Theorem lbsextlem4 18384

Description: Lemma for lbsext 18386. lbsextlem3 18383 satisfies the conditions for the application of Zorn's lemma zorn 8937 (thus invoking AC), and so there is a maximal linearly independent set extending C. Here we prove that such a set is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsext.v	|- V = ( Base ` W )
lbsext.j	|- J = (LBasis ` W )
lbsext.n	|- N = ( LSpan ` W )
lbsext.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lbsext.c	|- ( ph -> C C_ V )
lbsext.x	|- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
lbsext.s	|- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
lbsext.k	|- ( ph -> ~P V e. dom card )

Assertion

Ref	Expression
lbsextlem4	|- ( ph -> E. s e. J C C_ s )

Distinct variable groups:   x, J   ph, x, s   S, s, x   x, z, C   x, N, z   x, V, z   x, W   z, s   ph, s

Allowed substitution hints:   ph( z)   C( s)   S( z)   J( z, s)   N( s)   V( s)   W( z, s)

Proof of Theorem lbsextlem4

Dummy variables u w y t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsext.k	. . . 4 |- ( ph -> ~P V e. dom card )
2		lbsext.s	. . . . 5 |- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
3		ssrab2 3514	. . . . 5 |- { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) } C_ ~P V
4	2, 3	eqsstri 3462	. . . 4 |- S C_ ~P V
5		ssnum 8470	. . . 4 |- ( ( ~P V e. dom card /\ S C_ ~P V ) -> S e. dom card )
6	1, 4, 5	sylancl 668	. . 3 |- ( ph -> S e. dom card )
7		lbsext.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
8		lbsext.j	. . . 4 |- J = (LBasis ` W )
9		lbsext.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
10		lbsext.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LVec )
11		lbsext.c	. . . 4 |- ( ph -> C C_ V )
12		lbsext.x	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
13	7, 8, 9, 10, 11, 12, 2	lbsextlem1 18381	. . 3 |- ( ph -> S =/= (/) )
14	10	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) ) -> W e. LVec )
15	11	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) ) -> C C_ V )
16	12	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) ) -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
17		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
18		simpr1 1014	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) ) -> y C_ S )
19		simpr2 1015	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) ) -> y =/= (/) )
20		simpr3 1016	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) ) -> [ C.] Or y )
21		eqid 2451	. . . . . 6 |- U_ u e. y ( N ` ( u \ { x } ) ) = U_ u e. y ( N ` ( u \ { x } ) )
22	7, 8, 9, 14, 15, 16, 2, 17, 18, 19, 20, 21	lbsextlem3 18383	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) ) -> U. y e. S )
23	22	ex 436	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) -> U. y e. S ) )
24	23	alrimiv 1773	. . 3 |- ( ph -> A. y ( ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) -> U. y e. S ) )
25		zornn0g 8935	. . 3 |- ( ( S e. dom card /\ S =/= (/) /\ A. y ( ( y C_ S /\ y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) -> U. y e. S ) ) -> E. s e. S A. t e. S -. s C. t )
26	6, 13, 24, 25	syl3anc 1268	. 2 |- ( ph -> E. s e. S A. t e. S -. s C. t )
27		simprl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> s e. S )
28		sseq2 3454	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = s -> ( C C_ z <-> C C_ s ) )
29		difeq1 3544	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = s -> ( z \ { x } ) = ( s \ { x } ) )
30	29	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = s -> ( N ` ( z \ { x } ) ) = ( N ` ( s \ { x } ) ) )
31	30	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = s -> ( x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) )
32	31	notbid 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = s -> ( -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) )
33	32	raleqbi1dv 2995	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = s -> ( A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) )
34	28, 33	anbi12d 717	. . . . . . . . . 10 |- ( z = s -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) <-> ( C C_ s /\ A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) ) )
35	34, 2	elrab2 3198	. . . . . . . . 9 |- ( s e. S <-> ( s e. ~P V /\ ( C C_ s /\ A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) ) )
36	27, 35	sylib 200	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( s e. ~P V /\ ( C C_ s /\ A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) ) )
37	36	simpld 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> s e. ~P V )
38	37	elpwid 3961	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> s C_ V )
39		lveclmod 18329	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
40	10, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. LMod )
41	40	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> W e. LMod )
42	7, 9	lspssv 18206	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ s C_ V ) -> ( N ` s ) C_ V )
43	41, 38, 42	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( N ` s ) C_ V )
44		ssun1 3597	. . . . . . . . . . . 12 |- s C_ ( s u. { w } )
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> s C_ ( s u. { w } ) )
46		ssun2 3598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { w } C_ ( s u. { w } )
47		ssnid 3997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. { w }
48	46, 47	sselii 3429	. . . . . . . . . . . . 13 |- w e. ( s u. { w } )
49	7, 9	lspssid 18208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. LMod /\ s C_ V ) -> s C_ ( N ` s ) )
50	41, 38, 49	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> s C_ ( N ` s ) )
51	50	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> s C_ ( N ` s ) )
52		eldifn 3556	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) -> -. w e. ( N ` s ) )
53	52	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> -. w e. ( N ` s ) )
54	51, 53	ssneldd 3435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> -. w e. s )
55		nelne1 2720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. ( s u. { w } ) /\ -. w e. s ) -> ( s u. { w } ) =/= s )
56	48, 54, 55	sylancr 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> ( s u. { w } ) =/= s )
57	56	necomd 2679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> s =/= ( s u. { w } ) )
