MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsextlem4 Structured version   Unicode version

Theorem lbsextlem4 18129
Description: Lemma for lbsext 18131. lbsextlem3 18128 satisfies the conditions for the application of Zorn's lemma zorn 8921 (thus invoking AC), and so there is a maximal linearly independent set extending  C. Here we prove that such a set is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lbsext.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lbsext.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lbsext.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lbsext.c  |-  ( ph  ->  C  C_  V )
lbsext.x  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) ) )
lbsext.s  |-  S  =  { z  e.  ~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) ) }
lbsext.k  |-  ( ph  ->  ~P V  e.  dom  card )
Assertion
Ref Expression
lbsextlem4  |-  ( ph  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
Distinct variable groups:    x, J    ph, x, s    S, s, x    x, z, C   
x, N, z    x, V, z    x, W    z,
s    ph, s
Allowed substitution hints:    ph( z)    C( s)    S( z)    J( z, s)    N( s)    V( s)    W( z, s)

Proof of Theorem lbsextlem4
Dummy variables  u  w  y  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsext.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P V  e.  dom  card )
2 lbsext.s . . . . 5  |-  S  =  { z  e.  ~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) ) }
3 ssrab2 3526 . . . . 5  |-  { z  e.  ~P V  | 
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) ) } 
C_  ~P V
42, 3eqsstri 3474 . . . 4  |-  S  C_  ~P V
5 ssnum 8454 . . . 4  |-  ( ( ~P V  e.  dom  card  /\  S  C_  ~P V
)  ->  S  e.  dom  card )
61, 4, 5sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  card )
7 lbsext.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lbsext.j . . . 4  |-  J  =  (LBasis `  W )
9 lbsext.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
10 lbsext.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
11 lbsext.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  C_  V )
12 lbsext.x . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) ) )
137, 8, 9, 10, 11, 12, 2lbsextlem1 18126 . . 3  |-  ( ph  ->  S  =/=  (/) )
1410adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  W  e.  LVec )
1511adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  C  C_  V )
1612adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )
17 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
18 simpr1 1005 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  y  C_  S )
19 simpr2 1006 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  y  =/=  (/) )
20 simpr3 1007 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  -> [ C.]  Or  y
)
21 eqid 2404 . . . . . 6  |-  U_ u  e.  y  ( N `  ( u  \  {
x } ) )  =  U_ u  e.  y  ( N `  ( u  \  { x } ) )
227, 8, 9, 14, 15, 16, 2, 17, 18, 19, 20, 21lbsextlem3 18128 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  U. y  e.  S )
2322ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  S ) )
2423alrimiv 1742 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y ( ( y  C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  S ) )
25 zornn0g 8919 . . 3  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y ( ( y 
C_  S  /\  y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  S ) )  ->  E. s  e.  S  A. t  e.  S  -.  s  C.  t )
266, 13, 24, 25syl3anc 1232 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  S  A. t  e.  S  -.  s  C.  t )
27 simprl 758 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
s  e.  S )
28 sseq2 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  s  ->  ( C  C_  z  <->  C  C_  s
) )
29 difeq1 3556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  s  ->  (
z  \  { x } )  =  ( s  \  { x } ) )
3029fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  s  ->  ( N `  ( z  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( s  \  { x } ) ) )
3130eleq2d 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  s  ->  (
x  e.  ( N `
 ( z  \  { x } ) )  <->  x  e.  ( N `  ( s  \  { x } ) ) ) )
3231notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  s  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( z  \  { x } ) )  <->  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
3332raleqbi1dv 3014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  s  ->  ( A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
3428, 33anbi12d 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  s  ->  (
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) )  <->  ( C  C_  s  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  (
s  \  { x } ) ) ) ) )
3534, 2elrab2 3211 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  S  <->  ( s  e.  ~P V  /\  ( C  C_  s  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s  \  {
x } ) ) ) ) )
3627, 35sylib 198 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( s  e.  ~P V  /\  ( C  C_  s  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  (
s  \  { x } ) ) ) ) )
3736simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
s  e.  ~P V
)
3837elpwid 3967 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
s  C_  V )
39 lveclmod 18074 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
4010, 39syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4140adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  W  e.  LMod )
427, 9lspssv 17951 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  C_  V )  ->  ( N `  s )  C_  V )
4341, 38, 42syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( N `  s
)  C_  V )
44 ssun1 3608 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  C_  ( s  u.  {
w } )
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  s  C_  ( s  u.  {
w } ) )
46 ssun2 3609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { w }  C_  ( s  u. 
