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Theorem lautcvr 34094
Description: Covering property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautcvr.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautcvr.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
lautcvr.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautcvr  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X C Y  <->  ( F `  X ) C ( F `  Y ) ) )

Proof of Theorem lautcvr
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lautcvr.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2454 . . . 4  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
3 lautcvr.i . . . 4  |-  I  =  ( LAut `  K
)
41, 2, 3lautlt 34093 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X ( lt `  K ) Y  <->  ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) )
5 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  K  e.  A )
6 simplr1 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  F  e.  I )
7 simplr2 1031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  X  e.  B )
8 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  w  e.  B )
91, 2, 3lautlt 34093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( X ( lt `  K ) w  <->  ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w ) ) )
105, 6, 7, 8, 9syl13anc 1221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  ( X ( lt `  K ) w  <->  ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w ) ) )
11 simplr3 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  Y  e.  B )
121, 2, 3lautlt 34093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  w  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
w ( lt `  K ) Y  <->  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) )
135, 6, 8, 11, 12syl13anc 1221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  (
w ( lt `  K ) Y  <->  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) )
1410, 13anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  (
( X ( lt
`  K ) w  /\  w ( lt
`  K ) Y )  <->  ( ( F `
 X ) ( lt `  K ) ( F `  w
)  /\  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) ) )
151, 3lautcl 34089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  w  e.  B )  ->  ( F `  w )  e.  B )
165, 6, 8, 15syl21anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  ( F `  w )  e.  B )
17 breq2 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  X
) ( lt `  K ) z  <->  ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w ) ) )
18 breq1 4406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  (
z ( lt `  K ) ( F `
 Y )  <->  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) )
1917, 18anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  <->  ( ( F `
 X ) ( lt `  K ) ( F `  w
)  /\  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) ) )
2019rspcev 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  w
)  e.  B  /\  ( ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w )  /\  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) )  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  X )
( lt `  K
) z  /\  z
( lt `  K
) ( F `  Y ) ) )
2120ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  w )  e.  B  ->  (
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w )  /\  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  X )
( lt `  K
) z  /\  z
( lt `  K
) ( F `  Y ) ) ) )
2216, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  (
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w )  /\  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  X )
( lt `  K
) z  /\  z
( lt `  K
) ( F `  Y ) ) ) )
2314, 22sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  (
( X ( lt
`  K ) w  /\  w ( lt
`  K ) Y )  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  X )
( lt `  K
) z  /\  z
( lt `  K
) ( F `  Y ) ) ) )
2423rexlimdva 2947 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( E. w  e.  B  ( X ( lt `  K ) w  /\  w ( lt `  K ) Y )  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) ) )
25 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  K  e.  A )
26 simplr1 1030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  F  e.  I )
27 simplr2 1031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  X  e.  B )
281, 3laut1o 34087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
2925, 26, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
30 f1ocnvdm 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  z  e.  B )  ->  ( `' F `  z )  e.  B
)
3129, 30sylancom 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  ( `' F `  z )  e.  B )
321, 2, 3lautlt 34093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  ( `' F `  z )  e.  B
) )  ->  ( X ( lt `  K ) ( `' F `  z )  <-> 
( F `  X
) ( lt `  K ) ( F `
 ( `' F `  z ) ) ) )
3325, 26, 27, 31, 32syl13anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  ( X ( lt `  K ) ( `' F `  z )  <-> 
( F `  X
) ( lt `  K ) ( F `
 ( `' F `  z ) ) ) )
34 f1ocnvfv2 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
3529, 34sylancom 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
3635breq2d 4415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( F `  X
) ( lt `  K ) ( F `
 ( `' F `  z ) )  <->  ( F `  X ) ( lt
