Theorem lbsextlem3 17586

Description: Lemma for lbsext 17589. A chain in S has an upper bound in S. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsext.v	|- V = ( Base ` W )
lbsext.j	|- J = (LBasis ` W )
lbsext.n	|- N = ( LSpan ` W )
lbsext.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lbsext.c	|- ( ph -> C C_ V )
lbsext.x	|- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
lbsext.s	|- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
lbsext.p	|- P = ( LSubSp ` W )
lbsext.a	|- ( ph -> A C_ S )
lbsext.z	|- ( ph -> A =/= (/) )
lbsext.r	|- ( ph -> [ C.] Or A )
lbsext.t	|- T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
lbsextlem3	|- ( ph -> U. A e. S )

Distinct variable groups:   x, J   x, u, ph   u, S, x   x, z, C   z, u, N, x   u, V, x, z   u, W, x   u, A, x, z

Allowed substitution hints:   ph( z)   C( u)   P( x, z, u)   S( z)   T( x, z, u)   J( z, u)   W( z)

Proof of Theorem lbsextlem3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsext.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ S )
2		lbsext.s	. . . . . 6 |- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
3		ssrab2 3585	. . . . . 6 |- { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) } C_ ~P V
4	2, 3	eqsstri 3534	. . . . 5 |- S C_ ~P V
5	1, 4	syl6ss 3516	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ~P V )
6		sspwuni 4411	. . . 4 |- ( A C_ ~P V <-> U. A C_ V )
7	5, 6	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> U. A C_ V )
8		lbsext.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
9		fvex 5874	. . . . 5 |- ( Base ` W ) e. _V
10	8, 9	eqeltri 2551	. . . 4 |- V e. _V
11	10	elpw2 4611	. . 3 |- ( U. A e. ~P V <-> U. A C_ V )
12	7, 11	sylibr 212	. 2 |- ( ph -> U. A e. ~P V )
13		ssintub 4300	. . . . 5 |- C C_ |^| { z e. ~P V | C C_ z }
14		simpl 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) -> C C_ z )
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P V -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) -> C C_ z ) )
16	15	ss2rabi 3582	. . . . . . . 8 |- { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) } C_ { z e. ~P V | C C_ z }
17	2, 16	eqsstri 3534	. . . . . . 7 |- S C_ { z e. ~P V | C C_ z }
18	1, 17	syl6ss 3516	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ { z e. ~P V | C C_ z } )
19		intss 4303	. . . . . 6 |- ( A C_ { z e. ~P V | C C_ z } -> |^| { z e. ~P V | C C_ z } C_ |^| A )
20	18, 19	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> |^| { z e. ~P V | C C_ z } C_ |^| A )
21	13, 20	syl5ss 3515	. . . 4 |- ( ph -> C C_ |^| A )
22		lbsext.z	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= (/) )
23		intssuni 4304	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> |^| A C_ U. A )
24	22, 23	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> |^| A C_ U. A )
25	21, 24	sstrd 3514	. . 3 |- ( ph -> C C_ U. A )
26		eluni2 4249	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y e. A x e. y )
27		simpll1 1035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ph )
28		lbsext.w	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> W e. LVec )
29		lveclmod 17532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W e. LMod )
31	27, 30	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> W e. LMod )
32	27, 1	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> A C_ S )
33		lbsext.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> [ C.] Or A )
34	27, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> [ C.] Or A )
35		simpll2 1036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> y e. A )
36		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> u e. A )
37		sorpssun 6569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( [ C.] Or A /\ ( y e. A /\ u e. A ) ) -> ( y u. u ) e. A )
38	34, 35, 36, 37	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) e. A )
39	32, 38	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) e. S )
40	4, 39	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) e. ~P V )
41	40	elpwid 4020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) C_ V )
42	41	ssdifssd 3642	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( ( y u. u ) \ { x } ) C_ V )
43		ssun2 3668	. . . . . . . . . . . 12 |- u C_ ( y u. u )
44		ssdif 3639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u C_ ( y u. u ) -> ( u \ { x } ) C_ ( ( y u. u ) \ { x } ) )
45	43, 44	mp1i 12	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( u \ { x } ) C_ ( ( y u. u ) \ { x } ) )
46		lbsext.n	. . . . . . . . . . . 12 |- N = ( LSpan ` W )
47	8, 46	lspss 17410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( y u. u ) \ { x } ) C_ V /\ ( u \ { x } ) C_ ( ( y u. u ) \ { x } ) ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
48	31, 42, 45, 47	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
49		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
50	48, 49	sseldd 3505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
51		sseq2 3526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. u ) -> ( C C_ z <-> C C_ ( y u. u ) ) )
52		difeq1 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( y u. u ) -> ( z \ { x } ) = ( ( y u. u ) \ { x } ) )
53	52	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( y u. u ) -> ( N ` ( z \ { x } ) ) = ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
54	53	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y u. u ) -> ( x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
55	54	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y u. u ) -> ( -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
