Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lawcos Structured version   Unicode version

Theorem lawcos 23610
 Description: Law of cosines (also known as the Al-Kashi theorem or the generalized Pythagorean theorem, or the cosine formula or cosine rule). Given three distinct points A, B, and C, prove a relationship between their segment lengths. This theorem is expressed using the complex number plane as a plane, where is the signed angle construct (as used in ang180 23608), is the distance of line segment BC, is the distance of line segment AC, is the distance of line segment AB, and is the signed angle m/_ BCA on the complex plane. We translate triangle ABC to move C to the origin (C-C), B to U=(B-C), and A to V=(A-C), then use lemma lawcoslem1 23609 to prove this algebraically simpler case. The metamath convention is to use a signed angle; in this case the sign doesn't matter because we use the cosine of the angle (see cosneg 14179). The Pythagorean theorem pythag 23611 is a special case of the law of cosines. The theorem's expression and approach were suggested by Mario Carneiro. This is Metamath 100 proof #94. (Contributed by David A. Wheeler, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lawcos.1
lawcos.2
lawcos.3
lawcos.4
lawcos.5
Assertion
Ref Expression
lawcos
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem lawcos
StepHypRef Expression
1 subcl 9873 . . . . 5
213adant2 1024 . . . 4
4 subcl 9873 . . . . 5
543adant1 1023 . . . 4
7 subeq0 9899 . . . . . . . 8
87necon3bid 2689 . . . . . . 7
98bicomd 204 . . . . . 6
1093adant2 1024 . . . . 5
1110biimpa 486 . . . 4
13 subeq0 9899 . . . . . . . 8
1413necon3bid 2689 . . . . . . 7
1514bicomd 204 . . . . . 6
16153adant1 1023 . . . . 5
1716biimpa 486 . . . 4
193, 6, 12, 18lawcoslem1 23609 . 2
20 nnncan2 9910 . . . . . 6
2120fveq2d 5885 . . . . 5
22 lawcos.4 . . . . 5
2321, 22syl6reqr 2489 . . . 4
2423oveq1d 6320 . . 3
263abscld 13476 . . . . . . 7
2726recnd 9668 . . . . . 6
2827sqcld 12411 . . . . 5
296abscld 13476 . . . . . . 7
3029recnd 9668 . . . . . 6
3130sqcld 12411 . . . . 5
3228, 31addcomd 9834 . . . 4
33 lawcos.2 . . . . . 6
3433oveq1i 6315 . . . . 5
35 lawcos.3 . . . . . 6
3635oveq1i 6315 . . . . 5
3734, 36oveq12i 6317 . . . 4
3832, 37syl6reqr 2489 . . 3
3927, 30mulcomd 9663 . . . . . 6
4033, 35oveq12i 6317 . . . . . 6
4139, 40syl6reqr 2489 . . . . 5
42 lawcos.5 . . . . . . . . 9
4342fveq2i 5884 . . . . . . . 8
44 lawcos.1 . . . . . . . . . 10
4544, 6, 18, 3, 12angvald 23598 . . . . . . . . 9
4645fveq2d 5885 . . . . . . . 8
4743, 46syl5eq 2482 . . . . . . 7
483, 6, 18divcld 10382 . . . . . . . . . 10
493, 6, 12, 18divne0d 10398 . . . . . . . . . 10
5048, 49logcld 23385 . . . . . . . . 9
5150imcld 13237 . . . . . . . 8
52 recosval 14168 . . . . . . . 8
5351, 52syl 17 . . . . . . 7
5447, 53eqtrd 2470 . . . . . 6
55 efiarg 23421 . . . . . . . 8
5648, 49, 55syl2anc 665 . . . . . . 7
5756fveq2d 5885 . . . . . 6
5848abscld 13476 . . . . . . 7
5948, 49absne0d 13487 . . . . . . 7
6058, 48, 59redivd 13271 . . . . . 6
6154, 57, 603eqtrd 2474 . . . . 5
6241, 61oveq12d 6323 . . . 4
6362oveq2d 6321 . . 3
6438, 63oveq12d 6323 . 2
6519, 25, 643eqtr4d 2480 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625   cdif 3439  csn 4002  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307  cc 9536  cr 9537  cc0 9538  ci 9540   caddc 9541   cmul 9543   cmin 9859   cdiv 10268  c2 10659  cexp 12269  cre 13139  cim 13140  cabs 13276  ce 14092  ccos 14095  clog 23369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371 This theorem is referenced by:  pythag  23611  ssscongptld  23616  heron  23629
 Copyright terms: Public domain W3C validator