Theorem lbsextlem3 17933

Description: Lemma for lbsext 17936. A chain in S has an upper bound in S. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsext.v	|- V = ( Base ` W )
lbsext.j	|- J = (LBasis ` W )
lbsext.n	|- N = ( LSpan ` W )
lbsext.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lbsext.c	|- ( ph -> C C_ V )
lbsext.x	|- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
lbsext.s	|- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
lbsext.p	|- P = ( LSubSp ` W )
lbsext.a	|- ( ph -> A C_ S )
lbsext.z	|- ( ph -> A =/= (/) )
lbsext.r	|- ( ph -> [ C.] Or A )
lbsext.t	|- T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
lbsextlem3	|- ( ph -> U. A e. S )

Distinct variable groups:   x, J   x, u, ph   u, S, x   x, z, C   z, u, N, x   u, V, x, z   u, W, x   u, A, x, z

Allowed substitution hints:   ph( z)   C( u)   P( x, z, u)   S( z)   T( x, z, u)   J( z, u)   W( z)

Proof of Theorem lbsextlem3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsext.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ S )
2		lbsext.s	. . . . . 6 |- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
3		ssrab2 3581	. . . . . 6 |- { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) } C_ ~P V
4	2, 3	eqsstri 3529	. . . . 5 |- S C_ ~P V
5	1, 4	syl6ss 3511	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ~P V )
6		sspwuni 4421	. . . 4 |- ( A C_ ~P V <-> U. A C_ V )
7	5, 6	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> U. A C_ V )
8		lbsext.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
9		fvex 5882	. . . . 5 |- ( Base ` W ) e. _V
10	8, 9	eqeltri 2541	. . . 4 |- V e. _V
11	10	elpw2 4620	. . 3 |- ( U. A e. ~P V <-> U. A C_ V )
12	7, 11	sylibr 212	. 2 |- ( ph -> U. A e. ~P V )
13		ssintub 4306	. . . . 5 |- C C_ |^| { z e. ~P V | C C_ z }
14		simpl 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) -> C C_ z )
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P V -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) -> C C_ z ) )
16	15	ss2rabi 3578	. . . . . . . 8 |- { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) } C_ { z e. ~P V | C C_ z }
17	2, 16	eqsstri 3529	. . . . . . 7 |- S C_ { z e. ~P V | C C_ z }
18	1, 17	syl6ss 3511	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ { z e. ~P V | C C_ z } )
19		intss 4309	. . . . . 6 |- ( A C_ { z e. ~P V | C C_ z } -> |^| { z e. ~P V | C C_ z } C_ |^| A )
20	18, 19	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> |^| { z e. ~P V | C C_ z } C_ |^| A )
21	13, 20	syl5ss 3510	. . . 4 |- ( ph -> C C_ |^| A )
22		lbsext.z	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= (/) )
23		intssuni 4311	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> |^| A C_ U. A )
24	22, 23	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> |^| A C_ U. A )
25	21, 24	sstrd 3509	. . 3 |- ( ph -> C C_ U. A )
26		eluni2 4255	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y e. A x e. y )
27		simpll1 1035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ph )
28		lbsext.w	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> W e. LVec )
29		lveclmod 17879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W e. LMod )
31	27, 30	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> W e. LMod )
32	27, 1	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> A C_ S )
33		lbsext.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> [ C.] Or A )
34	27, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> [ C.] Or A )
35		simpll2 1036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> y e. A )
36		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> u e. A )
37		sorpssun 6586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( [ C.] Or A /\ ( y e. A /\ u e. A ) ) -> ( y u. u ) e. A )
38	34, 35, 36, 37	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) e. A )
39	32, 38	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) e. S )
40	4, 39	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) e. ~P V )
41	40	elpwid 4025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) C_ V )
42	41	ssdifssd 3638	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( ( y u. u ) \ { x } ) C_ V )
43		ssun2 3664	. . . . . . . . . . . 12 |- u C_ ( y u. u )
44		ssdif 3635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u C_ ( y u. u ) -> ( u \ { x } ) C_ ( ( y u. u ) \ { x } ) )
45	43, 44	mp1i 12	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( u \ { x } ) C_ ( ( y u. u ) \ { x } ) )
46		lbsext.n	. . . . . . . . . . . 12 |- N = ( LSpan ` W )
47	8, 46	lspss 17757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( y u. u ) \ { x } ) C_ V /\ ( u \ { x } ) C_ ( ( y u. u ) \ { x } ) ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
48	31, 42, 45, 47	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
49		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
50	48, 49	sseldd 3500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
51		sseq2 3521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. u ) -> ( C C_ z <-> C C_ ( y u. u ) ) )
52		difeq1 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( y u. u ) -> ( z \ { x } ) = ( ( y u. u ) \ { x } ) )
53	52	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( y u. u ) -> ( N ` ( z \ { x } ) ) = ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
54	53	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y u. u ) -> ( x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
55	54	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y u. u ) -> ( -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
