Theorem lbsextlem3 18461

Description: Lemma for lbsext 18464. A chain in S has an upper bound in S. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsext.v	|- V = ( Base ` W )
lbsext.j	|- J = (LBasis ` W )
lbsext.n	|- N = ( LSpan ` W )
lbsext.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lbsext.c	|- ( ph -> C C_ V )
lbsext.x	|- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
lbsext.s	|- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
lbsext.p	|- P = ( LSubSp ` W )
lbsext.a	|- ( ph -> A C_ S )
lbsext.z	|- ( ph -> A =/= (/) )
lbsext.r	|- ( ph -> [ C.] Or A )
lbsext.t	|- T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
lbsextlem3	|- ( ph -> U. A e. S )

Distinct variable groups:   x, J   x, u, ph   u, S, x   x, z, C   z, u, N, x   u, V, x, z   u, W, x   u, A, x, z

Allowed substitution hints:   ph( z)   C( u)   P( x, z, u)   S( z)   T( x, z, u)   J( z, u)   W( z)

Proof of Theorem lbsextlem3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsext.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ S )
2		lbsext.s	. . . . . 6 |- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
3		ssrab2 3500	. . . . . 6 |- { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) } C_ ~P V
4	2, 3	eqsstri 3448	. . . . 5 |- S C_ ~P V
5	1, 4	syl6ss 3430	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ~P V )
6		sspwuni 4360	. . . 4 |- ( A C_ ~P V <-> U. A C_ V )
7	5, 6	sylib 201	. . 3 |- ( ph -> U. A C_ V )
8		lbsext.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
9		fvex 5889	. . . . 5 |- ( Base ` W ) e. _V
10	8, 9	eqeltri 2545	. . . 4 |- V e. _V
11	10	elpw2 4565	. . 3 |- ( U. A e. ~P V <-> U. A C_ V )
12	7, 11	sylibr 217	. 2 |- ( ph -> U. A e. ~P V )
13		ssintub 4244	. . . . 5 |- C C_ |^| { z e. ~P V | C C_ z }
14		simpl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) -> C C_ z )
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P V -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) -> C C_ z ) )
16	15	ss2rabi 3497	. . . . . . . 8 |- { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) } C_ { z e. ~P V | C C_ z }
17	2, 16	eqsstri 3448	. . . . . . 7 |- S C_ { z e. ~P V | C C_ z }
18	1, 17	syl6ss 3430	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ { z e. ~P V | C C_ z } )
19		intss 4247	. . . . . 6 |- ( A C_ { z e. ~P V | C C_ z } -> |^| { z e. ~P V | C C_ z } C_ |^| A )
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> |^| { z e. ~P V | C C_ z } C_ |^| A )
21	13, 20	syl5ss 3429	. . . 4 |- ( ph -> C C_ |^| A )
22		lbsext.z	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= (/) )
23		intssuni 4248	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> |^| A C_ U. A )
24	22, 23	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> |^| A C_ U. A )
25	21, 24	sstrd 3428	. . 3 |- ( ph -> C C_ U. A )
26		eluni2 4194	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y e. A x e. y )
27		simpll1 1069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ph )
28		lbsext.w	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> W e. LVec )
29		lveclmod 18407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W e. LMod )
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> W e. LMod )
32	27, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> A C_ S )
33		lbsext.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> [ C.] Or A )
34	27, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> [ C.] Or A )
35		simpll2 1070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> y e. A )
36		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> u e. A )
37		sorpssun 6597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( [ C.] Or A /\ ( y e. A /\ u e. A ) ) -> ( y u. u ) e. A )
38	34, 35, 36, 37	syl12anc 1290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) e. A )
39	32, 38	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) e. S )
40	4, 39	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) e. ~P V )
41	40	elpwid 3952	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) C_ V )
42	41	ssdifssd 3560	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( ( y u. u ) \ { x } ) C_ V )
43		ssun2 3589	. . . . . . . . . . . 12 |- u C_ ( y u. u )
44		ssdif 3557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u C_ ( y u. u ) -> ( u \ { x } ) C_ ( ( y u. u ) \ { x } ) )
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( u \ { x } ) C_ ( ( y u. u ) \ { x } ) )
46		lbsext.n	. . . . . . . . . . . 12 |- N = ( LSpan ` W )
47	8, 46	lspss 18285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( y u. u ) \ { x } ) C_ V /\ ( u \ { x } ) C_ ( ( y u. u ) \ { x } ) ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
48	31, 42, 45, 47	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
49		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
50	48, 49	sseldd 3419	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
51		sseq2 3440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. u ) -> ( C C_ z <-> C C_ ( y u. u ) ) )
52		difeq1 3533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( y u. u ) -> ( z \ { x } ) = ( ( y u. u ) \ { x } ) )
53	52	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( y u. u ) -> ( N ` ( z \ { x } ) ) = ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
54	53	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y u. u ) -> ( x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
55	54	notbid 301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y u. u ) -> ( -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
