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Theorem lbinfm 10491
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
lbinfm  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  =  (
iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) )
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem lbinfm
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gtso 9655 . . 3  |-  `'  <  Or  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  `'  <  Or  RR )
3 lbcl 10489 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S
)
4 ssel 3483 . . . 4  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( (
iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR ) )
54adantr 463 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR ) )
63, 5mpd 15 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR )
7 lble 10490 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  z
)
873expa 1194 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
z )
96adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR )
10 ssel2 3484 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  RR )
1110adantlr 712 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  RR )
129, 11lenltd 9720 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
)  <_  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
138, 12mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) )
14 elex 3115 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  _V )
153, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  _V )
16 vex 3109 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
17 brcnvg 5172 . . . . . 6  |-  ( ( ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e. 
_V  /\  z  e.  _V )  ->  ( (
iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  z  <  (
iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
1815, 16, 17sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  z  <  (
iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
1918notbid 292 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( -.  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2019adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( -.  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2113, 20mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  -.  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
) `'  <  z
)
222, 6, 3, 21supmax 7915 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  =  (
iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   class class class wbr 4439    Or wor 4788   `'ccnv 4987   iota_crio 6231   supcsup 7892   RRcr 9480    < clt 9617    <_ cle 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623
This theorem is referenced by:  lbinfmcl  10492  lbinfmle  10493  uzinfmi  11162
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