Theorem lbsextlem2 16186

Description: Lemma for lbsext 16190. Since A is a chain (actually, we only need it to be closed under binary union), the union T of the spans of each individual element of A is a subspace, and it contains all of U. A (except for our target vector x- we are trying to make x a linear combination of all the other vectors in some set from A). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsext.v	|- V = ( Base ` W )
lbsext.j	|- J = (LBasis ` W )
lbsext.n	|- N = ( LSpan ` W )
lbsext.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lbsext.c	|- ( ph -> C C_ V )
lbsext.x	|- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
lbsext.s	|- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
lbsext.p	|- P = ( LSubSp ` W )
lbsext.a	|- ( ph -> A C_ S )
lbsext.z	|- ( ph -> A =/= (/) )
lbsext.r	|- ( ph -> [ C.] Or A )
lbsext.t	|- T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
lbsextlem2	|- ( ph -> ( T e. P /\ ( U. A \ { x } ) C_ T ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, u, ph   u, S, x   x, z, C   z, u, N, x   u, V, x, z   u, W, x   u, A, x, z

Allowed substitution hints:   ph( z)   C( u)   P( x, z, u)   S( z)   T( x, z, u)   J( z, u)   W( z)

Proof of Theorem lbsextlem2

Dummy variables m n r v w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2405	. . 3 |- ( ph -> (Scalar ` W ) = (Scalar ` W ) )
2		eqidd 2405	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
3		lbsext.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> V = ( Base ` W ) )
5		eqidd 2405	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` W ) = ( +g ` W ) )
6		eqidd 2405	. . 3 |- ( ph -> ( .s ` W ) = ( .s ` W ) )
7		lbsext.p	. . . 4 |- P = ( LSubSp ` W )
8	7	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> P = ( LSubSp ` W ) )
9		lbsext.t	. . . 4 |- T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) )
10		lbsext.w	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. LVec )
11		lveclmod 16133	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. LMod )
13	12	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> W e. LMod )
14		lbsext.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ S )
15		lbsext.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
16		ssrab2 3388	. . . . . . . . . . . 12 |- { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) } C_ ~P V
17	15, 16	eqsstri 3338	. . . . . . . . . . 11 |- S C_ ~P V
18	14, 17	syl6ss 3320	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ ~P V )
19	18	sselda 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> u e. ~P V )
20	19	elpwid 3768	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> u C_ V )
21	20	ssdifssd 3445	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( u \ { x } ) C_ V )
22		lbsext.n	. . . . . . . 8 |- N = ( LSpan ` W )
23	3, 22	lspssv 16014	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( u \ { x } ) C_ V ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V )
24	13, 21, 23	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V )
25	24	ralrimiva 2749	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V )
26		iunss 4092	. . . . 5 |- ( U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V <-> A. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V )
27	25, 26	sylibr 204	. . . 4 |- ( ph -> U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V )
28	9, 27	syl5eqss 3352	. . 3 |- ( ph -> T C_ V )
29	9	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
30		lbsext.z	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= (/) )
31	3, 7, 22	lspcl 16007	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( u \ { x } ) C_ V ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) e. P )
32	13, 21, 31	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) e. P )
33	7	lssn0 15972	. . . . . . . 8 |- ( ( N ` ( u \ { x } ) ) e. P -> ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
35	34	ralrimiva 2749	. . . . . 6 |- ( ph -> A. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
36		r19.2z 3677	. . . . . 6 |- ( ( A =/= (/) /\ A. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) ) -> E. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
37	30, 35, 36	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> E. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
38		iunn0 4111	. . . . 5 |- ( E. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) <-> U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
39	37, 38	sylib 189	. . . 4 |- ( ph -> U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
40	29, 39	eqnetrd 2585	. . 3 |- ( ph -> T =/= (/) )
41	9	eleq2i 2468	. . . . . . . . 9 |- ( v e. T <-> v e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
42		eliun 4057	. . . . . . . . 9 |- ( v e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. u e. A v e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
43		difeq1 3418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = m -> ( u \ { x } ) = ( m \ { x } ) )
44	43	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = m -> ( N ` ( u \ { x } ) ) = ( N ` ( m \ { x } ) ) )
45	44	eleq2d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( u = m -> ( v e. ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) ) )
46	45	cbvrexv 2893	. . . . . . . . 9 |- ( E. u e. A v e. ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. m e. A v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) )
47	41, 42, 46	3bitri 263	. . . . . . . 8 |- ( v e. T <-> E. m e. A v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) )
48	9	eleq2i 2468	. . . . . . . . 9 |- ( w e. T <-> w e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
49		eliun 4057	. . . . . . . . 9 |- ( w e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. u e. A w e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
50		difeq1 3418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = n -> ( u \ { x } ) = ( n \ { x } ) )
51	50	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = n -> ( N ` ( u \ { x } ) ) = ( N ` ( n \ { x } ) ) )
52	51	eleq2d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( u = n -> ( w e. ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) )
53	52	cbvrexv 2893	. . . . . . . . 9 |- ( E. u e. A w e. ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. n e. A w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) )
54	48, 49, 53	3bitri 263	. . . . . . . 8 |- ( w e. T <-> E. n e. A w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) )
55	47, 54	anbi12i 679	. . . . . . 7 |- ( ( v e. T /\ w e. T ) <-> ( E. m e. A v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ E. n e. A w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) )
56		reeanv 2835	. . . . . . 7 |- ( E. m e. A E. n e. A ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) <-> ( E. m e. A v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ E. n e. A w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) )
57	55, 56	bitr4i 244	. . . . . 6 |- ( ( v e. T /\ w e. T ) <-> E. m e. A E. n e. A ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) )
58		simp1l 981	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ph )
59		lbsext.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> [ C.] Or A )
60	58, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> [ C.] Or A )
61		simp2 958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( m e. A /\ n e. A ) )
62		sorpssun 6488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [ C.] Or A /\ ( m e. A /\ n e. A ) ) -> ( m u. n ) e. A )
63	60, 61, 62	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( m u. n ) e. A )
64	58, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> W e. LMod )
65		elssuni 4003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m u. n ) e. A -> ( m u. n ) C_ U. A )
66	63, 65	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( m u. n ) C_ U. A )
67		sspwuni 4136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A C_ ~P V <-> U. A C_ V )
