Theorem lbinfm 7257

Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum.

Assertion

Ref	Expression
lbinfm	|- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> sup(S, RR, `' < ) = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y})

Distinct variable group:   x,y,S

Proof of Theorem lbinfm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbcl 7255	. . . . 5 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. S)
2		ssel 2615	. . . . . 6 |- (S C_ RR -> (U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. S -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. RR))
3	2	adantr 425	. . . . 5 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> (U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. S -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. RR))
4	1, 3	mpd 29	. . . 4 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. RR)
5		lble 7256	. . . . . . . . . 10 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y /\ z e. S) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ z)
6	5	3expa 1067	. . . . . . . . 9 |- (((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) /\ z e. S) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ z)
7		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . 12 |- ((S C_ RR /\ U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. S) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. RR)
8	1, 7	syldan 516	. . . . . . . . . . 11 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. RR)
9	8	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) /\ z e. S) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. RR)
10		ssel2 2616	. . . . . . . . . . 11 |- ((S C_ RR /\ z e. S) -> z e. RR)
11	10	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- (((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) /\ z e. S) -> z e. RR)
12		lenlt 6679	. . . . . . . . . 10 |- ((U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. RR /\ z e. RR) -> (U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ z <-> -. z < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}))
13	9, 11, 12	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) /\ z e. S) -> (U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ z <-> -. z < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}))
14	6, 13	mpbid 212	. . . . . . . 8 |- (((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) /\ z e. S) -> -. z < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y})
15		reex 6465	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. _V
16	15	ssex 3455	. . . . . . . . . . . 12 |- (S C_ RR -> S e. _V)
17		rabexg 3460	. . . . . . . . . . . 12 |- (S e. _V -> {x e. S | A.y e. S x <_ y} e. _V)
18	16, 17	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (S C_ RR -> {x e. S | A.y e. S x <_ y} e. _V)
19		uniexg 3795	. . . . . . . . . . 11 |- ({x e. S | A.y e. S x <_ y} e. _V -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. _V)
20		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
21		brcnvg 4142	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. _V /\ z e. _V) -> (U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}`' < z <-> z < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}))
22	20, 21	mpan2 760	. . . . . . . . . . 11 |- (U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. _V -> (U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}`' < z <-> z < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}))
23	18, 19, 22	3syl 24	. . . . . . . . . 10 |- (S C_ RR -> (U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}`' < z <-> z < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}))
24	23	notbid 673	. . . . . . . . 9 |- (S C_ RR -> (-. U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}`' < z <-> -. z < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}))
25	24	ad2antrr 440	. . . . . . . 8 |- (((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) /\ z e. S) -> (-. U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}`' < z <-> -. z < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}))
26	14, 25	mpbird 213	. . . . . . 7 |- (((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) /\ z e. S) -> -. U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}`' < z)
27	26	r19.21aiva 2176	. . . . . 6 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> A.z e. S -. U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}`' < z)
28	1	a1d 15	. . . . . . . . . 10 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> (z`' < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. S))
29	28	ancrd 323	. . . . . . . . 9 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> (z`' < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> (U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. S /\ z`' < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y})))
30		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (w = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> (z`' < w <-> z`' < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}))
31	30	rcla4ev 2381	. . . . . . . . 9 |- ((U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. S /\ z`' < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}) -> E.w e. S z`' < w)
32	29, 31	syl6 25	. . . . . . . 8 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> (z`' < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> E.w e. S z`' < w))
33	32	a1d 15	. . . . . . 7 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> (z e. RR -> (z`' < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> E.w e. S z`' < w)))
34	33	r19.21aiv 2175	. . . . . 6 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> A.z e. RR (z`' < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> E.w e. S z`' < w))
35		breq1 3341	. . . . . . . . . 10 |- (v = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> (v`' < z <-> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}`' < z))
36	35	notbid 673	. . . . . . . . 9 |- (v = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> (-. v`' < z <-> -. U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}`' < z))
37	36	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (v = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> (A.z e. S -. v`' < z <-> A.z e. S -. U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}`' < z))
38		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (v = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> (z`' < v <-> z`' < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}))
39	38	imbi1d 675	. . . . . . . . 9 |- (v = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> ((z`' < v -> E.w e. S z`' < w) <-> (z`' < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> E.w e. S z`' < w)))
40	39	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (v = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> (A.z e. RR (z`' < v -> E.w e. S z`' < w) <-> A.z e. RR (z`' < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> E.w e. S z`' < w)))
41	37, 40	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (v = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> ((A.z e. S -. v`' < z /\ A.z e. RR (z`' < v -> E.w e. S z`' < w)) <-> (A.z e. S -. U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}`' < z /\ A.z e. RR (z`' < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> E.w e. S z`' < w))))
42	41	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- ((U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. RR /\ (A.z e. S -. U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}`' < z /\ A.z e. RR (z`' < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> E.w e. S z`' < w))) -> E.v e. RR (A.z e. S -. v`' < z /\ A.z e. RR (z`' < v -> E.w e. S z`' < w)))
43	4, 27, 34, 42	syl12anc 1098	. . . . 5 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> E.v e. RR (A.z e. S -. v`' < z /\ A.z e. RR (z`' < v -> E.w e. S z`' < w)))
44		ltso 6681	. . . . . . 7 |- < Or RR
45		cnvso 4428	. . . . . . 7 |- ( < Or RR <-> `' < Or RR)
46	44, 45	mpbi 206	. . . . . 6 |- `' < Or RR
47	46	supeu 5668	. . . . 5 |- (E.v e. RR (A.z e. S -. v`' < z /\ A.z e. RR (z`' < v -> E.w e. S z`' < w)) -> E!v e. RR (A.z e. S -. v`' < z /\ A.z e. RR (z`' < v -> E.w e. S z`' < w)))
48	43, 47	syl 12	. . . 4 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> E!v e. RR (A.z e. S -. v`' < z /\ A.z e. RR (z`' < v -> E.w e. S z`' < w)))
49	41	reuuni2 3811	. . . 4 |- ((U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. RR /\ E!v e. RR (A.z e. S -. v`' < z /\ A.z e. RR (z`' < v -> E.w e. S z`' < w))) -> ((A.z e. S -. U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}`' < z /\ A.z e. RR (z`' < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> E.w e. S z`' < w)) <-> U.{v e. RR | (A.z e. S -. v`' < z /\ A.z e. RR (z`' < v -> E.w e. S z`' < w))} = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}))
50	4, 48, 49	syl11anc 524	. . 3 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> ((A.z e. S -. U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}`' < z /\ A.z e. RR (z`' < U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> E.w e. S z`' < w)) <-> U.{v e. RR | (A.z e. S -. v`' < z /\ A.z e. RR (z`' < v -> E.w e. S z`' < w))} = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y}))
51	50, 27, 34	mpbi2and 801	. 2 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> U.{v e. RR | (A.z e. S -. v`' < z /\ A.z e. RR (z`' < v -> E.w e. S z`' < w))} = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y})
52		df-sup 5664	. 2 |- sup(S, RR, `' < ) = U.{v e. RR | (A.z e. S -. v`' < z /\ A.z e. RR (z`' < v -> E.w e. S z`' < w))}
53	51, 52	syl5eq 1940	1 |- ((S C_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> sup(S, RR, `' < ) = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y})

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   Or wor 3590  `'ccnv 3985  supcsup 5663  RRcr 6385   <_ cle 6448   < clt 6653

This theorem is referenced by:  lbinfmcl 7258  lbinfmle 7259  uzinfmi 7631

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain