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Theorem lautj 34889
Description: Meet property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautj.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautj.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lautj.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautj  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )

Proof of Theorem lautj
StepHypRef Expression
1 lautj.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2467 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 simpl 457 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpr1 1002 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F  e.  I )
53, 4jca 532 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I ) )
6 lautj.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
71, 6latjcl 15534 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
873adant3r1 1205 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
9 lautj.i . . . 4  |-  I  =  ( LAut `  K
)
101, 9lautcl 34883 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  e.  B )
115, 8, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  e.  B )
12 simpr2 1003 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
131, 9lautcl 34883 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)
145, 12, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  e.  B )
15 simpr3 1004 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
161, 9lautcl 34883 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  Y  e.  B
)  ->  ( F `  Y )  e.  B
)
175, 15, 16syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
181, 6latjcl 15534 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  .\/  ( F `  Y ) )  e.  B )
193, 14, 17, 18syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .\/  ( F `  Y ) )  e.  B )
201, 9laut1o 34881 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
21203ad2antr1 1161 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
22 f1ocnvfv1 6168 . . . . 5  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( `' F `  ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) )  =  ( X 
.\/  Y ) )
2321, 8, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) )  =  ( X  .\/  Y
) )
241, 2, 6latlej1 15543 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  ( F `  X )
( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
253, 14, 17, 24syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )
( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
26 f1ocnvfv2 6169 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
)  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) )  =  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )
2721, 19, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y
) ) ) )  =  ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
2825, 27breqtrrd 4473 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )
( le `  K
) ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
29 f1ocnvdm 6174 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
)  e.  B )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )  e.  B
)
3021, 19, 29syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  e.  B )
311, 2, 9lautle 34880 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( X  e.  B  /\  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  e.  B ) )  ->  ( X ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )  <->  ( F `  X ) ( le
`  K ) ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
325, 12, 30, 31syl12anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  <-> 
( F `  X
) ( le `  K ) ( F `
 ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) ) ) )
3328, 32mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) )
341, 2, 6latlej2 15544 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  ( F `  Y )
( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
353, 14, 17, 34syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )
( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) )
3635, 27breqtrrd 4473 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )
( le `  K
) ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
371, 2, 9lautle 34880 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  e.  B ) )  ->  ( Y ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )  <->  ( F `  Y ) ( le
`  K ) ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
385, 15, 30, 37syl12anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( Y ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  <-> 
( F `  Y
) ( le `  K ) ( F `
 ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) ) ) )
3936, 38mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) )
401, 2, 6latjle12 15545 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  /\  Y ( le
`  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
413, 12, 15, 30, 40syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) )  /\  Y ( le
`  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
4233, 39, 41mpbi2and 919 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) )
4323, 42eqbrtrd 4467 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) ) )
441, 2, 9lautcnvle 34885 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  e.  B  /\  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
)  e.  B ) )  ->  ( ( F `  ( X  .\/  Y ) ) ( le `  K ) ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
)  <->  ( `' F `  ( F `  ( X  .\/  Y ) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
455, 11, 19, 44syl12anc 1226 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  ( X  .\/  Y ) ) ( le `  K
) ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) )  <->  ( `' F `  ( F `  ( X  .\/  Y ) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( ( F `  X ) 
.\/  ( F `  Y ) ) ) ) )
4643, 45mpbird 232 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) ) ( le `  K ) ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )
471, 2, 6latlej1 15543 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
48473adant3r1 1205 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
491, 2, 9lautle 34880 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( X  e.  B  /\  ( X 
.\/  Y )  e.  B ) )  -> 
( X ( le
`  K ) ( X  .\/  Y )  <-> 
( F `  X
) ( le `  K ) ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) )
505, 12, 8, 49syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y )  <->  ( F `  X ) ( le
`  K ) ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) ) )
5148, 50mpbid 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )
( le `  K
) ( F `  ( X  .\/  Y ) ) )
521, 2, 6latlej2 15544 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
53523adant3r1 1205 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
541, 2, 9lautle 34880 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X 
.\/  Y )  e.  B ) )  -> 
( Y ( le
`  K ) ( X  .\/  Y )  <-> 
( F `  Y
) ( le `  K ) ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) )
555, 15, 8, 54syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y )  <->  ( F `  Y ) ( le
`  K ) ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) ) )
5653, 55mpbid 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )
( le `  K
) ( F `  ( X  .\/  Y ) ) )
571, 2, 6latjle12 15545 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y
)  e.  B  /\  ( F `  ( X 
.\/  Y ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( F `  X ) ( le `  K
) ( F `  ( X  .\/  Y ) )  /\  ( F `
 Y ) ( le `  K ) ( F `  ( X  .\/  Y ) ) )  <->  ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) )
583, 14, 17, 11, 57syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X ) ( le
`  K ) ( F `  ( X 
.\/  Y ) )  /\  ( F `  Y ) ( le
`  K ) ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) )  <->  ( ( F `
 X )  .\/  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 ( X  .\/  Y ) ) ) )
5951, 56, 58mpbi2and 919 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .\/  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  ( X  .\/  Y ) ) )
601, 2, 3, 11, 19, 46, 59latasymd 15540 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   lecple 14558   joincjn 15427   Latclat 15528   LAutclaut 34781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-poset 15429  df-lub 15457  df-glb 15458  df-join 15459  df-meet 15460  df-lat 15529  df-laut 34785
This theorem is referenced by:  ltrnj  34928
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