68	18, 67	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> U. A C_ V )
69	58, 68	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> U. A C_ V )
70	66, 69	sstrd 3318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( m u. n ) C_ V )
71	70	ssdifssd 3445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( ( m u. n ) \ { x } ) C_ V )
72	3, 7, 22	lspcl 16007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( m u. n ) \ { x } ) C_ V ) -> ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) e. P )
73	64, 71, 72	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) e. P )
74		simp1r 982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
75		ssun1 3470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- m C_ ( m u. n )
76		ssdif 3442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m C_ ( m u. n ) -> ( m \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) )
77	75, 76	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( m \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) )
78	3, 22	lspss 16015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( m u. n ) \ { x } ) C_ V /\ ( m \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) ) -> ( N ` ( m \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
79	64, 71, 77, 78	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( N ` ( m \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
80		simp3l 985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) )
81	79, 80	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> v e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
82		ssun2 3471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- n C_ ( m u. n )
83		ssdif 3442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n C_ ( m u. n ) -> ( n \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) )
84	82, 83	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( n \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) )
85	3, 22	lspss 16015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( m u. n ) \ { x } ) C_ V /\ ( n \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) ) -> ( N ` ( n \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
86	64, 71, 84, 85	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( N ` ( n \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
87		simp3r 986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) )
88	86, 87	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> w e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
89		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
90		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
91		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
92		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
93	89, 90, 91, 92, 7	lsscl 15974	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) e. P /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ v e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
94	73, 74, 81, 88, 93	syl13anc 1186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
95		difeq1 3418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( m u. n ) -> ( u \ { x } ) = ( ( m u. n ) \ { x } ) )
96	95	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( m u. n ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) = ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
97	96	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( m u. n ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) ) )
98	97	rspcev 3012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m u. n ) e. A /\ ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) ) -> E. u e. A ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
99	63, 94, 98	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> E. u e. A ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
100		eliun 4057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. u e. A ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
101	99, 100	sylibr 204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
102	101, 9	syl6eleqr 2495	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T )
103	102	3expia 1155	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) ) -> ( ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T ) )
104	103	rexlimdvva 2797	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( E. m e. A E. n e. A ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T ) )
105	57, 104	syl5bi 209	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( v e. T /\ w e. T ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T ) )
106	105	exp4b 591	. . . 4 |- ( ph -> ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) -> ( v e. T -> ( w e. T -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T ) ) ) )
107	106	3imp2 1168	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ v e. T /\ w e. T ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T )
108	1, 2, 4, 5, 6, 8, 28, 40, 107	islssd 15967	. 2 |- ( ph -> T e. P )
109		eldifi 3429	. . . . . . 7 |- ( y e. ( U. A \ { x } ) -> y e. U. A )
110	109	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) -> y e. U. A )
111		eldifn 3430	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( U. A \ { x } ) -> -. y e. { x } )
112	111	ad2antlr 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) /\ u e. A ) -> -. y e. { x } )
113		eldif 3290	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( u \ { x } ) <-> ( y e. u /\ -. y e. { x } ) )
114	3, 22	lspssid 16016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ ( u \ { x } ) C_ V ) -> ( u \ { x } ) C_ ( N ` ( u \ { x } ) ) )
115	13, 21, 114	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( u \ { x } ) C_ ( N ` ( u \ { x } ) ) )
116	115	adantlr 696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) /\ u e. A ) -> ( u \ { x } ) C_ ( N ` ( u \ { x } ) ) )
117	116	sseld 3307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) /\ u e. A ) -> ( y e. ( u \ { x } ) -> y e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
118	113, 117	syl5bir 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) /\ u e. A ) -> ( ( y e. u /\ -. y e. { x } ) -> y e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
119	112, 118	mpan2d 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) /\ u e. A ) -> ( y e. u -> y e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
120	119	reximdva 2778	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) -> ( E. u e. A y e. u -> E. u e. A y e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
121		eluni2 3979	. . . . . . 7 |- ( y e. U. A <-> E. u e. A y e. u )
122		eliun 4057	. . . . . . 7 |- ( y e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. u e. A y e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
123	120, 121, 122	3imtr4g 262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) -> ( y e. U. A -> y e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
124	110, 123	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) -> y e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
125	124	ex 424	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( U. A \ { x } ) -> y e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
126	125	ssrdv 3314	. . 3 |- ( ph -> ( U. A \ { x } ) C_ U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
127	126, 9	syl6sseqr 3355	. 2 |- ( ph -> ( U. A \ { x } ) C_ T )
128	108, 127	jca 519	1 |- ( ph -> ( T e. P /\ ( U. A \ { x } ) C_ T ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   \ cdif 3277   u. cun 3278   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   U_ciun 4053   Or wor 4462   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   [ C.] crpss 6480   Basecbs 13424   +g cplusg 13484  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   LModclmod 15905   LSubSpclss 15963   LSpanclspn 16002  LBasisclbs 16101   LVecclvec 16129

This theorem is referenced by:  lbsextlem3  16187

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-rpss 6481  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130