Theorem lbsextlem3 18376

Description: Lemma for lbsext 18379. A chain in S has an upper bound in S. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsext.v	|- V = ( Base ` W )
lbsext.j	|- J = (LBasis ` W )
lbsext.n	|- N = ( LSpan ` W )
lbsext.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lbsext.c	|- ( ph -> C C_ V )
lbsext.x	|- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
lbsext.s	|- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
lbsext.p	|- P = ( LSubSp ` W )
lbsext.a	|- ( ph -> A C_ S )
lbsext.z	|- ( ph -> A =/= (/) )
lbsext.r	|- ( ph -> [ C.] Or A )
lbsext.t	|- T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
lbsextlem3	|- ( ph -> U. A e. S )

Distinct variable groups:   x, J   x, u, ph   u, S, x   x, z, C   z, u, N, x   u, V, x, z   u, W, x   u, A, x, z

Allowed substitution hints:   ph( z)   C( u)   P( x, z, u)   S( z)   T( x, z, u)   J( z, u)   W( z)

Proof of Theorem lbsextlem3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsext.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ S )
2		lbsext.s	. . . . . 6 |- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
3		ssrab2 3513	. . . . . 6 |- { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) } C_ ~P V
4	2, 3	eqsstri 3461	. . . . 5 |- S C_ ~P V
5	1, 4	syl6ss 3443	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ~P V )
6		sspwuni 4366	. . . 4 |- ( A C_ ~P V <-> U. A C_ V )
7	5, 6	sylib 200	. . 3 |- ( ph -> U. A C_ V )
8		lbsext.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
9		fvex 5873	. . . . 5 |- ( Base ` W ) e. _V
10	8, 9	eqeltri 2524	. . . 4 |- V e. _V
11	10	elpw2 4566	. . 3 |- ( U. A e. ~P V <-> U. A C_ V )
12	7, 11	sylibr 216	. 2 |- ( ph -> U. A e. ~P V )
13		ssintub 4251	. . . . 5 |- C C_ |^| { z e. ~P V | C C_ z }
14		simpl 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) -> C C_ z )
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P V -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) -> C C_ z ) )
16	15	ss2rabi 3510	. . . . . . . 8 |- { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) } C_ { z e. ~P V | C C_ z }
17	2, 16	eqsstri 3461	. . . . . . 7 |- S C_ { z e. ~P V | C C_ z }
18	1, 17	syl6ss 3443	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ { z e. ~P V | C C_ z } )
19		intss 4254	. . . . . 6 |- ( A C_ { z e. ~P V | C C_ z } -> |^| { z e. ~P V | C C_ z } C_ |^| A )
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> |^| { z e. ~P V | C C_ z } C_ |^| A )
21	13, 20	syl5ss 3442	. . . 4 |- ( ph -> C C_ |^| A )
22		lbsext.z	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= (/) )
23		intssuni 4256	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> |^| A C_ U. A )
24	22, 23	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> |^| A C_ U. A )
25	21, 24	sstrd 3441	. . 3 |- ( ph -> C C_ U. A )
26		eluni2 4201	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y e. A x e. y )
27		simpll1 1046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ph )
28		lbsext.w	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> W e. LVec )
29		lveclmod 18322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W e. LMod )
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> W e. LMod )
32	27, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> A C_ S )
33		lbsext.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> [ C.] Or A )
34	27, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> [ C.] Or A )
35		simpll2 1047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> y e. A )
36		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> u e. A )
37		sorpssun 6575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( [ C.] Or A /\ ( y e. A /\ u e. A ) ) -> ( y u. u ) e. A )
38	34, 35, 36, 37	syl12anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) e. A )
39	32, 38	sseldd 3432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) e. S )
40	4, 39	sseldi 3429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) e. ~P V )
41	40	elpwid 3960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) C_ V )
42	41	ssdifssd 3570	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( ( y u. u ) \ { x } ) C_ V )
43		ssun2 3597	. . . . . . . . . . . 12 |- u C_ ( y u. u )
44		ssdif 3567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u C_ ( y u. u ) -> ( u \ { x } ) C_ ( ( y u. u ) \ { x } ) )
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( u \ { x } ) C_ ( ( y u. u ) \ { x } ) )
46		lbsext.n	. . . . . . . . . . . 12 |- N = ( LSpan ` W )
47	8, 46	lspss 18200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( y u. u ) \ { x } ) C_ V /\ ( u \ { x } ) C_ ( ( y u. u ) \ { x } ) ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
48	31, 42, 45, 47	syl3anc 1267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
49		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
50	48, 49	sseldd 3432	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
51		sseq2 3453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. u ) -> ( C C_ z <-> C C_ ( y u. u ) ) )
52		difeq1 3543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( y u. u ) -> ( z \ { x } ) = ( ( y u. u ) \ { x } ) )
53	52	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( y u. u ) -> ( N ` ( z \ { x } ) ) = ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
54	53	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y u. u ) -> ( x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
55	54	notbid 296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y u. u ) -> ( -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
