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Theorem lbsextlem2 17932
Description: Lemma for lbsext 17936. Since  A is a chain (actually, we only need it to be closed under binary union), the union  T of the spans of each individual element of 
A is a subspace, and it contains all of  U. A (except for our target vector  x- we are trying to make  x a linear combination of all the other vectors in some set from  A). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lbsext.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lbsext.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lbsext.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lbsext.c  |-  ( ph  ->  C  C_  V )
lbsext.x  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x } ) ) )
lbsext.s  |-  S  =  { z  e.  ~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) ) }
lbsext.p  |-  P  =  ( LSubSp `  W )
lbsext.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
lbsext.z  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
lbsext.r  |-  ( ph  -> [
C.]  Or  A )
lbsext.t  |-  T  = 
U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )
Assertion
Ref Expression
lbsextlem2  |-  ( ph  ->  ( T  e.  P  /\  ( U. A  \  { x } ) 
C_  T ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, u, ph    u, S, x   
x, z, C    z, u, N, x    u, V, x, z    u, W, x    u, A, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    C( u)    P( x, z, u)    S( z)    T( x, z, u)    J( z, u)    W( z)

Proof of Theorem lbsextlem2
Dummy variables  m  n  r  v  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2458 . . 3  |-  ( ph  ->  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
)
2 eqidd 2458 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  W ) )  =  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
3 lbsext.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  W ) )
5 eqidd 2458 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +g  `  W
)  =  ( +g  `  W ) )
6 eqidd 2458 . . 3  |-  ( ph  ->  ( .s `  W
)  =  ( .s
`  W ) )
7 lbsext.p . . . 4  |-  P  =  ( LSubSp `  W )
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  P  =  ( LSubSp `  W ) )
9 lbsext.t . . . 4  |-  T  = 
U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )
10 lbsext.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
11 lveclmod 17879 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
1312adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  W  e.  LMod )
14 lbsext.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
15 lbsext.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  { z  e.  ~P V  |  ( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  (
z  \  { x } ) ) ) }
16 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  ~P V  | 
( C  C_  z  /\  A. x  e.  z  -.  x  e.  ( N `  ( z 
\  { x }
) ) ) } 
C_  ~P V
1715, 16eqsstri 3529 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  ~P V
1814, 17syl6ss 3511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  ~P V
)
1918sselda 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  ~P V )
2019elpwid 4025 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  u  C_  V )
2120ssdifssd 3638 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
u  \  { x } )  C_  V
)
22 lbsext.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  W )
233, 22lspssv 17756 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
u  \  { x } )  C_  V
)  ->  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) 
C_  V )
2413, 21, 23syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  ( N `  ( u  \  { x } ) )  C_  V )
2524ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )  C_  V
)
26 iunss 4373 . . . . 5  |-  ( U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) )  C_  V  <->  A. u  e.  A  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) 
C_  V )
2725, 26sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )  C_  V
)
289, 27syl5eqss 3543 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  V )
299a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) )
30 lbsext.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
313, 7, 22lspcl 17749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
u  \  { x } )  C_  V
)  ->  ( N `  ( u  \  {
x } ) )  e.  P )
3213, 21, 31syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  ( N `  ( u  \  { x } ) )  e.  P )
337lssn0 17714 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( u 
\  { x }
) )  e.  P  ->  ( N `  (
u  \  { x } ) )  =/=  (/) )
3432, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  ( N `  ( u  \  { x } ) )  =/=  (/) )
3534ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )  =/=  (/) )
36 r19.2z 3921 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )  =/=  (/) )
3730, 35, 36syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )  =/=  (/) )
38 iunn0 4392 . . . . 5  |-  ( E. u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )  =/=  (/)  <->  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) )  =/=  (/) )
3937, 38sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )  =/=  (/) )
4029, 39eqnetrd 2750 . . 3  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
419eleq2i 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  T  <->  v  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
42 eliun 4337 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) )  <->  E. u  e.  A  v  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
43 difeq1 3611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  m  ->  (
u  \  { x } )  =  ( m  \  { x } ) )
4443fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  m  ->  ( N `  ( u  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( m  \  { x } ) ) )
4544eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  m  ->  (
v  e.  ( N `
 ( u  \  { x } ) )  <->  v  e.  ( N `  ( m 
\  { x }
) ) ) )
4645cbvrexv 3085 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  A  v  e.  ( N `  ( u  \  { x } ) )  <->  E. m  e.  A  v  e.  ( N `  ( m 
\  { x }
) ) )
4741, 42, 463bitri 271 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  T  <->  E. m  e.  A  v  e.  ( N `  ( m 
\  { x }
) ) )
489eleq2i 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  T  <->  w  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
49 eliun 4337 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) )  <->  E. u  e.  A  w  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
50 difeq1 3611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  n  ->  (
