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Theorem lbsextlem3 18376
Description: Lemma for lbsext 18379. A chain in  S has an upper bound in  S. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lbsext.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lbsext.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lbsext.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lbsext.c  |-  ( ph  ->  C  C_  V )
lbsext.x  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) ) )
lbsext.s  |-  S  =  { z  e.  ~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) ) }
lbsext.p  |-  P  =  ( LSubSp `  W )
lbsext.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
lbsext.z  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
lbsext.r  |-  ( ph  -> [
C.]  Or  A )
lbsext.t  |-  T  = 
U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )
Assertion
Ref Expression
lbsextlem3  |-  ( ph  ->  U. A  e.  S
)
Distinct variable groups:    x, J    x, u, ph    u, S, x   
x, z, C    z, u, N, x    u, V, x, z    u, W, x    u, A, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    C( u)    P( x, z, u)    S( z)    T( x, z, u)    J( z, u)    W( z)

Proof of Theorem lbsextlem3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsext.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
2 lbsext.s . . . . . 6  |-  S  =  { z  e.  ~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) ) }
3 ssrab2 3513 . . . . . 6  |-  { z  e.  ~P V  | 
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) ) } 
C_  ~P V
42, 3eqsstri 3461 . . . . 5  |-  S  C_  ~P V
51, 4syl6ss 3443 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ~P V
)
6 sspwuni 4366 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~P V  <->  U. A  C_  V )
75, 6sylib 200 . . 3  |-  ( ph  ->  U. A  C_  V
)
8 lbsext.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 fvex 5873 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
108, 9eqeltri 2524 . . . 4  |-  V  e. 
_V
1110elpw2 4566 . . 3  |-  ( U. A  e.  ~P V  <->  U. A  C_  V )
127, 11sylibr 216 . 2  |-  ( ph  ->  U. A  e.  ~P V )
13 ssintub 4251 . . . . 5  |-  C  C_  |^|
{ z  e.  ~P V  |  C  C_  z }
14 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `
 ( z  \  { x } ) ) )  ->  C  C_  z )
1514a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P V  -> 
( ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) )  ->  C  C_  z
) )
1615ss2rabi 3510 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  ~P V  | 
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) ) } 
C_  { z  e. 
~P V  |  C  C_  z }
172, 16eqsstri 3461 . . . . . . 7  |-  S  C_  { z  e.  ~P V  |  C  C_  z }
181, 17syl6ss 3443 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  { z  e.  ~P V  |  C  C_  z } )
19 intss 4254 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  { z  e. 
~P V  |  C  C_  z }  ->  |^| { z  e.  ~P V  |  C  C_  z }  C_  |^| A )
2018, 19syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  |^| { z  e. 
~P V  |  C  C_  z }  C_  |^| A
)
2113, 20syl5ss 3442 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  C_  |^| A )
22 lbsext.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
23 intssuni 4256 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  |^| A  C_  U. A )
2422, 23syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  |^| A  C_  U. A
)
2521, 24sstrd 3441 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  U. A )
26 eluni2 4201 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y  e.  A  x  e.  y )
27 simpll1 1046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  ph )
28 lbsext.w . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
29 lveclmod 18322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
3127, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  W  e.  LMod )
3227, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  A  C_  S )
33 lbsext.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> [
C.]  Or  A )
3427, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> [ C.] 
Or  A )
35 simpll2 1047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
y  e.  A )
36 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  u  e.  A )
37 sorpssun 6575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( [ C.]  Or  A  /\  (
y  e.  A  /\  u  e.  A )
)  ->  ( y  u.  u )  e.  A
)
3834, 35, 36, 37syl12anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( y  u.  u
)  e.  A )
3932, 38sseldd 3432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( y  u.  u
)  e.  S )
404, 39sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( y  u.  u
)  e.  ~P V
)
4140elpwid 3960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( y  u.  u
)  C_  V )
4241ssdifssd 3570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( ( y  u.  u )  \  {
x } )  C_  V )
43 ssun2 3597 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  C_  ( y  u.  u
)
44 ssdif 3567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u 
C_  ( y  u.  u )  ->  (
u  \  { x } )  C_  (
( y  u.  u
)  \  { x } ) )
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( u  \  {
x } )  C_  ( ( y  u.  u )  \  {
x } ) )
46 lbsext.n . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( LSpan `  W )
478, 46lspss 18200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( y  u.  u
)  \  { x } )  C_  V  /\  ( u  \  {
x } )  C_  ( ( y  u.  u )  \  {
x } ) )  ->  ( N `  ( u  \  { x } ) )  C_  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) )
4831, 42, 45, 47syl3anc 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  -> 
( N `  (
u  \  { x } ) )  C_  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) )
49 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) )
5048, 49sseldd 3432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( ( y  u.  u )  \  {
x } ) ) )
51 sseq2 3453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  ( C  C_  z  <->  C  C_  (
y  u.  u ) ) )
52 difeq1 3543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  (
z  \  { x } )  =  ( ( y  u.  u
)  \  { x } ) )
5352fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  ( N `  ( z  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( ( y  u.  u )  \  { x } ) ) )
5453eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  (
x  e.  ( N `
 ( z  \  { x } ) )  <->  x  e.  ( N `  ( (
y  u.  u ) 
\  { x }
) ) ) )
5554notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( z  \  { x } ) )  <->  -.  x  e.  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) ) )