56	55	raleqbi1dv 3062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. u ) -> ( A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
57	51, 56	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y u. u ) -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) <-> ( C C_ ( y u. u ) /\ A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) ) )
58	57, 2	elrab2 3259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y u. u ) e. S <-> ( ( y u. u ) e. ~P V /\ ( C C_ ( y u. u ) /\ A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) ) )
59	58	simprbi 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y u. u ) e. S -> ( C C_ ( y u. u ) /\ A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
60	59	simprd 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. u ) e. S -> A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
61	39, 60	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
62		simpll3 1037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. y )
63		elun1 3667	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. y -> x e. ( y u. u ) )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. ( y u. u ) )
65		rsp 2823	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) -> ( x e. ( y u. u ) -> -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
66	61, 64, 65	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
67	50, 66	pm2.65da 576	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) -> -. x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
68	67	nrexdv 2913	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> -. E. u e. A x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
69		lbsext.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- J = (LBasis ` W )
70		lbsext.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> C C_ V )
71		lbsext.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
72		lbsext.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- P = ( LSubSp ` W )
73		lbsext.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) )
74	8, 69, 46, 28, 70, 71, 2, 72, 1, 22, 33, 73	lbsextlem2 17932	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( T e. P /\ ( U. A \ { x } ) C_ T ) )
75	74	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T e. P )
76	8, 72	lssss 17710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T e. P -> T C_ V )
77	75, 76	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T C_ V )
78	74	simprd 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U. A \ { x } ) C_ T )
79	8, 46	lspss 17757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ ( U. A \ { x } ) C_ T ) -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ ( N ` T ) )
80	30, 77, 78, 79	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ ( N ` T ) )
81	72, 46	lspid 17755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ T e. P ) -> ( N ` T ) = T )
82	30, 75, 81	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` T ) = T )
83	80, 82	sseqtrd 3535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ T )
84	83	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ T )
85	84, 73	syl6sseq 3545	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
86	85	sseld 3498	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) -> x e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
87		eliun 4337	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. u e. A x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
88	86, 87	syl6ib 226	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) -> E. u e. A x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
89	68, 88	mtod 177	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) )
90	89	rexlimdv3a 2951	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. A x e. y -> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
91	26, 90	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. U. A -> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
92	91	ralrimiv 2869	. . 3 |- ( ph -> A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) )
93	25, 92	jca 532	. 2 |- ( ph -> ( C C_ U. A /\ A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
94		sseq2 3521	. . . 4 |- ( z = U. A -> ( C C_ z <-> C C_ U. A ) )
95		difeq1 3611	. . . . . . . 8 |- ( z = U. A -> ( z \ { x } ) = ( U. A \ { x } ) )
96	95	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( z = U. A -> ( N ` ( z \ { x } ) ) = ( N ` ( U. A \ { x } ) ) )
97	96	eleq2d 2527	. . . . . 6 |- ( z = U. A -> ( x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
98	97	notbid 294	. . . . 5 |- ( z = U. A -> ( -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
99	98	raleqbi1dv 3062	. . . 4 |- ( z = U. A -> ( A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
100	94, 99	anbi12d 710	. . 3 |- ( z = U. A -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) <-> ( C C_ U. A /\ A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) ) )
101	100, 2	elrab2 3259	. 2 |- ( U. A e. S <-> ( U. A e. ~P V /\ ( C C_ U. A /\ A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) ) )
102	12, 93, 101	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> U. A e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   u. cun 3469   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251   |^|cint 4288   U_ciun 4332   Or wor 4808   ` cfv 5594   [ C.] crpss 6578   Basecbs 14644   LModclmod 17639   LSubSpclss 17705   LSpanclspn 17744  LBasisclbs 17847   LVecclvec 17875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-rpss 6579  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876

This theorem is referenced by:  lbsextlem4  17934