u  \  { x } )  =  ( n  \  { x } ) )
5150fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  n  ->  ( N `  ( u  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( n  \  { x } ) ) )
5251eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  n  ->  (
w  e.  ( N `
 ( u  \  { x } ) )  <->  w  e.  ( N `  ( n  \  { x } ) ) ) )
5352cbvrexv 3085 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  A  w  e.  ( N `  ( u  \  { x } ) )  <->  E. n  e.  A  w  e.  ( N `  ( n 
\  { x }
) ) )
5448, 49, 533bitri 271 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  T  <->  E. n  e.  A  w  e.  ( N `  ( n 
\  { x }
) ) )
5547, 54anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  T  /\  w  e.  T )  <->  ( E. m  e.  A  v  e.  ( N `  ( m  \  {
x } ) )  /\  E. n  e.  A  w  e.  ( N `  ( n 
\  { x }
) ) ) )
56 reeanv 3025 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  A  E. n  e.  A  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) )  <-> 
( E. m  e.  A  v  e.  ( N `  ( m 
\  { x }
) )  /\  E. n  e.  A  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )
5755, 56bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  T  /\  w  e.  T )  <->  E. m  e.  A  E. n  e.  A  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )
58 simp1l 1020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ph )
59 lbsext.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> [
C.]  Or  A )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  -> [ C.]  Or  A
)
61 simp2 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( m  e.  A  /\  n  e.  A ) )
62 sorpssun 6586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( [ C.]  Or  A  /\  (
m  e.  A  /\  n  e.  A )
)  ->  ( m  u.  n )  e.  A
)
6360, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( m  u.  n )  e.  A
)
6458, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
65 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  u.  n )  e.  A  ->  (
m  u.  n ) 
C_  U. A )
6663, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( m  u.  n )  C_  U. A
)
67 sspwuni 4421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
C_  ~P V  <->  U. A  C_  V )
6818, 67sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U. A  C_  V
)
6958, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  U. A  C_  V )
7066, 69sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( m  u.  n )  C_  V
)
7170ssdifssd 3638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( (
m  u.  n ) 
\  { x }
)  C_  V )
723, 7, 22lspcl 17749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( m  u.  n
)  \  { x } )  C_  V
)  ->  ( N `  ( ( m  u.  n )  \  {
x } ) )  e.  P )
7364, 71, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( N `  ( ( m  u.  n )  \  {
x } ) )  e.  P )
74 simp1r 1021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
75 ssun1 3663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  m  C_  ( m  u.  n
)
76 ssdif 3635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m 
C_  ( m  u.  n )  ->  (
m  \  { x } )  C_  (
( m  u.  n
)  \  { x } ) )
7775, 76mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( m  \  { x } ) 
C_  ( ( m  u.  n )  \  { x } ) )
783, 22lspss 17757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( m  u.  n
)  \  { x } )  C_  V  /\  ( m  \  {
x } )  C_  ( ( m  u.  n )  \  {
x } ) )  ->  ( N `  ( m  \  { x } ) )  C_  ( N `  ( ( m  u.  n ) 
\  { x }
) ) )
7964, 71, 77, 78syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( N `  ( m  \  {
x } ) ) 
C_  ( N `  ( ( m  u.  n )  \  {
x } ) ) )
80 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  v  e.  ( N `  ( m 
\  { x }
) ) )
8179, 80sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  v  e.  ( N `  ( ( m  u.  n ) 
\  { x }
) ) )
82 ssun2 3664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  n  C_  ( m  u.  n
)
83 ssdif 3635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n 
C_  ( m  u.  n )  ->  (
n  \  { x } )  C_  (
( m  u.  n
)  \  { x } ) )
8482, 83mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( n  \  { x } ) 
C_  ( ( m  u.  n )  \  { x } ) )
853, 22lspss 17757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( m  u.  n
)  \  { x } )  C_  V  /\  ( n  \  {
x } )  C_  ( ( m  u.  n )  \  {
x } ) )  ->  ( N `  ( n  \  { x } ) )  C_  ( N `  ( ( m  u.  n ) 
\  { x }
) ) )
8664, 71, 84, 85syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( N `  ( n  \  {
x } ) ) 
C_  ( N `  ( ( m  u.  n )  \  {
x } ) ) )
87 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  w  e.  ( N `  ( n 
\  { x }
) ) )
8886, 87sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  w  e.  ( N `  ( ( m  u.  n ) 
\  { x }
) ) )
89 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
90 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
91 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
92 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
9389, 90, 91, 92, 7lsscl 17716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  (
( m  u.  n
)  \  { x } ) )  e.  P  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  v  e.  ( N `  ( ( m  u.  n )  \  {
x } ) )  /\  w  e.  ( N `  ( ( m  u.  n ) 
\  { x }
) ) ) )  ->  ( ( r ( .s `  W
) v ) ( +g  `  W ) w )  e.  ( N `  ( ( m  u.  n ) 
\  { x }
) ) )
9473, 74, 81, 88, 93syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  ( N `  (
( m  u.  n
)  \  { x } ) ) )
95 difeq1 3611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( m  u.  n )  ->  (
u  \  { x } )  =  ( ( m  u.  n
)  \  { x } ) )
9695fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( m  u.  n )  ->  ( N `  ( u  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( ( m  u.  n )  \  { x } ) ) )
9796eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( m  u.  n )  ->  (
( ( r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W ) w )  e.  ( N `  ( u  \  { x } ) )  <->  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  ( N `  (
( m  u.  n
)  \  { x } ) ) ) )
9897rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  u.  n
)  e.  A  /\  ( ( r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W ) w )  e.  ( N `  ( ( m  u.  n )  \  {
x } ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  ( N `  (
u  \  { x } ) ) )
9963, 94, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  ( N `  (
u  \  { x } ) ) )
100 eliun 4337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r ( .s
`  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e. 
