MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbfzo0 Structured version   Unicode version

Theorem lbfzo0 11807
Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of  NN. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lbfzo0  |-  ( 0  e.  ( 0..^ A )  <->  A  e.  NN )

Proof of Theorem lbfzo0
StepHypRef Expression
1 0z 10836 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 3anass 978 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <  A )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ZZ  /\  0  <  A ) ) )
31, 2mpbiran 919 . 2  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <  A )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  < 
A ) )
4 fzolb 11778 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0..^ A )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  < 
A ) )
5 elnnz 10835 . 2  |-  ( A  e.  NN  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  < 
A ) )
63, 4, 53bitr4i 277 1  |-  ( 0  e.  ( 0..^ A )  <->  A  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842   class class class wbr 4394  (class class class)co 6234   0cc0 9442    < clt 9578   NNcn 10496   ZZcz 10825  ..^cfzo 11767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768
This theorem is referenced by:  elfzo0  11808  fzo0n0  11817  fzo0end  11854  wrdsymb1  12538  ccatfv0  12562  ccat2s1p1  12593  lswccats1fst  12600  swrdn0  12618  swrd0fv0  12628  swrdtrcfv0  12630  cats1un  12664  revs1  12702  repswfsts  12716  cshwidx0mod  12738  cshw1  12753  scshwfzeqfzo  12757  cats1fvn  12786  nnnn0modprm0  14432  cshwrepswhash1  14688  efgsval2  16967  efgs1b  16970  efgsp1  16971  efgsres  16972  efgredlemd  16978  efgredlem  16981  efgrelexlemb  16984  pgpfaclem1  17344  dchrisumlem3  23949  usgrcyclnl2  24939  4cycl4dv  24965  wwlkm1edg  25033  clwlkisclwwlklem1  25085  clwwlkel  25091  clwwlkf1  25094  usg2cwwk2dif  25118  clwlkf1clwwlklem  25147  fib0  28724  signsvtn0  28913  iccpartigtl  37670  iccpartlt  37671  pfxfv0  37867  pfxtrcfv0  37869  pfx1  37878  pfx2  37879  usgra2pthspth  37960  usgra2pthlem1  37962
  Copyright terms: Public domain W3C validator