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Theorem lbinfm 10387
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
lbinfm  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  =  (
iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) )
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem lbinfm
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gtso 9560 . . 3  |-  `'  <  Or  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  `'  <  Or  RR )
3 lbcl 10385 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S
)
4 ssel 3451 . . . 4  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( (
iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR ) )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR ) )
63, 5mpd 15 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR )
7 lble 10386 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  z
)
873expa 1188 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
z )
96adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  RR )
10 ssel2 3452 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  RR )
1110adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  RR )
129, 11lenltd 9624 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
)  <_  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
138, 12mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) )
14 elex 3080 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  _V )
153, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  _V )
16 vex 3074 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
17 brcnvg 5121 . . . . . 6  |-  ( ( ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e. 
_V  /\  z  e.  _V )  ->  ( (
iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  z  <  (
iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
1815, 16, 17sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  z  <  (
iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
1918notbid 294 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( -.  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2019adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  ( -.  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) `'  <  z  <->  -.  z  <  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) ) )
2113, 20mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  z  e.  S )  ->  -.  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
) `'  <  z
)
222, 6, 3, 21supmax 7819 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  =  (
iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3071    C_ wss 3429   class class class wbr 4393    Or wor 4741   `'ccnv 4940   iota_crio 6153   supcsup 7794   RRcr 9385    < clt 9522    <_ cle 9523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-resscn 9443  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528
This theorem is referenced by:  lbinfmcl  10388  lbinfmle  10389  uzinfmi  11038
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