56	55	raleqbi1dv 3066	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. u ) -> ( A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
57	51, 56	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y u. u ) -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) <-> ( C C_ ( y u. u ) /\ A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) ) )
58	57, 2	elrab2 3263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y u. u ) e. S <-> ( ( y u. u ) e. ~P V /\ ( C C_ ( y u. u ) /\ A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) ) )
59	58	simprbi 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y u. u ) e. S -> ( C C_ ( y u. u ) /\ A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
60	59	simprd 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. u ) e. S -> A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
61	39, 60	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
62		simpll3 1037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. y )
63		elun1 3671	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. y -> x e. ( y u. u ) )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. ( y u. u ) )
65		rsp 2830	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) -> ( x e. ( y u. u ) -> -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
66	61, 64, 65	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
67	50, 66	pm2.65da 576	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) -> -. x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
68	67	nrexdv 2920	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> -. E. u e. A x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
69		lbsext.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- J = (LBasis ` W )
70		lbsext.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> C C_ V )
71		lbsext.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
72		lbsext.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- P = ( LSubSp ` W )
73		lbsext.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) )
74	8, 69, 46, 28, 70, 71, 2, 72, 1, 22, 33, 73	lbsextlem2 17585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( T e. P /\ ( U. A \ { x } ) C_ T ) )
75	74	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T e. P )
76	8, 72	lssss 17363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T e. P -> T C_ V )
77	75, 76	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T C_ V )
78	74	simprd 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U. A \ { x } ) C_ T )
79	8, 46	lspss 17410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ ( U. A \ { x } ) C_ T ) -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ ( N ` T ) )
80	30, 77, 78, 79	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ ( N ` T ) )
81	72, 46	lspid 17408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ T e. P ) -> ( N ` T ) = T )
82	30, 75, 81	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` T ) = T )
83	80, 82	sseqtrd 3540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ T )
84	83	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ T )
85	84, 73	syl6sseq 3550	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
86	85	sseld 3503	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) -> x e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
87		eliun 4330	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. u e. A x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
88	86, 87	syl6ib 226	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) -> E. u e. A x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
89	68, 88	mtod 177	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) )
90	89	rexlimdv3a 2957	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. A x e. y -> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
91	26, 90	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. U. A -> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
92	91	ralrimiv 2876	. . 3 |- ( ph -> A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) )
93	25, 92	jca 532	. 2 |- ( ph -> ( C C_ U. A /\ A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
94		sseq2 3526	. . . 4 |- ( z = U. A -> ( C C_ z <-> C C_ U. A ) )
95		difeq1 3615	. . . . . . . 8 |- ( z = U. A -> ( z \ { x } ) = ( U. A \ { x } ) )
96	95	fveq2d 5868	. . . . . . 7 |- ( z = U. A -> ( N ` ( z \ { x } ) ) = ( N ` ( U. A \ { x } ) ) )
97	96	eleq2d 2537	. . . . . 6 |- ( z = U. A -> ( x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
98	97	notbid 294	. . . . 5 |- ( z = U. A -> ( -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
99	98	raleqbi1dv 3066	. . . 4 |- ( z = U. A -> ( A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
100	94, 99	anbi12d 710	. . 3 |- ( z = U. A -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) <-> ( C C_ U. A /\ A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) ) )
101	100, 2	elrab2 3263	. 2 |- ( U. A e. S <-> ( U. A e. ~P V /\ ( C C_ U. A /\ A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) ) )
102	12, 93, 101	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> U. A e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   |^|cint 4282   U_ciun 4325   Or wor 4799   ` cfv 5586   [ C.] crpss 6561   Basecbs 14483   LModclmod 17292   LSubSpclss 17358   LSpanclspn 17397  LBasisclbs 17500   LVecclvec 17528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-rpss 6562  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-plusg 14561  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-lvec 17529

This theorem is referenced by:  lbsextlem4  17587