MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbico1 Structured version   Unicode version

Theorem lbico1 11568
Description: The lower bound belongs to a closed-below, open-above interval. See lbicc2 11625. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
lbico1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  A  e.  ( A [,) B
) )

Proof of Theorem lbico1
StepHypRef Expression
1 simp1 991 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  A  e.  RR* )
2 xrleid 11345 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  A )
323ad2ant1 1012 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  A  <_  A )
4 simp3 993 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  A  <  B )
5 elico1 11561 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( A [,) B )  <->  ( A  e.  RR*  /\  A  <_  A  /\  A  <  B
) ) )
653adant3 1011 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  ( A  e.  ( A [,) B )  <->  ( A  e.  RR*  /\  A  <_  A  /\  A  <  B
) ) )
71, 3, 4, 6mpbir3and 1174 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  A  e.  ( A [,) B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 968    e. wcel 1762   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   [,)cico 11520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-ico 11524
This theorem is referenced by:  icopnfsup  11948  metustidOLD  20790  metustid  20791  ioombl  21703  dchrvmasumlem2  23404  pntleme  23514  sxbrsigalem0  27868  dvasin  29667  dvacos  29668  limcresioolb  31140  fourierdlem93  31455
  Copyright terms: Public domain W3C validator