Theorem lbsextlem2 17220

Description: Lemma for lbsext 17224. Since A is a chain (actually, we only need it to be closed under binary union), the union T of the spans of each individual element of A is a subspace, and it contains all of U. A (except for our target vector x- we are trying to make x a linear combination of all the other vectors in some set from A). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsext.v	|- V = ( Base ` W )
lbsext.j	|- J = (LBasis ` W )
lbsext.n	|- N = ( LSpan ` W )
lbsext.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lbsext.c	|- ( ph -> C C_ V )
lbsext.x	|- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
lbsext.s	|- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
lbsext.p	|- P = ( LSubSp ` W )
lbsext.a	|- ( ph -> A C_ S )
lbsext.z	|- ( ph -> A =/= (/) )
lbsext.r	|- ( ph -> [ C.] Or A )
lbsext.t	|- T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
lbsextlem2	|- ( ph -> ( T e. P /\ ( U. A \ { x } ) C_ T ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, u, ph   u, S, x   x, z, C   z, u, N, x   u, V, x, z   u, W, x   u, A, x, z

Allowed substitution hints:   ph( z)   C( u)   P( x, z, u)   S( z)   T( x, z, u)   J( z, u)   W( z)

Proof of Theorem lbsextlem2

Dummy variables m n r v w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2439	. . 3 |- ( ph -> (Scalar ` W ) = (Scalar ` W ) )
2		eqidd 2439	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
3		lbsext.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> V = ( Base ` W ) )
5		eqidd 2439	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` W ) = ( +g ` W ) )
6		eqidd 2439	. . 3 |- ( ph -> ( .s ` W ) = ( .s ` W ) )
7		lbsext.p	. . . 4 |- P = ( LSubSp ` W )
8	7	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> P = ( LSubSp ` W ) )
9		lbsext.t	. . . 4 |- T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) )
10		lbsext.w	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. LVec )
11		lveclmod 17167	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. LMod )
13	12	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> W e. LMod )
14		lbsext.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ S )
15		lbsext.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
16		ssrab2 3432	. . . . . . . . . . . 12 |- { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) } C_ ~P V
17	15, 16	eqsstri 3381	. . . . . . . . . . 11 |- S C_ ~P V
18	14, 17	syl6ss 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ ~P V )
19	18	sselda 3351	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> u e. ~P V )
20	19	elpwid 3865	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> u C_ V )
21	20	ssdifssd 3489	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( u \ { x } ) C_ V )
22		lbsext.n	. . . . . . . 8 |- N = ( LSpan ` W )
23	3, 22	lspssv 17044	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( u \ { x } ) C_ V ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V )
24	13, 21, 23	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V )
25	24	ralrimiva 2794	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V )
26		iunss 4206	. . . . 5 |- ( U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V <-> A. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V )
27	25, 26	sylibr 212	. . . 4 |- ( ph -> U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V )
28	9, 27	syl5eqss 3395	. . 3 |- ( ph -> T C_ V )
29	9	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
30		lbsext.z	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= (/) )
31	3, 7, 22	lspcl 17037	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( u \ { x } ) C_ V ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) e. P )
32	13, 21, 31	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) e. P )
33	7	lssn0 17002	. . . . . . . 8 |- ( ( N ` ( u \ { x } ) ) e. P -> ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
35	34	ralrimiva 2794	. . . . . 6 |- ( ph -> A. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
36		r19.2z 3764	. . . . . 6 |- ( ( A =/= (/) /\ A. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) ) -> E. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
37	30, 35, 36	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> E. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
38		iunn0 4225	. . . . 5 |- ( E. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) <-> U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
39	37, 38	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
40	29, 39	eqnetrd 2621	. . 3 |- ( ph -> T =/= (/) )
41	9	eleq2i 2502	. . . . . . . . 9 |- ( v e. T <-> v e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
42		eliun 4170	. . . . . . . . 9 |- ( v e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. u e. A v e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
43		difeq1 3462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = m -> ( u \ { x } ) = ( m \ { x } ) )
44	43	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = m -> ( N ` ( u \ { x } ) ) = ( N ` ( m \ { x } ) ) )
45	44	eleq2d 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( u = m -> ( v e. ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) ) )
46	45	cbvrexv 2943	. . . . . . . . 9 |- ( E. u e. A v e. ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. m e. A v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) )
47	41, 42, 46	3bitri 271	. . . . . . . 8 |- ( v e. T <-> E. m e. A v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) )
48	9	eleq2i 2502	. . . . . . . . 9 |- ( w e. T <-> w e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
49		eliun 4170	. . . . . . . . 9 |- ( w e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. u e. A w e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
50		difeq1 3462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = n -> ( u \ { x } ) = ( n \ { x } ) )
51	50	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = n -> ( N ` ( u \ { x } ) ) = ( N ` ( n \ { x } ) ) )
52	51	eleq2d 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( u = n -> ( w e. ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) )
53	52	cbvrexv 2943	. . . . . . . . 9 |- ( E. u e. A w e. ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. n e. A w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) )
54	48, 49, 53	3bitri 271	. . . . . . . 8 |- ( w e. T <-> E. n e. A w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) )
55	47, 54	anbi12i 697	. . . . . . 7 |- ( ( v e. T /\ w e. T ) <-> ( E. m e. A v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ E. n e. A w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) )
56		reeanv 2883	. . . . . . 7 |- ( E. m e. A E. n e. A ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) <-> ( E. m e. A v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ E. n e. A w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) )
57	55, 56	bitr4i 252	. . . . . 6 |- ( ( v e. T /\ w e. T ) <-> E. m e. A E. n e. A ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) )
58		simp1l 1012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ph )
59		lbsext.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> [ C.] Or A )
60	58, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> [ C.] Or A )
61		simp2 989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( m e. A /\ n e. A ) )
62		sorpssun 6362	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [ C.] Or A /\ ( m e. A /\ n e. A ) ) -> ( m u. n ) e. A )
63	60, 61, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( m u. n ) e. A )
64	58, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> W e. LMod )
65		elssuni 4116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m u. n ) e. A -> ( m u. n ) C_ U. A )
66	63, 65	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( m u. n ) C_ U. A )
67		sspwuni 4251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A C_ ~P V <-> U. A C_ V )
68	18, 67	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> U. A C_ V )