58		df-pss 3420	. . . . . . . . . . 11 |- ( s C. ( s u. { w } ) <-> ( s C_ ( s u. { w } ) /\ s =/= ( s u. { w } ) ) )
59	45, 57, 58	sylanbrc 670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> s C. ( s u. { w } ) )
60	38	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> s C_ V )
61		eldifi 3555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) -> w e. V )
62	61	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> w e. V )
63	62	snssd 4117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> { w } C_ V )
64	60, 63	unssd 3610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> ( s u. { w } ) C_ V )
65		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` W ) e. _V
66	7, 65	eqeltri 2525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- V e. _V
67	66	elpw2 4567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s u. { w } ) e. ~P V <-> ( s u. { w } ) C_ V )
68	64, 67	sylibr 216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> ( s u. { w } ) e. ~P V )
69	36	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( C C_ s /\ A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) )
70	69	simpld 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> C C_ s )
71	70	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> C C_ s )
72	71, 44	syl6ss 3444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> C C_ ( s u. { w } ) )
73	10	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> W e. LVec )
74	38	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> s C_ V )
75	74	ssdifssd 3571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> ( s \ { x } ) C_ V )
76	62	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> w e. V )
77		simprrr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) )
78		simprrl 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> x e. s )
79	54	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> -. w e. s )
80		nelne2 2721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( x e. s /\ -. w e. s ) -> x =/= w )
81	78, 79, 80	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> x =/= w )
82		elsni 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x e. { w } -> x = w )
83	82	necon3ai 2649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x =/= w -> -. x e. { w } )
84	81, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> -. x e. { w } )
85		disjsn 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( { w } i^i { x } ) = (/) <-> -. x e. { w } )
86	84, 85	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> ( { w } i^i { x } ) = (/) )
87		disj3 3809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( { w } i^i { x } ) = (/) <-> { w } = ( { w } \ { x } ) )
88	86, 87	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> { w } = ( { w } \ { x } ) )
89	88	uneq2d 3588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> ( ( s \ { x } ) u. { w } ) = ( ( s \ { x } ) u. ( { w } \ { x } ) ) )
90		difundir 3696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( s u. { w } ) \ { x } ) = ( ( s \ { x } ) u. ( { w } \ { x } ) )
91	89, 90	syl6reqr 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> ( ( s u. { w } ) \ { x } ) = ( ( s \ { x } ) u. { w } ) )
92	91	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) = ( N ` ( ( s \ { x } ) u. { w } ) ) )
93	77, 92	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> x e. ( N ` ( ( s \ { x } ) u. { w } ) ) )
94	69	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) )
95	94	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) )
96		rsp 2754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) -> ( x e. s -> -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) )
97	95, 78, 96	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) )
98	93, 97	eldifd 3415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> x e. ( ( N ` ( ( s \ { x } ) u. { w } ) ) \ ( N ` ( s \ { x } ) ) ) )
99	7, 17, 9	lspsolv 18366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( W e. LVec /\ ( ( s \ { x } ) C_ V /\ w e. V /\ x e. ( ( N ` ( ( s \ { x } ) u. { w } ) ) \ ( N ` ( s \ { x } ) ) ) ) ) -> w e. ( N ` ( ( s \ { x } ) u. { x } ) ) )
100	73, 75, 76, 98, 99	syl13anc 1270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> w e. ( N ` ( ( s \ { x } ) u. { x } ) ) )
101		undif1 3842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( s \ { x } ) u. { x } ) = ( s u. { x } )
102	78	snssd 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> { x } C_ s )
103		ssequn2 3607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( { x } C_ s <-> ( s u. { x } ) = s )
104	102, 103	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> ( s u. { x } ) = s )
105	101, 104	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> ( ( s \ { x } ) u. { x } ) = s )
106	105	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> ( N ` ( ( s \ { x } ) u. { x } ) ) = ( N ` s ) )
107	100, 106	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ ( w e. ( V \ ( N ` s ) ) /\ ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) ) -> w e. ( N ` s ) )
108	107	expr 620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> ( ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) -> w e. ( N ` s ) ) )
109	53, 108	mtod 181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> -. ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) )
110		imnan 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. s -> -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) <-> -. ( x e. s /\ x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) )
111	109, 110	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> ( x e. s -> -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) )
112	111	ralrimiv 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> A. x e. s -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) )
113		difssd 3561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( s \ { w } ) C_ s )
114	7, 9	lspss 18207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( W e. LMod /\ s C_ V /\ ( s \ { w } ) C_ s ) -> ( N ` ( s \ { w } ) ) C_ ( N ` s ) )
115	41, 38, 113, 114	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( N ` ( s \ { w } ) ) C_ ( N ` s ) )
116	115	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> ( N ` ( s \ { w } ) ) C_ ( N ` s ) )
