) ) )  ->  A. x  e.  (
s  u.  { w } )  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) )
130112, 128, 129syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  A. x  e.  ( s  u.  {
w } )  -.  x  e.  ( N `
 ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } ) ) )
13172, 130jca 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( C  C_  ( s  u.  {
w } )  /\  A. x  e.  ( s  u.  { w }
)  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) )
132 sseq2 3454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( C  C_  z 
<->  C  C_  ( s  u.  { w } ) ) )
133 difeq1 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( z  \  { x } )  =  ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } ) )
134133fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( N `  ( z  \  {
x } ) )  =  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) ) )
135134eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) )  <->  x  e.  ( N `  ( ( s  u.  { w } )  \  {
x } ) ) ) )
136135notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) )  <->  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) )
137136raleqbi1dv 2995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  ( s  u.  {
w } )  -.  x  e.  ( N `
 ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } ) ) ) )
138132, 137anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( ( C 
C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z  \  {
x } ) ) )  <->  ( C  C_  ( s  u.  {
w } )  /\  A. x  e.  ( s  u.  { w }
)  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )
139138, 2elrab2 3198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  u.  { w } )  e.  S  <->  ( ( s  u.  {
w } )  e. 
~P V  /\  ( C  C_  ( s  u. 
{ w } )  /\  A. x  e.  ( s  u.  {
w } )  -.  x  e.  ( N `
 ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } ) ) ) ) )
14068, 131, 139sylanbrc 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( s  u.  { w } )  e.  S )
141 simplrr 771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  A. t  e.  S  -.  s  C.  t )
142 psseq2 3521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( s  C.  t 
<->  s  C.  ( s  u.  { w } ) ) )
143142notbid 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( -.  s  C.  t  <->  -.  s  C.  (
s  u.  { w } ) ) )
144143rspcv 3146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  u.  { w } )  e.  S  ->  ( A. t  e.  S  -.  s  C.  t  ->  -.  s  C.  (
s  u.  { w } ) ) )
145140, 141, 144sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  -.  s  C.  ( s  u.  {
w } ) )
14659, 145pm2.65da 580 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  -.  w  e.  ( V  \  ( N `  s ) ) )
147146eq0rdv 3769 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( V  \  ( N `  s )
)  =  (/) )
148 ssdif0 3823 . . . . . . . 8  |-  ( V 
C_  ( N `  s )  <->  ( V  \  ( N `  s
) )  =  (/) )
149147, 148sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  V  C_  ( N `  s ) )
15043, 149eqssd 3449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( N `  s
)  =  V )
15110adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  W  e.  LVec )
1527, 8, 9islbs2 18377 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( s  e.  J  <->  ( s  C_  V  /\  ( N `
 s )  =  V  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  (
s  \  { x } ) ) ) ) )
153151, 152syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( s  e.  J  <->  ( s  C_  V  /\  ( N `  s )  =  V  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s  \  {
x } ) ) ) ) )
15438, 150, 94, 153mpbir3and 1191 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
s  e.  J )
155154, 70jca 535 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( s  e.  J  /\  C  C_  s ) )
156155ex 436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t )  ->  (
s  e.  J  /\  C  C_  s ) ) )
157156reximdv2 2858 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  S  A. t  e.  S  -.  s  C.  t  ->  E. s  e.  J  C  C_  s ) )
15826, 157mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985   A.wal 1442    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404    C. wpss 3405   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198   U_ciun 4278    Or wor 4754   dom cdm 4834   ` cfv 5582   [ C.] crpss 6570   cardccrd 8369   Basecbs 15121   LModclmod 18091   LSubSpclss 18155   LSpanclspn 18194  LBasisclbs 18297   LVecclvec 18325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-rpss 6571  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-drng 17977  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-lbs 18298  df-lvec 18326
This theorem is referenced by:  lbsextg  18385
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