{ w } )
47 ssnid 4003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
{ w }
4846, 47sselii 3441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  w  e.  ( s  u.  {
w } )
497, 9lspssid 17953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  C_  V )  ->  s  C_  ( N `  s
) )
5041, 38, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
s  C_  ( N `  s ) )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  s  C_  ( N `  s ) )
52 eldifn 3568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( V  \ 
( N `  s
) )  ->  -.  w  e.  ( N `  s ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  s
) )
5451, 53ssneldd 3447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  -.  w  e.  s )
55 nelne1 2734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ( s  u.  { w }
)  /\  -.  w  e.  s )  ->  (
s  u.  { w } )  =/=  s
)
5648, 54, 55sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( s  u.  { w } )  =/=  s )
5756necomd 2676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  s  =/=  ( s  u.  {
w } ) )
58 df-pss 3432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s 
C.  ( s  u. 
{ w } )  <-> 
( s  C_  (
s  u.  { w } )  /\  s  =/=  ( s  u.  {
w } ) ) )
5945, 57, 58sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  s  C.  (
s  u.  { w } ) )
6038adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  s  C_  V )
61 eldifi 3567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( V  \ 
( N `  s
) )  ->  w  e.  V )
6261adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  w  e.  V )
6362snssd 4119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  { w }  C_  V )
6460, 63unssd 3621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( s  u.  { w } ) 
C_  V )
65 fvex 5861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  W )  e.  _V
667, 65eqeltri 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  e. 
_V
6766elpw2 4560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  u.  { w } )  e.  ~P V 
<->  ( s  u.  {
w } )  C_  V )
6864, 67sylibr 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( s  u.  { w } )  e.  ~P V )
6936simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( C  C_  s  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) ) )
7069simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  C  C_  s )
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  C  C_  s
)
7271, 44syl6ss 3456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  C  C_  (
s  u.  { w } ) )
7310ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  W  e.  LVec )
7438adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  s  C_  V
)
7574ssdifssd 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( s  \  { x } ) 
C_  V )
7662adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  w  e.  V
)
77 simprrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( ( s  u.  { w } )  \  {
x } ) ) )
78 simprrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  x  e.  s )
7954adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  -.  w  e.  s )
80 nelne2 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  s  /\  -.  w  e.  s
)  ->  x  =/=  w )
8178, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  x  =/=  w
)
82 elsni 3999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  { w }  ->  x  =  w )
8382necon3ai 2633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =/=  w  ->  -.  x  e.  { w } )
8481, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  -.  x  e.  { w } )
85 disjsn 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { w }  i^i  { x } )  =  (/) 
<->  -.  x  e.  {
w } )
8684, 85sylibr 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( { w }  i^i  { x }
)  =  (/) )
87 disj3 3816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( { w }  i^i  { x } )  =  (/) 
<->  { w }  =  ( { w }  \  { x } ) )
8886, 87sylib 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  { w }  =  ( { w }  \  { x }
) )
8988uneq2d 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( ( s 
\  { x }
)  u.  { w } )  =  ( ( s  \  {
x } )  u.  ( { w }  \  { x } ) ) )
90 difundir 3705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( s  u.  { w } )  \  {
x } )  =  ( ( s  \  { x } )  u.  ( { w }  \  { x }
) )
9189, 90syl6reqr 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } )  =  ( ( s  \  {
x } )  u. 
{ w } ) )
9291fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) )  =  ( N `  ( ( s  \  { x } )  u.  {
w } ) ) )
9377, 92eleqtrd 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( ( s  \  { x } )  u.  {
w } ) ) )
9469simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s  \  { x } ) ) )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) )
96 rsp 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s  \  {
x } ) )  ->  ( x  e.  s  ->  -.  x  e.  ( N `  (
s  \  { x } ) ) ) )
9795, 78, 96sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( s 
\  { x }
) ) )
9893, 97eldifd 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( N `  (
( s  \  {
x } )  u. 
{ w } ) )  \  ( N `
 ( s  \  { x } ) ) ) )
997, 17, 9lspsolv 18111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  (
( s  \  {
x } )  C_  V  /\  w  e.  V  /\  x  e.  (
( N `  (
( s  \  {
x } )  u. 
{ w } ) )  \  ( N `
 ( s  \  { x } ) ) ) ) )  ->  w  e.  ( N `  ( ( s  \  { x } )  u.  {
x } ) ) )
10073, 75, 76, 98, 99syl13anc 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  w  e.  ( N `  ( ( s  \  { x } )  u.  {
x } ) ) )
101 undif1 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( s  \  { x } )  u.  {
x } )  =  ( s  u.  {
x } )
10278snssd 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  { x }  C_  s )
103 ssequn2 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { x }  C_  s  <->  ( s  u.  { x } )  =  s )
104102, 103sylib 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( s  u. 
{ x } )  =  s )
105101, 104syl5eq 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( ( s 
\  { x }
)  u.  { x } )  =  s )
106105fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  ( N `  ( ( s  \  { x } )  u.  { x }
) )  =  ( N `  s ) )
107100, 106eleqtrd 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  ( N `  s )
)  /\  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )  ->  w  e.  ( N `  s ) )
108107expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( (
x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) ) )  ->  w  e.  ( N `  s ) ) )
10953, 108mtod 179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  -.  (
x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) ) ) )
110 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  s  ->  -.  x  e.  ( N `  ( (
s  u.  { w } )  \  {
x } ) ) )  <->  -.  ( x  e.  s  /\  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) )
111109, 110sylibr 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( x  e.  s  ->  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) )
112111ralrimiv 2818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) )
113 difssd 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( s  \  {
w } )  C_  s )
1147, 9lspss 17952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  C_  V  /\  ( s 
\  { w }
)  C_  s )  ->  ( N `  (
s  \  { w } ) )  C_  ( N `  s ) )
11541, 38, 113, 114syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( N `  (
s  \  { w } ) )  C_  ( N `  s ) )
116115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( N `  ( s  \  {
w } ) ) 
C_  ( N `  s ) )
117116, 53ssneldd 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  (
s  \  { w } ) ) )
118 vex 3064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  w  e. 
_V
119 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  x  =  w )
120 sneq 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  w  ->  { x }  =  { w } )
121120difeq2d 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } )  =  ( ( s  u.  { w }
)  \  { w } ) )
122 difun2 3853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  u.  { w } )  \  {
w } )  =  ( s  \  {
w } )
123121, 122syl6eq 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } )  =  ( s  \  { w } ) )
124123fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  ( N `  ( (
s  u.  { w } )  \  {
x } ) )  =  ( N `  ( s  \  {
w } ) ) )
125119, 124eleq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  ( N `
 ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } ) )  <->  w  e.  ( N `  ( s 
\  { w }
) ) ) )
126125notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( (
s  u.  { w } )  \  {
x } ) )  <->  -.  w  e.  ( N `  ( s  \  { w } ) ) ) )
127118, 126ralsn 4013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  { w }  -.  x  e.  ( N `  ( ( s  u.  { w } )  \  {
x } ) )  <->  -.  w  e.  ( N `  ( s  \  { w } ) ) )
128117, 127sylibr 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  A. x  e.  { w }  -.  x  e.  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) ) )
129 ralun 3627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( ( s  u.  { w } )  \  {
x } ) )  /\  A. x  e. 
{ w }  -.  x  e.  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) ) )  ->  A. x  e.  (
s  u.  { w } )  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) )
130112, 128, 129syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  A. x  e.  ( s  u.  {
w } )  -.  x  e.  ( N `
 ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } ) ) )
13172, 130jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( C  C_  ( s  u.  {
w } )  /\  A. x  e.  ( s  u.  { w }
)  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) )
132 sseq2 3466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( C  C_  z 
<->  C  C_  ( s  u.  { w } ) ) )
133 difeq1 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( z  \  { x } )  =  ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } ) )
134133fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( N `  ( z  \  {
x } ) )  =  ( N `  ( ( s  u. 
