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Theorem lautlt 33758
Description: Less-than property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautlt.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautlt.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
lautlt.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautlt  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( F `  X )  .<  ( F `  Y )
) )

Proof of Theorem lautlt
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  A )
2 simpr1 994 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F  e.  I )
3 simpr2 995 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
4 simpr3 996 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
5 lautlt.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
7 lautlt.i . . . . 5  |-  I  =  ( LAut `  K
)
85, 6, 7lautle 33751 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( le
`  K ) Y  <-> 
( F `  X
) ( le `  K ) ( F `
 Y ) ) )
91, 2, 3, 4, 8syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X ( le `  K ) Y  <->  ( F `  X ) ( le
`  K ) ( F `  Y ) ) )
105, 7laut11 33753 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( F `  X )  =  ( F `  Y )  <-> 
X  =  Y ) )
111, 2, 3, 4, 10syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  =  ( F `
 Y )  <->  X  =  Y ) )
1211bicomd 201 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  =  Y  <->  ( F `  X )  =  ( F `  Y ) ) )
1312necon3bid 2665 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  =/=  Y  <->  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )
) )
149, 13anbi12d 710 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) Y  /\  X  =/=  Y
)  <->  ( ( F `
 X ) ( le `  K ) ( F `  Y
)  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )
) ) )
15 lautlt.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
166, 15pltval 15149 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X
( le `  K
) Y  /\  X  =/=  Y ) ) )
17163adant3r1 1196 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X
( le `  K
) Y  /\  X  =/=  Y ) ) )
185, 7lautcl 33754 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X )  e.  B )
191, 2, 3, 18syl21anc 1217 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  e.  B )
205, 7lautcl 33754 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
211, 2, 4, 20syl21anc 1217 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
226, 15pltval 15149 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  .<  ( F `  Y )  <->  ( ( F `  X )
( le `  K
) ( F `  Y )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y
) ) ) )
231, 19, 21, 22syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .<  ( F `  Y )  <->  ( ( F `  X )
( le `  K
) ( F `  Y )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y
) ) ) )
2414, 17, 233bitr4d 285 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( F `  X )  .<  ( F `  Y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   class class class wbr 4311   ` cfv 5437   Basecbs 14193   lecple 14264   ltcplt 15130   LAutclaut 33652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-id 4655  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-map 7235  df-plt 15147  df-laut 33656
This theorem is referenced by:  lautcvr  33759
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