56	55	raleqbi1dv 2981	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. u ) -> ( A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
57	51, 56	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y u. u ) -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) <-> ( C C_ ( y u. u ) /\ A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) ) )
58	57, 2	elrab2 3186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y u. u ) e. S <-> ( ( y u. u ) e. ~P V /\ ( C C_ ( y u. u ) /\ A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) ) )
59	58	simprbi 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y u. u ) e. S -> ( C C_ ( y u. u ) /\ A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
60	59	simprd 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. u ) e. S -> A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
61	39, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
62		simpll3 1071	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. y )
63		elun1 3592	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. y -> x e. ( y u. u ) )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. ( y u. u ) )
65		rsp 2773	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) -> ( x e. ( y u. u ) -> -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
66	61, 64, 65	sylc 61	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
67	50, 66	pm2.65da 586	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) -> -. x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
68	67	nrexdv 2842	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> -. E. u e. A x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
69		lbsext.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- J = (LBasis ` W )
70		lbsext.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> C C_ V )
71		lbsext.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
72		lbsext.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- P = ( LSubSp ` W )
73		lbsext.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) )
74	8, 69, 46, 28, 70, 71, 2, 72, 1, 22, 33, 73	lbsextlem2 18460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( T e. P /\ ( U. A \ { x } ) C_ T ) )
75	74	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T e. P )
76	8, 72	lssss 18238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T e. P -> T C_ V )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T C_ V )
78	74	simprd 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U. A \ { x } ) C_ T )
79	8, 46	lspss 18285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ ( U. A \ { x } ) C_ T ) -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ ( N ` T ) )
80	30, 77, 78, 79	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ ( N ` T ) )
81	72, 46	lspid 18283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ T e. P ) -> ( N ` T ) = T )
82	30, 75, 81	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` T ) = T )
83	80, 82	sseqtrd 3454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ T )
84	83	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ T )
85	84, 73	syl6sseq 3464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
86	85	sseld 3417	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) -> x e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
87		eliun 4274	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. u e. A x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
88	86, 87	syl6ib 234	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) -> E. u e. A x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
89	68, 88	mtod 182	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) )
90	89	rexlimdv3a 2873	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. A x e. y -> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
91	26, 90	syl5bi 225	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. U. A -> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
92	91	ralrimiv 2808	. . 3 |- ( ph -> A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) )
93	25, 92	jca 541	. 2 |- ( ph -> ( C C_ U. A /\ A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
94		sseq2 3440	. . . 4 |- ( z = U. A -> ( C C_ z <-> C C_ U. A ) )
95		difeq1 3533	. . . . . . . 8 |- ( z = U. A -> ( z \ { x } ) = ( U. A \ { x } ) )
96	95	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( z = U. A -> ( N ` ( z \ { x } ) ) = ( N ` ( U. A \ { x } ) ) )
97	96	eleq2d 2534	. . . . . 6 |- ( z = U. A -> ( x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
98	97	notbid 301	. . . . 5 |- ( z = U. A -> ( -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
99	98	raleqbi1dv 2981	. . . 4 |- ( z = U. A -> ( A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
100	94, 99	anbi12d 725	. . 3 |- ( z = U. A -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) <-> ( C C_ U. A /\ A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) ) )
101	100, 2	elrab2 3186	. 2 |- ( U. A e. S <-> ( U. A e. ~P V /\ ( C C_ U. A /\ A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) ) )
102	12, 93, 101	sylanbrc 677	1 |- ( ph -> U. A e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   u. cun 3388   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   |^|cint 4226   U_ciun 4269   Or wor 4759   ` cfv 5589   [ C.] crpss 6589   Basecbs 15199   LModclmod 18169   LSubSpclss 18233   LSpanclspn 18272  LBasisclbs 18375   LVecclvec 18403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-rpss 6590  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404

This theorem is referenced by:  lbsextlem4  18462