`  K ) z ) )
3733, 36bitr2d 254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( F `  X
) ( lt `  K ) z  <->  X ( lt `  K ) ( `' F `  z ) ) )
38 simplr3 1032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  Y  e.  B )
391, 2, 3lautlt 34093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  ( `' F `  z )  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( `' F `  z ) ( lt
`  K ) Y  <-> 
( F `  ( `' F `  z ) ) ( lt `  K ) ( F `
 Y ) ) )
4025, 26, 31, 38, 39syl13anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( `' F `  z ) ( lt
`  K ) Y  <-> 
( F `  ( `' F `  z ) ) ( lt `  K ) ( F `
 Y ) ) )
4135breq1d 4413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( F `  ( `' F `  z ) ) ( lt `  K ) ( F `
 Y )  <->  z ( lt `  K ) ( F `  Y ) ) )
4240, 41bitr2d 254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
z ( lt `  K ) ( F `
 Y )  <->  ( `' F `  z )
( lt `  K
) Y ) )
4337, 42anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  <->  ( X ( lt `  K ) ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z ) ( lt `  K
) Y ) ) )
44 breq2 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  ( X ( lt `  K ) w  <->  X ( lt `  K ) ( `' F `  z ) ) )
45 breq1 4406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
w ( lt `  K ) Y  <->  ( `' F `  z )
( lt `  K
) Y ) )
4644, 45anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
( X ( lt
`  K ) w  /\  w ( lt
`  K ) Y )  <->  ( X ( lt `  K ) ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z ) ( lt `  K
) Y ) ) )
4746rspcev 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  B  /\  ( X ( lt
`  K ) ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z ) ( lt
`  K ) Y ) )  ->  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) )
4847ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F `  z )  e.  B  ->  (
( X ( lt
`  K ) ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z ) ( lt
`  K ) Y )  ->  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) ) )
4931, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( X ( lt
`  K ) ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z ) ( lt
`  K ) Y )  ->  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) ) )
5043, 49sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  ->  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) ) )
5150rexlimdva 2947 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( E. z  e.  B  ( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  ->  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) ) )
5224, 51impbid 191 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( E. w  e.  B  ( X ( lt `  K ) w  /\  w ( lt `  K ) Y )  <->  E. z  e.  B  ( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) ) )
5352notbid 294 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( -.  E. w  e.  B  ( X ( lt `  K ) w  /\  w ( lt `  K ) Y )  <->  -.  E. z  e.  B  ( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) ) )
544, 53anbi12d 710 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X ( lt
`  K ) Y  /\  -.  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) )  <-> 
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  Y )  /\  -.  E. z  e.  B  ( ( F `  X )
( lt `  K
) z  /\  z
( lt `  K
) ( F `  Y ) ) ) ) )
55 lautcvr.c . . . 4  |-  C  =  (  <o  `  K )
561, 2, 55cvrval 33272 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X ( lt
`  K ) Y  /\  -.  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) ) ) )
57563adant3r1 1197 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X C Y  <->  ( X
( lt `  K
) Y  /\  -.  E. w  e.  B  ( X ( lt `  K ) w  /\  w ( lt `  K ) Y ) ) ) )
58 simpl 457 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  A )
59 simpr1 994 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F  e.  I )
60 simpr2 995 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
611, 3lautcl 34089 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X )  e.  B )
6258, 59, 60, 61syl21anc 1218 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  e.  B )
63 simpr3 996 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
641, 3lautcl 34089 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
6558, 59, 63, 64syl21anc 1218 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
661, 2, 55cvrval 33272 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
) C ( F `
 Y )  <->  ( ( F `  X )
( lt `  K
) ( F `  Y )  /\  -.  E. z  e.  B  ( ( F `  X
) ( lt `  K ) z  /\  z ( lt `  K ) ( F `
 Y ) ) ) ) )
6758, 62, 65, 66syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
) C ( F `
 Y )  <->  ( ( F `  X )
( lt `  K
) ( F `  Y )  /\  -.  E. z  e.  B  ( ( F `  X
) ( lt `  K ) z  /\  z ( lt `  K ) ( F `
 Y ) ) ) ) )
6854, 57, 673bitr4d 285 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X C Y  <->  ( F `  X ) C ( F `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2800   class class class wbr 4403   `'ccnv 4950   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529   Basecbs 14295   ltcplt 15233    <o ccvr 33265   LAutclaut 33987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-map 7329  df-plt 15250  df-covers 33269  df-laut 33991
This theorem is referenced by:  ltrncvr  34135
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