MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsext Structured version   Unicode version

Theorem lbsext 17352
Description: For any linearly independent subset  C of  V, there is a basis containing the vectors in 
C. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsex.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lbsex.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lbsex.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lbsext  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
Distinct variable groups:    x, s, C    J, s    N, s, x    V, s    W, s, x
Allowed substitution hints:    J( x)    V( x)

Proof of Theorem lbsext
StepHypRef Expression
1 lbsex.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5801 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2535 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
43pwex 4575 . . . 4  |-  ~P V  e.  _V
5 numth3 8742 . . . 4  |-  ( ~P V  e.  _V  ->  ~P V  e.  dom  card )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  ~P V  e.  dom  card
76jctr 542 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( W  e.  LVec  /\  ~P V  e.  dom  card ) )
8 lbsex.j . . 3  |-  J  =  (LBasis `  W )
9 lbsex.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
108, 1, 9lbsextg 17351 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\ 
~P V  e.  dom  card )  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
117, 10syl3an1 1252 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  C  C_  V  /\  A. x  e.  C  -.  x  e.  ( N `  ( C  \  { x }
) ) )  ->  E. s  e.  J  C  C_  s )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3070    \ cdif 3425    C_ wss 3428   ~Pcpw 3960   {csn 3977   dom cdm 4940   ` cfv 5518   cardccrd 8208   Basecbs 14278   LSpanclspn 17160  LBasisclbs 17263   LVecclvec 17291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-ac2 8735  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-rpss 6462  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-tpos 6847  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-card 8212  df-ac 8389  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-0g 14484  df-mnd 15519  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-oppr 16823  df-dvdsr 16841  df-unit 16842  df-invr 16872  df-drng 16942  df-lmod 17058  df-lss 17122  df-lsp 17161  df-lbs 17264  df-lvec 17292
This theorem is referenced by:  islinds4  18375
  Copyright terms: Public domain W3C validator