Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsextlem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lbsextlem2 18382
 Description: Lemma for lbsext 18386. Since is a chain (actually, we only need it to be closed under binary union), the union of the spans of each individual element of is a subspace, and it contains all of (except for our target vector - we are trying to make a linear combination of all the other vectors in some set from ). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v
lbsext.j LBasis
lbsext.n
lbsext.w
lbsext.c
lbsext.x
lbsext.s
lbsext.p
lbsext.a
lbsext.z
lbsext.r []
lbsext.t
Assertion
Ref Expression
lbsextlem2
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   ()   (,,)   (,)   ()

Proof of Theorem lbsextlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2452 . . 3 Scalar Scalar
2 eqidd 2452 . . 3 Scalar Scalar
3 lbsext.v . . . 4
43a1i 11 . . 3
5 eqidd 2452 . . 3
6 eqidd 2452 . . 3
7 lbsext.p . . . 4
87a1i 11 . . 3
9 lbsext.t . . . 4
10 lbsext.w . . . . . . . . 9
11 lveclmod 18329 . . . . . . . . 9
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8
1312adantr 467 . . . . . . 7
14 lbsext.a . . . . . . . . . . 11
15 lbsext.s . . . . . . . . . . . 12
16 ssrab2 3514 . . . . . . . . . . . 12
1715, 16eqsstri 3462 . . . . . . . . . . 11
1814, 17syl6ss 3444 . . . . . . . . . 10
1918sselda 3432 . . . . . . . . 9
2019elpwid 3961 . . . . . . . 8
2120ssdifssd 3571 . . . . . . 7
22 lbsext.n . . . . . . . 8
233, 22lspssv 18206 . . . . . . 7
2413, 21, 23syl2anc 667 . . . . . 6
2524ralrimiva 2802 . . . . 5
26 iunss 4319 . . . . 5
2725, 26sylibr 216 . . . 4
289, 27syl5eqss 3476 . . 3
299a1i 11 . . . 4
30 lbsext.z . . . . . 6
313, 7, 22lspcl 18199 . . . . . . . . 9
3213, 21, 31syl2anc 667 . . . . . . . 8
337lssn0 18164 . . . . . . . 8
3432, 33syl 17 . . . . . . 7
3534ralrimiva 2802 . . . . . 6
36 r19.2z 3858 . . . . . 6
3730, 35, 36syl2anc 667 . . . . 5
38 iunn0 4338 . . . . 5
3937, 38sylib 200 . . . 4
4029, 39eqnetrd 2691 . . 3
419eleq2i 2521 . . . . . . . . 9
42 eliun 4283 . . . . . . . . 9
43 difeq1 3544 . . . . . . . . . . . 12
4443fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11
4544eleq2d 2514 . . . . . . . . . 10
4645cbvrexv 3020 . . . . . . . . 9
4741, 42, 463bitri 275 . . . . . . . 8
489eleq2i 2521 . . . . . . . . 9
49 eliun 4283 . . . . . . . . 9
50 difeq1 3544 . . . . . . . . . . . 12
5150fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11
5251eleq2d 2514 . . . . . . . . . 10
5352cbvrexv 3020 . . . . . . . . 9
5448, 49, 533bitri 275 . . . . . . . 8
5547, 54anbi12i 703 . . . . . . 7
56 reeanv 2958 . . . . . . 7
5755, 56bitr4i 256 . . . . . 6
58 simp1l 1032 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
59 lbsext.r . . . . . . . . . . . . 13 []
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 Scalar []
61 simp2 1009 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
62 sorpssun 6578 . . . . . . . . . . . 12 []
6360, 61, 62syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11 Scalar
6458, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
65 elssuni 4227 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
67 sspwuni 4367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6818, 67sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6958, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
7066, 69sstrd 3442 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
7170ssdifssd 3571 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
723, 7, 22lspcl 18199 . . . . . . . . . . . . 13
7364, 71, 72syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
74 simp1r 1033 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
75 ssun1 3597 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 ssdif 3568 . . . . . . . . . . . . . . 15
7775, 76mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
783, 22lspss 18207 . . . . . . . . . . . . . 14
7964, 71, 77, 78syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
80 simp3l 1036 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
8179, 80sseldd 3433 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
82 ssun2 3598 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 ssdif 3568 . . . . . . . . . . . . . . 15
8482, 83mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
853, 22lspss 18207 . . . . . . . . . . . . . 14
8664, 71, 84, 85syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
87 simp3r 1037 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
8886, 87sseldd 3433 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
89 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
90 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
91 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13
92 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13
9389, 90, 91, 92, 7lsscl 18166 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
9473, 74, 81, 88, 93syl13anc 1270 . . . . . . . . . . 11 Scalar
95 difeq1 3544 . . . . . . . . . . . . . 14
9695fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13
9796eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . 12
9897rspcev 3150 . . . . . . . . . . 11
9963, 94, 98syl2anc 667 . . . . . . . . . 10 Scalar
100 eliun 4283 . . . . . . . . . 10
10199, 100sylibr 216 . . . . . . . . 9 Scalar
102101, 9syl6eleqr 2540 . . . . . . . 8 Scalar
1031023expia 1210 . . . . . . 7 Scalar
104103rexlimdvva 2886 . . . . . 6 Scalar
10557, 104syl5bi 221 . . . . 5 Scalar
106105exp4b 612 . . . 4 Scalar
1071063imp2 1224 . . 3 Scalar
1081, 2, 4, 5, 6, 8, 28, 40, 107islssd 18159 . 2
109 eldifi 3555 . . . . . . 7
110109adantl 468 . . . . . 6
111 eldifn 3556 . . . . . . . . . 10
112111ad2antlr 733 . . . . . . . . 9
113 eldif 3414 . . . . . . . . . 10
1143, 22lspssid 18208 . . . . . . . . . . . . 13
11513, 21, 114syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12
116115adantlr 721 . . . . . . . . . . 11
117116sseld 3431 . . . . . . . . . 10
118113, 117syl5bir 222 . . . . . . . . 9
119112, 118mpan2d 680 . . . . . . . 8
120119reximdva 2862 . . . . . . 7
121 eluni2 4202 . . . . . . 7
122 eliun 4283 . . . . . . 7
123120, 121, 1223imtr4g 274 . . . . . 6
124110, 123mpd 15 . . . . 5
125124ex 436 . . . 4
126125ssrdv 3438 . . 3
127126, 9syl6sseqr 3479 . 2
128108, 127jca 535 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738  crab 2741   cdif 3401   cun 3402   wss 3404  c0 3731  cpw 3951  csn 3968  cuni 4198  ciun 4278   wor 4754  cfv 5582  (class class class)co 6290   [] crpss 6570  cbs 15121   cplusg 15190  Scalarcsca 15193  cvsca 15194  clmod 18091  clss 18155  clspn 18194  LBasisclbs 18297  clvec 18325 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-rpss 6571  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-lvec 18326 This theorem is referenced by:  lbsextlem3  18383
 Copyright terms: Public domain W3C validator