117	116, 53	ssneldd 3435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> -. w e. ( N ` ( s \ { w } ) ) )
118		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. _V
119		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = w -> x = w )
120		sneq 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = w -> { x } = { w } )
121	120	difeq2d 3551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = w -> ( ( s u. { w } ) \ { x } ) = ( ( s u. { w } ) \ { w } ) )
122		difun2 3847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( s u. { w } ) \ { w } ) = ( s \ { w } )
123	121, 122	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = w -> ( ( s u. { w } ) \ { x } ) = ( s \ { w } ) )
124	123	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = w -> ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) = ( N ` ( s \ { w } ) ) )
125	119, 124	eleq12d 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = w -> ( x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) <-> w e. ( N ` ( s \ { w } ) ) ) )
126	125	notbid 296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) <-> -. w e. ( N ` ( s \ { w } ) ) ) )
127	118, 126	ralsn 4010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. { w } -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) <-> -. w e. ( N ` ( s \ { w } ) ) )
128	117, 127	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> A. x e. { w } -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) )
129		ralun 3616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. x e. s -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) /\ A. x e. { w } -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) -> A. x e. ( s u. { w } ) -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) )
130	112, 128, 129	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> A. x e. ( s u. { w } ) -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) )
131	72, 130	jca 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> ( C C_ ( s u. { w } ) /\ A. x e. ( s u. { w } ) -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) )
132		sseq2 3454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( s u. { w } ) -> ( C C_ z <-> C C_ ( s u. { w } ) ) )
133		difeq1 3544	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( s u. { w } ) -> ( z \ { x } ) = ( ( s u. { w } ) \ { x } ) )
134	133	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( s u. { w } ) -> ( N ` ( z \ { x } ) ) = ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) )
135	134	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( s u. { w } ) -> ( x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) )
136	135	notbid 296	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( s u. { w } ) -> ( -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) )
137	136	raleqbi1dv 2995	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( s u. { w } ) -> ( A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> A. x e. ( s u. { w } ) -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) )
138	132, 137	anbi12d 717	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( s u. { w } ) -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) <-> ( C C_ ( s u. { w } ) /\ A. x e. ( s u. { w } ) -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) )
139	138, 2	elrab2 3198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s u. { w } ) e. S <-> ( ( s u. { w } ) e. ~P V /\ ( C C_ ( s u. { w } ) /\ A. x e. ( s u. { w } ) -. x e. ( N ` ( ( s u. { w } ) \ { x } ) ) ) ) )
140	68, 131, 139	sylanbrc 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> ( s u. { w } ) e. S )
141		simplrr 771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> A. t e. S -. s C. t )
142		psseq2 3521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( s u. { w } ) -> ( s C. t <-> s C. ( s u. { w } ) ) )
143	142	notbid 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( s u. { w } ) -> ( -. s C. t <-> -. s C. ( s u. { w } ) ) )
144	143	rspcv 3146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s u. { w } ) e. S -> ( A. t e. S -. s C. t -> -. s C. ( s u. { w } ) ) )
145	140, 141, 144	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) /\ w e. ( V \ ( N ` s ) ) ) -> -. s C. ( s u. { w } ) )
146	59, 145	pm2.65da 580	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> -. w e. ( V \ ( N ` s ) ) )
147	146	eq0rdv 3769	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( V \ ( N ` s ) ) = (/) )
148		ssdif0 3823	. . . . . . . 8 |- ( V C_ ( N ` s ) <-> ( V \ ( N ` s ) ) = (/) )
149	147, 148	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> V C_ ( N ` s ) )
150	43, 149	eqssd 3449	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( N ` s ) = V )
151	10	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> W e. LVec )
152	7, 8, 9	islbs2 18377	. . . . . . 7 |- ( W e. LVec -> ( s e. J <-> ( s C_ V /\ ( N ` s ) = V /\ A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) ) )
153	151, 152	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( s e. J <-> ( s C_ V /\ ( N ` s ) = V /\ A. x e. s -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) ) )
154	38, 150, 94, 153	mpbir3and 1191	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> s e. J )
155	154, 70	jca 535	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) ) -> ( s e. J /\ C C_ s ) )
156	155	ex 436	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. S /\ A. t e. S -. s C. t ) -> ( s e. J /\ C C_ s ) ) )
157	156	reximdv2 2858	. 2 |- ( ph -> ( E. s e. S A. t e. S -. s C. t -> E. s e. J C C_ s ) )
158	26, 157	mpd 15	1 |- ( ph -> E. s e. J C C_ s )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   A.wal 1442   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   C. wpss 3405   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198   U_ciun 4278   Or wor 4754   dom cdm 4834   ` cfv 5582   [ C.] crpss 6570   cardccrd 8369   Basecbs 15121   LModclmod 18091   LSubSpclss 18155   LSpanclspn 18194  LBasisclbs 18297   LVecclvec 18325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-rpss 6571  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-drng 17977  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-lbs 18298  df-lvec 18326

This theorem is referenced by:  lbsextg  18385