MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbioo Structured version   Unicode version

Theorem lbioo 11560
Description: An open interval does not contain its left endpoint. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
lbioo  |-  -.  A  e.  ( A (,) B
)

Proof of Theorem lbioo
StepHypRef Expression
1 elioo3g 11558 . . . 4  |-  ( A  e.  ( A (,) B )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* )  /\  ( A  <  A  /\  A  <  B ) ) )
21simprbi 464 . . 3  |-  ( A  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  A  /\  A  <  B ) )
32simpld 459 . 2  |-  ( A  e.  ( A (,) B )  ->  A  <  A )
41simplbi 460 . . . 4  |-  ( A  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* ) )
54simp3d 1010 . . 3  |-  ( A  e.  ( A (,) B )  ->  A  e.  RR* )
6 xrltnr 11330 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  -.  A  <  A )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( A (,) B )  ->  -.  A  <  A )
83, 7pm2.65i 173 1  |-  -.  A  e.  ( A (,) B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6284   RR*cxr 9627    < clt 9628   (,)cioo 11529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-ioo 11533
This theorem is referenced by:  lhop1lem  22177  lhop1  22178  lhop  22180  iooinlbub  31126  lptioo1  31202  fourierdlem61  31496
  Copyright terms: Public domain W3C validator