Theorem lble 7256

Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set.

Assertion

Ref	Expression
lble	|- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y /\ A e. S) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)

Distinct variable groups:   x,y,S   y,A

Proof of Theorem lble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbra1 2147	. . . . . . . . 9 |- (A.y e. S x <_ y -> A.yA.y e. S x <_ y)
2		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (w e. S -> A.y w e. S)
3	1, 2	hbrab 2258	. . . . . . . 8 |- (w e. {x e. S | A.y e. S x <_ y} -> A.y w e. {x e. S | A.y e. S x <_ y})
4	3	hbuni 3183	. . . . . . 7 |- (w e. U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> A.y w e. U.{x e. S | A.y e. S x <_ y})
5		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- (w e. <_ -> A.y w e. <_ )
6		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- (w e. A -> A.y w e. A)
7	4, 5, 6	hbbr 3381	. . . . . 6 |- (U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A -> A.yU.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)
8		breq2 3342	. . . . . 6 |- (y = A -> (U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y <-> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A))
9	7, 8	rcla4 2373	. . . . 5 |- (A e. S -> (A.y e. S U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A))
10	9	imp 377	. . . 4 |- ((A e. S /\ A.y e. S U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)
11		lbreu 7254	. . . . . 6 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> E!x e. S A.y e. S x <_ y)
12		breq1 3341	. . . . . . . 8 |- (x = w -> (x <_ y <-> w <_ y))
13	12	ralbidv 2123	. . . . . . 7 |- (x = w -> (A.y e. S x <_ y <-> A.y e. S w <_ y))
14	13	cbvreuv 2282	. . . . . 6 |- (E!x e. S A.y e. S x <_ y <-> E!w e. S A.y e. S w <_ y)
15	11, 14	sylib 215	. . . . 5 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> E!w e. S A.y e. S w <_ y)
16		breq1 3341	. . . . . . 7 |- (w = x -> (w <_ y <-> x <_ y))
17	16	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (w = x -> (A.y e. S w <_ y <-> A.y e. S x <_ y))
18	4	hbeleq 1997	. . . . . . 7 |- (w = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> A.y w = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y})
19		breq1 3341	. . . . . . 7 |- (w = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> (w <_ y <-> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y))
20	18, 19	ralbid 2121	. . . . . 6 |- (w = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> (A.y e. S w <_ y <-> A.y e. S U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y))
21	17, 20	reuuni3 3812	. . . . 5 |- (E!w e. S A.y e. S w <_ y -> A.y e. S U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y)
22	15, 21	syl 12	. . . 4 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> A.y e. S U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y)
23	10, 22	sylan2 500	. . 3 |- ((A e. S /\ (S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y)) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)
24	23	3impb 1063	. 2 |- ((A e. S /\ S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)
25	24	3coml 1075	1 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y /\ A e. S) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107  {crab 2108   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  RRcr 6385   <_ cle 6448

This theorem is referenced by:  lbinfm 7257  lbinfmle 7259

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

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