5655raleqbi1dv 2994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  ( A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  ( y  u.  u )  -.  x  e.  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) ) )
5751, 56anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  u )  ->  (
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) )  <->  ( C  C_  ( y  u.  u
)  /\  A. x  e.  ( y  u.  u
)  -.  x  e.  ( N `  (
( y  u.  u
)  \  { x } ) ) ) ) )
5857, 2elrab2 3197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  u.  u )  e.  S  <->  ( (
y  u.  u )  e.  ~P V  /\  ( C  C_  ( y  u.  u )  /\  A. x  e.  ( y  u.  u )  -.  x  e.  ( N `
 ( ( y  u.  u )  \  { x } ) ) ) ) )
5958simprbi 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  u.  u )  e.  S  ->  ( C  C_  ( y  u.  u )  /\  A. x  e.  ( y  u.  u )  -.  x  e.  ( N `  (
( y  u.  u
)  \  { x } ) ) ) )
6059simprd 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  u )  e.  S  ->  A. x  e.  ( y  u.  u
)  -.  x  e.  ( N `  (
( y  u.  u
)  \  { x } ) ) )
6139, 60syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  A. x  e.  (
y  u.  u )  -.  x  e.  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) )
62 simpll3 1048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  x  e.  y )
63 elun1 3600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  y  ->  x  e.  ( y  u.  u
) )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  x  e.  ( y  u.  u ) )
65 rsp 2753 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  u )  -.  x  e.  ( N `  (
( y  u.  u
)  \  { x } ) )  -> 
( x  e.  ( y  u.  u )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( ( y  u.  u ) 
\  { x }
) ) ) )
6661, 64, 65sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A
)  /\  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( (
y  u.  u ) 
\  { x }
) ) )
6750, 66pm2.65da 579 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  /\  u  e.  A )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) )
6867nrexdv 2842 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  -.  E. u  e.  A  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
69 lbsext.j . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  J  =  (LBasis `  W )
70 lbsext.c . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  C_  V )
71 lbsext.x . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) ) )
72 lbsext.p . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  P  =  ( LSubSp `  W )
73 lbsext.t . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T  = 
U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )
748, 69, 46, 28, 70, 71, 2, 72, 1, 22, 33, 73lbsextlem2 18375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( T  e.  P  /\  ( U. A  \  { x } ) 
C_  T ) )
7574simpld 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  e.  P )
768, 72lssss 18153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  P  ->  T  C_  V )
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  C_  V )
7874simprd 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U. A  \  { x } ) 
C_  T )
798, 46lspss 18200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  ( U. A  \  { x }
)  C_  T )  ->  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  C_  ( N `  T ) )
8030, 77, 78, 79syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  C_  ( N `  T ) )
8172, 46lspid 18198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  P )  ->  ( N `  T )  =  T )
8230, 75, 81syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  T
)  =  T )
8380, 82sseqtrd 3467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  C_  T )
84833ad2ant1 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  C_  T )
8584, 73syl6sseq 3477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  C_  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) ) )
8685sseld 3430 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  ->  x  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) ) ) )
87 eliun 4282 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) )  <->  E. u  e.  A  x  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
8886, 87syl6ib 230 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x } ) )  ->  E. u  e.  A  x  e.  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) ) )
8968, 88mtod 181 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  x  e.  y )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x } ) ) )
9089rexlimdv3a 2880 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) )
9126, 90syl5bi 221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. A  ->  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) )
9291ralrimiv 2799 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) )
9325, 92jca 535 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  C_  U. A  /\  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) )
94 sseq2 3453 . . . 4  |-  ( z  =  U. A  -> 
( C  C_  z  <->  C 
C_  U. A ) )
95 difeq1 3543 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  U. A  -> 
( z  \  {
x } )  =  ( U. A  \  { x } ) )
9695fveq2d 5867 . . . . . . 7  |-  ( z  =  U. A  -> 
( N `  (
z  \  { x } ) )  =  ( N `  ( U. A  \  { x } ) ) )
9796eleq2d 2513 . . . . . 6  |-  ( z  =  U. A  -> 
( x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) )  <->  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) )
9897notbid 296 . . . . 5  |-  ( z  =  U. A  -> 
( -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) )  <->  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x } ) ) ) )
9998raleqbi1dv 2994 . . . 4  |-  ( z  =  U. A  -> 
( A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x } ) ) ) )
10094, 99anbi12d 716 . . 3  |-  ( z  =  U. A  -> 
( ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) )  <-> 
( C  C_  U. A  /\  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) ) )
101100, 2elrab2 3197 . 2  |-  ( U. A  e.  S  <->  ( U. A  e.  ~P V  /\  ( C  C_  U. A  /\  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  ( N `  ( U. A  \  { x }
) ) ) ) )
10212, 93, 101sylanbrc 669 1  |-  ( ph  ->  U. A  e.  S
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044    \ cdif 3400    u. cun 3401    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   {csn 3967   U.cuni 4197   |^|cint 4233   U_ciun 4277    Or wor 4753   ` cfv 5581   [ C.] crpss 6567   Basecbs 15114   LModclmod 18084   LSubSpclss 18148   LSpanclspn 18187  LBasisclbs 18290   LVecclvec 18318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-rpss 6568  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-lvec 18319
This theorem is referenced by:  lbsextlem4  18377
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