69	58, 68	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> U. A C_ V )
70	66, 69	sstrd 3361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( m u. n ) C_ V )
71	70	ssdifssd 3489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( ( m u. n ) \ { x } ) C_ V )
72	3, 7, 22	lspcl 17037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( m u. n ) \ { x } ) C_ V ) -> ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) e. P )
73	64, 71, 72	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) e. P )
74		simp1r 1013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
75		ssun1 3514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- m C_ ( m u. n )
76		ssdif 3486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m C_ ( m u. n ) -> ( m \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) )
77	75, 76	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( m \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) )
78	3, 22	lspss 17045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( m u. n ) \ { x } ) C_ V /\ ( m \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) ) -> ( N ` ( m \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
79	64, 71, 77, 78	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( N ` ( m \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
80		simp3l 1016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) )
81	79, 80	sseldd 3352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> v e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
82		ssun2 3515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- n C_ ( m u. n )
83		ssdif 3486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n C_ ( m u. n ) -> ( n \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) )
84	82, 83	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( n \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) )
85	3, 22	lspss 17045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( m u. n ) \ { x } ) C_ V /\ ( n \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) ) -> ( N ` ( n \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
86	64, 71, 84, 85	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( N ` ( n \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
87		simp3r 1017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) )
88	86, 87	sseldd 3352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> w e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
89		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
90		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
91		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
92		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
93	89, 90, 91, 92, 7	lsscl 17004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) e. P /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ v e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
94	73, 74, 81, 88, 93	syl13anc 1220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
95		difeq1 3462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( m u. n ) -> ( u \ { x } ) = ( ( m u. n ) \ { x } ) )
96	95	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( m u. n ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) = ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
97	96	eleq2d 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( m u. n ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) ) )
98	97	rspcev 3068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m u. n ) e. A /\ ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) ) -> E. u e. A ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
99	63, 94, 98	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> E. u e. A ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
100		eliun 4170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. u e. A ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
101	99, 100	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
102	101, 9	syl6eleqr 2529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T )
103	102	3expia 1189	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) ) -> ( ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T ) )
104	103	rexlimdvva 2843	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( E. m e. A E. n e. A ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T ) )
105	57, 104	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( v e. T /\ w e. T ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T ) )
106	105	exp4b 607	. . . 4 |- ( ph -> ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) -> ( v e. T -> ( w e. T -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T ) ) ) )
107	106	3imp2 1202	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ v e. T /\ w e. T ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T )
108	1, 2, 4, 5, 6, 8, 28, 40, 107	islssd 16997	. 2 |- ( ph -> T e. P )
109		eldifi 3473	. . . . . . 7 |- ( y e. ( U. A \ { x } ) -> y e. U. A )
110	109	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) -> y e. U. A )
111		eldifn 3474	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( U. A \ { x } ) -> -. y e. { x } )
112	111	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) /\ u e. A ) -> -. y e. { x } )
113		eldif 3333	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( u \ { x } ) <-> ( y e. u /\ -. y e. { x } ) )
114	3, 22	lspssid 17046	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ ( u \ { x } ) C_ V ) -> ( u \ { x } ) C_ ( N ` ( u \ { x } ) ) )
115	13, 21, 114	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( u \ { x } ) C_ ( N ` ( u \ { x } ) ) )
116	115	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) /\ u e. A ) -> ( u \ { x } ) C_ ( N ` ( u \ { x } ) ) )
117	116	sseld 3350	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) /\ u e. A ) -> ( y e. ( u \ { x } ) -> y e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
118	113, 117	syl5bir 218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) /\ u e. A ) -> ( ( y e. u /\ -. y e. { x } ) -> y e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
119	112, 118	mpan2d 674	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) /\ u e. A ) -> ( y e. u -> y e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
120	119	reximdva 2823	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) -> ( E. u e. A y e. u -> E. u e. A y e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
121		eluni2 4090	. . . . . . 7 |- ( y e. U. A <-> E. u e. A y e. u )
122		eliun 4170	. . . . . . 7 |- ( y e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. u e. A y e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
123	120, 121, 122	3imtr4g 270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) -> ( y e. U. A -> y e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
124	110, 123	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) -> y e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
125	124	ex 434	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( U. A \ { x } ) -> y e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
126	125	ssrdv 3357	. . 3 |- ( ph -> ( U. A \ { x } ) C_ U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
127	126, 9	syl6sseqr 3398	. 2 |- ( ph -> ( U. A \ { x } ) C_ T )
128	108, 127	jca 532	1 |- ( ph -> ( T e. P /\ ( U. A \ { x } ) C_ T ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714   \ cdif 3320   u. cun 3321   C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   {csn 3872   U.cuni 4086   U_ciun 4166   Or wor 4635   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   [ C.] crpss 6354   Basecbs 14166   +g cplusg 14230  Scalarcsca 14233   .scvsca 14234   LModclmod 16928   LSubSpclss 16993   LSpanclspn 17032  LBasisclbs 17135   LVecclvec 17163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-rpss 6355  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-lmod 16930  df-lss 16994  df-lsp 17033  df-lvec 17164

This theorem is referenced by:  lbsextlem3  17221