Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lautj Structured version   Unicode version

Theorem lautj 34046
Description: Meet property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautj.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautj.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lautj.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautj  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )

Proof of Theorem lautj
StepHypRef Expression
1 lautj.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2451 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 simpl 457 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpr1 994 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F  e.  I )
53, 4jca 532 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I ) )
6 lautj.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
71, 6latjcl 15332 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
873adant3r1 1197 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
9 lautj.i . . . 4  |-  I  =  ( LAut `  K
)
101, 9lautcl 34040 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  e.  B )
115, 8, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  e.  B )
12 simpr2 995 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
131, 9lautcl 34040 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)
145, 12, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  e.  B )
15 simpr3 996 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
161, 9lautcl 34040 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  Y  e.  B
)  ->  ( F `  Y )  e.  B
)
175, 15, 16syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
181, 6latjcl 15332 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  .\/  ( F `  Y ) )  e.  B )
193, 14, 17, 18syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .\/  ( F `  Y ) )  e.  B )
201, 9laut1o 34038 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
21203ad2antr1 1153 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
22 f1ocnvfv1 6085 . . . . 5  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( `' F `  ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) )  =  ( X 
.\/  Y ) )
2321, 8, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) )  =  ( X  .\/  Y
) )
241, 2, 6latlej1 15341 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  ( F `  X )
( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
253, 14, 17, 24syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )
( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
26 f1ocnvfv2 6086 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
)  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) )  =  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )
2721, 19, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y
) ) ) )  =  ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
2825, 27breqtrrd 4419 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )
( le `  K
) ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
29 f1ocnvdm 6091 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
)  e.  B )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )  e.  B
)
3021, 19, 29syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  e.  B )
311, 2, 9lautle 34037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( X  e.  B  /\  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  e.  B ) )  ->  ( X ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )  <->  ( F `  X ) ( le
`  K ) ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
325, 12, 30, 31syl12anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  <-> 
( F `  X
) ( le `  K ) ( F `
 ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) ) ) )
3328, 32mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) )
341, 2, 6latlej2 15342 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  ( F `  Y )
( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
353, 14, 17, 34syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )
( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
3635, 27breqtrrd 4419 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )
( le `  K
) ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
371, 2, 9lautle 34037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  e.  B ) )  ->  ( Y ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )  <->  ( F `  Y ) ( le
`  K ) ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
385, 15, 30, 37syl12anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( Y ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  <-> 
( F `  Y
) ( le `  K ) ( F `
 ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) ) ) )
3936, 38mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) )
401, 2, 6latjle12 15343 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  /\  Y ( le
`  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
413, 12, 15, 30, 40syl13anc 1221 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  /\  Y ( le
`  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
4233, 39, 41mpbi2and 912 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) )
4323, 42eqbrtrd 4413 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) )
441, 2, 9lautcnvle 34042 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  e.  B  /\  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
)  e.  B ) )  ->  ( ( F `  ( X  .\/  Y ) ) ( le `  K ) ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
)  <->  ( `' F `  ( F `  ( X  .\/  Y ) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
455, 11, 19, 44syl12anc 1217 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  ( X  .\/  Y ) ) ( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) )  <->  ( `' F `  ( F `  ( X  .\/  Y ) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
4643, 45mpbird 232 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) ) ( le `  K ) ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )
471, 2, 6latlej1 15341 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
48473adant3r1 1197 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
491, 2, 9lautle 34037 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( X  e.  B  /\  ( X 
.\/  Y )  e.  B ) )  -> 
( X ( le
`  K ) ( X  .\/  Y )  <-> 
( F `  X
) ( le `  K ) ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) )
505, 12, 8, 49syl12anc 1217 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y )  <->  ( F `  X ) ( le
`  K ) ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) ) )
5148, 50mpbid 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )
( le `  K
) ( F `  ( X  .\/  Y ) ) )
521, 2, 6latlej2 15342 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
53523adant3r1 1197 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
541, 2, 9lautle 34037 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X 
.\/  Y )  e.  B ) )  -> 
( Y ( le
`  K ) ( X  .\/  Y )  <-> 
( F `  Y
) ( le `  K ) ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) )
555, 15, 8, 54syl12anc 1217 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y )  <->  ( F `  Y ) ( le
`  K ) ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) ) )
5653, 55mpbid 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )
( le `  K
) ( F `  ( X  .\/  Y ) ) )
571, 2, 6latjle12 15343 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y
)  e.  B  /\  ( F `  ( X 
.\/  Y ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( F `  X ) ( le `  K
) ( F `  ( X  .\/  Y ) )  /\  ( F `
 Y ) ( le `  K ) ( F `  ( X  .\/  Y ) ) )  <->  ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) )
583, 14, 17, 11, 57syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X ) ( le
`  K ) ( F `  ( X 
.\/  Y ) )  /\  ( F `  Y ) ( le
`  K ) ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) )  <->  ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) )
5951, 56, 58mpbi2and 912 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .\/  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  ( X  .\/  Y ) ) )
601, 2, 3, 11, 19, 46, 59latasymd 15338 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4393   `'ccnv 4940   -1-1-onto->wf1o 5518   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   lecple 14356   joincjn 15225   Latclat 15326   LAutclaut 33938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-map 7319  df-poset 15227  df-lub 15255  df-glb 15256  df-join 15257  df-meet 15258  df-lat 15327  df-laut 33942
This theorem is referenced by:  ltrnj  34085
  Copyright terms: Public domain W3C validator