56	55	raleqbi1dv 2994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. u ) -> ( A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
57	51, 56	anbi12d 716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y u. u ) -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) <-> ( C C_ ( y u. u ) /\ A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) ) )
58	57, 2	elrab2 3197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y u. u ) e. S <-> ( ( y u. u ) e. ~P V /\ ( C C_ ( y u. u ) /\ A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) ) )
59	58	simprbi 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y u. u ) e. S -> ( C C_ ( y u. u ) /\ A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
60	59	simprd 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. u ) e. S -> A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
61	39, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
62		simpll3 1048	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. y )
63		elun1 3600	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. y -> x e. ( y u. u ) )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. ( y u. u ) )
65		rsp 2753	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) -> ( x e. ( y u. u ) -> -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
66	61, 64, 65	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
67	50, 66	pm2.65da 579	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) -> -. x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
68	67	nrexdv 2842	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> -. E. u e. A x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
69		lbsext.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- J = (LBasis ` W )
70		lbsext.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> C C_ V )
71		lbsext.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
72		lbsext.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- P = ( LSubSp ` W )
73		lbsext.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) )
74	8, 69, 46, 28, 70, 71, 2, 72, 1, 22, 33, 73	lbsextlem2 18375	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( T e. P /\ ( U. A \ { x } ) C_ T ) )
75	74	simpld 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T e. P )
76	8, 72	lssss 18153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T e. P -> T C_ V )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T C_ V )
78	74	simprd 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U. A \ { x } ) C_ T )
79	8, 46	lspss 18200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ ( U. A \ { x } ) C_ T ) -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ ( N ` T ) )
80	30, 77, 78, 79	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ ( N ` T ) )
81	72, 46	lspid 18198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ T e. P ) -> ( N ` T ) = T )
82	30, 75, 81	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` T ) = T )
83	80, 82	sseqtrd 3467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ T )
84	83	3ad2ant1 1028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ T )
85	84, 73	syl6sseq 3477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
86	85	sseld 3430	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) -> x e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
87		eliun 4282	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. u e. A x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
88	86, 87	syl6ib 230	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) -> E. u e. A x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
89	68, 88	mtod 181	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) )
90	89	rexlimdv3a 2880	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. A x e. y -> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
91	26, 90	syl5bi 221	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. U. A -> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
92	91	ralrimiv 2799	. . 3 |- ( ph -> A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) )
93	25, 92	jca 535	. 2 |- ( ph -> ( C C_ U. A /\ A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
94		sseq2 3453	. . . 4 |- ( z = U. A -> ( C C_ z <-> C C_ U. A ) )
95		difeq1 3543	. . . . . . . 8 |- ( z = U. A -> ( z \ { x } ) = ( U. A \ { x } ) )
96	95	fveq2d 5867	. . . . . . 7 |- ( z = U. A -> ( N ` ( z \ { x } ) ) = ( N ` ( U. A \ { x } ) ) )
97	96	eleq2d 2513	. . . . . 6 |- ( z = U. A -> ( x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
98	97	notbid 296	. . . . 5 |- ( z = U. A -> ( -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
99	98	raleqbi1dv 2994	. . . 4 |- ( z = U. A -> ( A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
100	94, 99	anbi12d 716	. . 3 |- ( z = U. A -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) <-> ( C C_ U. A /\ A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) ) )
101	100, 2	elrab2 3197	. 2 |- ( U. A e. S <-> ( U. A e. ~P V /\ ( C C_ U. A /\ A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) ) )
102	12, 93, 101	sylanbrc 669	1 |- ( ph -> U. A e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044   \ cdif 3400   u. cun 3401   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   {csn 3967   U.cuni 4197   |^|cint 4233   U_ciun 4277   Or wor 4753   ` cfv 5581   [ C.] crpss 6567   Basecbs 15114   LModclmod 18084   LSubSpclss 18148   LSpanclspn 18187  LBasisclbs 18290   LVecclvec 18318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-rpss 6568  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-lvec 18319

This theorem is referenced by:  lbsextlem4  18377