{ w } ) 
\  { x }
) ) )
135134eleq2d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) )  <->  x  e.  ( N `  ( ( s  u.  { w } )  \  {
x } ) ) ) )
136135notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) )  <->  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) )
137136raleqbi1dv 3014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  ( s  u.  {
w } )  -.  x  e.  ( N `
 ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } ) ) ) )
138132, 137anbi12d 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( ( C 
C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z  \  {
x } ) ) )  <->  ( C  C_  ( s  u.  {
w } )  /\  A. x  e.  ( s  u.  { w }
)  -.  x  e.  ( N `  (
( s  u.  {
w } )  \  { x } ) ) ) ) )
139138, 2elrab2 3211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  u.  { w } )  e.  S  <->  ( ( s  u.  {
w } )  e. 
~P V  /\  ( C  C_  ( s  u. 
{ w } )  /\  A. x  e.  ( s  u.  {
w } )  -.  x  e.  ( N `
 ( ( s  u.  { w }
)  \  { x } ) ) ) ) )
14068, 131, 139sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  ( s  u.  { w } )  e.  S )
141 simplrr 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  A. t  e.  S  -.  s  C.  t )
142 psseq2 3533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( s  C.  t 
<->  s  C.  ( s  u.  { w } ) ) )
143142notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( -.  s  C.  t  <->  -.  s  C.  (
s  u.  { w } ) ) )
144143rspcv 3158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  u.  { w } )  e.  S  ->  ( A. t  e.  S  -.  s  C.  t  ->  -.  s  C.  (
s  u.  { w } ) ) )
145140, 141, 144sylc 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  /\  w  e.  ( V  \  ( N `
 s ) ) )  ->  -.  s  C.  ( s  u.  {
w } ) )
14659, 145pm2.65da 576 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  -.  w  e.  ( V  \  ( N `  s ) ) )
147146eq0rdv 3776 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( V  \  ( N `  s )
)  =  (/) )
148 ssdif0 3830 . . . . . . . 8  |-  ( V 
C_  ( N `  s )  <->  ( V  \  ( N `  s
) )  =  (/) )
149147, 148sylibr 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  V  C_  ( N `  s ) )
15043, 149eqssd 3461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( N `  s
)  =  V )
15110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  ->  W  e.  LVec )
1527, 8, 9islbs2 18122 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( s  e.  J  <->  ( s  C_  V  /\  ( N `
 s )  =  V  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  (
s  \  { x } ) ) ) ) )
153151, 152syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( s  e.  J  <->  ( s  C_  V  /\  ( N `  s )  =  V  /\  A. x  e.  s  -.  x  e.  ( N `  ( s  \  {
x } ) ) ) ) )
15438, 150, 94, 153mpbir3and 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
s  e.  J )
155154, 70jca 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t ) )  -> 
( s  e.  J  /\  C  C_  s ) )
156155ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  S  /\  A. t  e.  S  -.  s  C.  t )  ->  (
s  e.  J  /\  C  C_  s ) ) )
157156reximdv2 2877 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  S  A. t  e.  S  -.  s  C.  t  ->  E. s  e.  J  C  C_  s ) )
15826, 157mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976   A.wal 1405    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3061    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416    C. wpss 3417   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   {csn 3974   U.cuni 4193   U_ciun 4273    Or wor 4745   dom cdm 4825   ` cfv 5571   [ C.] crpss 6563   cardccrd 8350   Basecbs 14843   LModclmod 17834   LSubSpclss 17900   LSpanclspn 17939  LBasisclbs 18042   LVecclvec 18070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-rpss 6564  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-oppr 17594  df-dvdsr 17612  df-unit 17613  df-invr 17643  df-drng 17720  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lsp 17940  df-lbs 18043  df-lvec 18071
This theorem is referenced by:  lbsextg  18130
  Copyright terms: Public domain W3C validator