Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsextlem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lbsextlem3 18461
 Description: Lemma for lbsext 18464. A chain in has an upper bound in . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v
lbsext.j LBasis
lbsext.n
lbsext.w
lbsext.c
lbsext.x
lbsext.s
lbsext.p
lbsext.a
lbsext.z
lbsext.r []
lbsext.t
Assertion
Ref Expression
lbsextlem3
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   ()   (,,)   (,)   ()

Proof of Theorem lbsextlem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsext.a . . . . 5
2 lbsext.s . . . . . 6
3 ssrab2 3500 . . . . . 6
42, 3eqsstri 3448 . . . . 5
51, 4syl6ss 3430 . . . 4
6 sspwuni 4360 . . . 4
75, 6sylib 201 . . 3
8 lbsext.v . . . . 5
9 fvex 5889 . . . . 5
108, 9eqeltri 2545 . . . 4
1110elpw2 4565 . . 3
127, 11sylibr 217 . 2
13 ssintub 4244 . . . . 5
14 simpl 464 . . . . . . . . . 10
1514a1i 11 . . . . . . . . 9
1615ss2rabi 3497 . . . . . . . 8
172, 16eqsstri 3448 . . . . . . 7
181, 17syl6ss 3430 . . . . . 6
19 intss 4247 . . . . . 6
2018, 19syl 17 . . . . 5
2113, 20syl5ss 3429 . . . 4
22 lbsext.z . . . . 5
23 intssuni 4248 . . . . 5
2422, 23syl 17 . . . 4
2521, 24sstrd 3428 . . 3
26 eluni2 4194 . . . . 5
27 simpll1 1069 . . . . . . . . . . . 12
28 lbsext.w . . . . . . . . . . . . 13
29 lveclmod 18407 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12
3127, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11
3227, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 lbsext.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 []
3427, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 []
35 simpll2 1070 . . . . . . . . . . . . . . . 16
36 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 sorpssun 6597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 []
3834, 35, 36, 37syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . . . 15
3932, 38sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14
404, 39sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13
4140elpwid 3952 . . . . . . . . . . . 12
4241ssdifssd 3560 . . . . . . . . . . 11
43 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . 12
44 ssdif 3557 . . . . . . . . . . . 12
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . . . 11
46 lbsext.n . . . . . . . . . . . 12
478, 46lspss 18285 . . . . . . . . . . 11
4831, 42, 45, 47syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
49 simpr 468 . . . . . . . . . 10
5048, 49sseldd 3419 . . . . . . . . 9
51 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . . . 15
52 difeq1 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5352fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5453eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5554notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655raleqbi1dv 2981 . . . . . . . . . . . . . . 15
5751, 56anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . 14
5857, 2elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . 13
5958simprbi 471 . . . . . . . . . . . 12
6059simprd 470 . . . . . . . . . . 11
6139, 60syl 17 . . . . . . . . . 10
62 simpll3 1071 . . . . . . . . . . 11
63 elun1 3592 . . . . . . . . . . 11
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10
65 rsp 2773 . . . . . . . . . 10
6661, 64, 65sylc 61 . . . . . . . . 9
6750, 66pm2.65da 586 . . . . . . . 8
6867nrexdv 2842 . . . . . . 7
69 lbsext.j . . . . . . . . . . . . . . . 16 LBasis
70 lbsext.c . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 lbsext.x . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 lbsext.p . . . . . . . . . . . . . . . 16
73 lbsext.t . . . . . . . . . . . . . . . 16
748, 69, 46, 28, 70, 71, 2, 72, 1, 22, 33, 73lbsextlem2 18460 . . . . . . . . . . . . . . 15
7574simpld 466 . . . . . . . . . . . . . 14
768, 72lssss 18238 . . . . . . . . . . . . . 14
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
7874simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13
798, 46lspss 18285 . . . . . . . . . . . . 13
8030, 77, 78, 79syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
8172, 46lspid 18283 . . . . . . . . . . . . 13
8230, 75, 81syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
8380, 82sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . 11
84833ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10
8584, 73syl6sseq 3464 . . . . . . . . 9
8685sseld 3417 . . . . . . . 8
87 eliun 4274 . . . . . . . 8
8886, 87syl6ib 234 . . . . . . 7
8968, 88mtod 182 . . . . . 6
9089rexlimdv3a 2873 . . . . 5
9126, 90syl5bi 225 . . . 4
9291ralrimiv 2808 . . 3
9325, 92jca 541 . 2
94 sseq2 3440 . . . 4
95 difeq1 3533 . . . . . . . 8
9695fveq2d 5883 . . . . . . 7
9796eleq2d 2534 . . . . . 6
9897notbid 301 . . . . 5
9998raleqbi1dv 2981 . . . 4
10094, 99anbi12d 725 . . 3
101100, 2elrab2 3186 . 2
10212, 93, 101sylanbrc 677 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  csn 3959  cuni 4190  cint 4226  ciun 4269   wor 4759  cfv 5589   [] crpss 6589  cbs 15199  clmod 18169  clss 18233  clspn 18272  LBasisclbs 18375  clvec 18403 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-rpss 6590  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404 This theorem is referenced by:  lbsextlem4  18462
 Copyright terms: Public domain W3C validator