U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) )  <->  E. u  e.  A  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  ( N `  (
u  \  { x } ) ) )
10199, 100sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e. 
U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
102101, 9syl6eleqr 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A )  /\  (
v  e.  ( N `
 ( m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  (
n  \  { x } ) ) ) )  ->  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  T )
1031023expia 1198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  A ) )  -> 
( ( v  e.  ( N `  (
m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  ( n  \  {
x } ) ) )  ->  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  T ) )
104103rexlimdvva 2956 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )  -> 
( E. m  e.  A  E. n  e.  A  ( v  e.  ( N `  (
m  \  { x } ) )  /\  w  e.  ( N `  ( n  \  {
x } ) ) )  ->  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  T ) )
10557, 104syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )  -> 
( ( v  e.  T  /\  w  e.  T )  ->  (
( r ( .s
`  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  T ) )
106105exp4b 607 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( r  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  ->  (
v  e.  T  -> 
( w  e.  T  ->  ( ( r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W ) w )  e.  T ) ) ) )
1071063imp2 1211 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  v  e.  T  /\  w  e.  T )
)  ->  ( (
r ( .s `  W ) v ) ( +g  `  W
) w )  e.  T )
1081, 2, 4, 5, 6, 8, 28, 40, 107islssd 17709 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  P )
109 eldifi 3622 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( U. A  \  { x } )  ->  y  e.  U. A )
110109adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. A  \  {
x } ) )  ->  y  e.  U. A )
111 eldifn 3623 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( U. A  \  { x } )  ->  -.  y  e.  { x } )
112111ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( U. A  \  { x } ) )  /\  u  e.  A )  ->  -.  y  e.  { x } )
113 eldif 3481 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( u  \  { x } )  <-> 
( y  e.  u  /\  -.  y  e.  {
x } ) )
1143, 22lspssid 17758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
u  \  { x } )  C_  V
)  ->  ( u  \  { x } ) 
C_  ( N `  ( u  \  { x } ) ) )
11513, 21, 114syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A )  ->  (
u  \  { x } )  C_  ( N `  ( u  \  { x } ) ) )
116115adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( U. A  \  { x } ) )  /\  u  e.  A )  ->  (
u  \  { x } )  C_  ( N `  ( u  \  { x } ) ) )
117116sseld 3498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( U. A  \  { x } ) )  /\  u  e.  A )  ->  (
y  e.  ( u 
\  { x }
)  ->  y  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) ) )
118113, 117syl5bir 218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( U. A  \  { x } ) )  /\  u  e.  A )  ->  (
( y  e.  u  /\  -.  y  e.  {
x } )  -> 
y  e.  ( N `
 ( u  \  { x } ) ) ) )
119112, 118mpan2d 674 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( U. A  \  { x } ) )  /\  u  e.  A )  ->  (
y  e.  u  -> 
y  e.  ( N `
 ( u  \  { x } ) ) ) )
120119reximdva 2932 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. A  \  {
x } ) )  ->  ( E. u  e.  A  y  e.  u  ->  E. u  e.  A  y  e.  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) ) )
121 eluni2 4255 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. u  e.  A  y  e.  u )
122 eliun 4337 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) )  <->  E. u  e.  A  y  e.  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
123120, 121, 1223imtr4g 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. A  \  {
x } ) )  ->  ( y  e. 
U. A  ->  y  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) ) )
124110, 123mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. A  \  {
x } ) )  ->  y  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  { x } ) ) )
125124ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( U. A  \  {
x } )  -> 
y  e.  U_ u  e.  A  ( N `  ( u  \  {
x } ) ) ) )
126125ssrdv 3505 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U. A  \  { x } ) 
C_  U_ u  e.  A  ( N `  ( u 
\  { x }
) ) )
127126, 9syl6sseqr 3546 . 2  |-  ( ph  ->  ( U. A  \  { x } ) 
C_  T )
128108, 127jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( T  e.  P  /\  ( U. A  \  { x } ) 
C_  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    \ cdif 3468    u. cun 3469    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251   U_ciun 4332    Or wor 4808   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   [ C.] crpss 6578   Basecbs 14644   +g cplusg 14712  Scalarcsca 14715   .scvsca 14716   LModclmod 17639   LSubSpclss 17705   LSpanclspn 17744  LBasisclbs 17847   LVecclvec 17875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-rpss 6579  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876
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