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Theorem lautset 33448
Description: The set of lattice automorphisms. (Contributed by NM, 11-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautset.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lautset.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautset  |-  ( K  e.  A  ->  I  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
Distinct variable groups:    x, f,
y, B    f, K, x, y    .<_ , f
Allowed substitution hints:    A( x, y, f)    I( x, y, f)    .<_ ( x, y)

Proof of Theorem lautset
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2979 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  K  e.  _V )
2 lautset.i . . 3  |-  I  =  ( LAut `  K
)
3 fveq2 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  ( Base `  K
) )
4 lautset.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
53, 4syl6eqr 2491 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  B )
6 f1oeq2 5630 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  k )  =  B  ->  ( f : ( Base `  k
)
-1-1-onto-> ( Base `  k )  <->  f : B -1-1-onto-> ( Base `  k
) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
f : ( Base `  k ) -1-1-onto-> ( Base `  k
)  <->  f : B -1-1-onto-> ( Base `  k ) ) )
8 f1oeq3 5631 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  k )  =  B  ->  ( f : B -1-1-onto-> ( Base `  k
)  <->  f : B -1-1-onto-> B
) )
95, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
f : B -1-1-onto-> ( Base `  k )  <->  f : B
-1-1-onto-> B ) )
107, 9bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
f : ( Base `  k ) -1-1-onto-> ( Base `  k
)  <->  f : B -1-1-onto-> B
) )
11 fveq2 5688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  =  ( le `  K
) )
12 lautset.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
1311, 12syl6eqr 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  = 
.<_  )
1413breqd 4300 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
x ( le `  k ) y  <->  x  .<_  y ) )
1513breqd 4300 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
( f `  x
) ( le `  k ) ( f `
 y )  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) )
1614, 15bibi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( x ( le
`  k ) y  <-> 
( f `  x
) ( le `  k ) ( f `
 y ) )  <-> 
( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) )
175, 16raleqbidv 2929 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. y  e.  ( Base `  k ) ( x ( le `  k ) y  <->  ( f `  x ) ( le
`  k ) ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) )
185, 17raleqbidv 2929 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A. x  e.  ( Base `  k ) A. y  e.  ( Base `  k ) ( x ( le `  k
) y  <->  ( f `  x ) ( le
`  k ) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) )
1910, 18anbi12d 705 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( f : (
Base `  k ) -1-1-onto-> ( Base `  k )  /\  A. x  e.  ( Base `  k ) A. y  e.  ( Base `  k
) ( x ( le `  k ) y  <->  ( f `  x ) ( le
`  k ) ( f `  y ) ) )  <->  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) ) )
2019abbidv 2555 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  { f  |  ( f : ( Base `  k
)
-1-1-onto-> ( Base `  k )  /\  A. x  e.  (
Base `  k ) A. y  e.  ( Base `  k ) ( x ( le `  k ) y  <->  ( f `  x ) ( le
`  k ) ( f `  y ) ) ) }  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
21 df-laut 33355 . . . 4  |-  LAut  =  ( k  e.  _V  |->  { f  |  ( f : ( Base `  k ) -1-1-onto-> ( Base `  k
)  /\  A. x  e.  ( Base `  k
) A. y  e.  ( Base `  k
) ( x ( le `  k ) y  <->  ( f `  x ) ( le
`  k ) ( f `  y ) ) ) } )
22 fvex 5698 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  e.  _V
234, 22eqeltri 2511 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
2423, 23mapval 7222 . . . . . . 7  |-  ( B  ^m  B )  =  { f  |  f : B --> B }
25 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( B  ^m  B )  e. 
_V
2624, 25eqeltrri 2512 . . . . . 6  |-  { f  |  f : B --> B }  e.  _V
27 f1of 5638 . . . . . . 7  |-  ( f : B -1-1-onto-> B  ->  f : B
--> B )
2827ss2abi 3421 . . . . . 6  |-  { f  |  f : B -1-1-onto-> B }  C_  { f  |  f : B --> B }
2926, 28ssexi 4434 . . . . 5  |-  { f  |  f : B -1-1-onto-> B }  e.  _V
30 simpl 454 . . . . . 6  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) )  ->  f : B
-1-1-onto-> B )
3130ss2abi 3421 . . . . 5  |-  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) }  C_  { f  |  f : B -1-1-onto-> B }
3229, 31ssexi 4434 . . . 4  |-  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) }  e.  _V
3320, 21, 32fvmpt 5771 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( LAut `  K )  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
342, 33syl5eq 2485 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  I  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
351, 34syl 16 1  |-  ( K  e.  A  ->  I  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   {cab 2427   A.wral 2713   _Vcvv 2970   class class class wbr 4289   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   Basecbs 14170   lecple 14241   LAutclaut 33351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-map 7212  df-laut 33355
This theorem is referenced by:  islaut  33449
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