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Theorem lautcvr 35550
Description: Covering property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautcvr.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautcvr.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
lautcvr.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautcvr  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X C Y  <->  ( F `  X ) C ( F `  Y ) ) )

Proof of Theorem lautcvr
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lautcvr.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
3 lautcvr.i . . . 4  |-  I  =  ( LAut `  K
)
41, 2, 3lautlt 35549 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X ( lt `  K ) Y  <->  ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) )
5 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  K  e.  A )
6 simplr1 1039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  F  e.  I )
7 simplr2 1040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  X  e.  B )
8 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  w  e.  B )
91, 2, 3lautlt 35549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( X ( lt `  K ) w  <->  ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w ) ) )
105, 6, 7, 8, 9syl13anc 1231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  ( X ( lt `  K ) w  <->  ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w ) ) )
11 simplr3 1041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  Y  e.  B )
121, 2, 3lautlt 35549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  w  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
w ( lt `  K ) Y  <->  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) )
135, 6, 8, 11, 12syl13anc 1231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  (
w ( lt `  K ) Y  <->  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) )
1410, 13anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  (
( X ( lt
`  K ) w  /\  w ( lt
`  K ) Y )  <->  ( ( F `
 X ) ( lt `  K ) ( F `  w
)  /\  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) ) )
151, 3lautcl 35545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  w  e.  B )  ->  ( F `  w )  e.  B )
165, 6, 8, 15syl21anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  ( F `  w )  e.  B )
17 breq2 4441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  X
) ( lt `  K ) z  <->  ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w ) ) )
18 breq1 4440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  (
z ( lt `  K ) ( F `
 Y )  <->  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) )
1917, 18anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  <->  ( ( F `
 X ) ( lt `  K ) ( F `  w
)  /\  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) ) )
2019rspcev 3196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  w
)  e.  B  /\  ( ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w )  /\  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) )  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  X )
( lt `  K
) z  /\  z
( lt `  K
) ( F `  Y ) ) )
2120ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  w )  e.  B  ->  (
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w )  /\  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  X )
( lt `  K
) z  /\  z
( lt `  K
) ( F `  Y ) ) ) )
2216, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  (
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  w )  /\  ( F `  w ) ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  X )
( lt `  K
) z  /\  z
( lt `  K
) ( F `  Y ) ) ) )
2314, 22sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  (
( X ( lt
`  K ) w  /\  w ( lt
`  K ) Y )  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  X )
( lt `  K
) z  /\  z
( lt `  K
) ( F `  Y ) ) ) )
2423rexlimdva 2935 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( E. w  e.  B  ( X ( lt `  K ) w  /\  w ( lt `  K ) Y )  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) ) )
25 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  K  e.  A )
26 simplr1 1039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  F  e.  I )
27 simplr2 1040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  X  e.  B )
281, 3laut1o 35543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
2925, 26, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
30 f1ocnvdm 6173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  z  e.  B )  ->  ( `' F `  z )  e.  B
)
3129, 30sylancom 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  ( `' F `  z )  e.  B )
321, 2, 3lautlt 35549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  ( `' F `  z )  e.  B
) )  ->  ( X ( lt `  K ) ( `' F `  z )  <-> 
( F `  X
) ( lt `  K ) ( F `
 ( `' F `  z ) ) ) )
3325, 26, 27, 31, 32syl13anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  ( X ( lt `  K ) ( `' F `  z )  <-> 
( F `  X
) ( lt `  K ) ( F `
 ( `' F `  z ) ) ) )
34 f1ocnvfv2 6168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
3529, 34sylancom 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
3635breq2d 4449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( F `  X
) ( lt `  K ) ( F `
 ( `' F `  z ) )  <->  ( F `  X ) ( lt
`  K ) z ) )
3733, 36bitr2d 254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( F `  X
) ( lt `  K ) z  <->  X ( lt `  K ) ( `' F `  z ) ) )
38 simplr3 1041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  Y  e.  B )
391, 2, 3lautlt 35549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  ( `' F `  z )  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( `' F `  z ) ( lt
`  K ) Y  <-> 
( F `  ( `' F `  z ) ) ( lt `  K ) ( F `
 Y ) ) )
4025, 26, 31, 38, 39syl13anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( `' F `  z ) ( lt
`  K ) Y  <-> 
( F `  ( `' F `  z ) ) ( lt `  K ) ( F `
 Y ) ) )
4135breq1d 4447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( F `  ( `' F `  z ) ) ( lt `  K ) ( F `
 Y )  <->  z ( lt `  K ) ( F `  Y ) ) )
4240, 41bitr2d 254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
z ( lt `  K ) ( F `
 Y )  <->  ( `' F `  z )
( lt `  K
) Y ) )
4337, 42anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  <->  ( X ( lt `  K ) ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z ) ( lt `  K
) Y ) ) )
44 breq2 4441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  ( X ( lt `  K ) w  <->  X ( lt `  K ) ( `' F `  z ) ) )
45 breq1 4440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
w ( lt `  K ) Y  <->  ( `' F `  z )
( lt `  K
) Y ) )
4644, 45anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
( X ( lt
`  K ) w  /\  w ( lt
`  K ) Y )  <->  ( X ( lt `  K ) ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z ) ( lt `  K
) Y ) ) )
4746rspcev 3196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  B  /\  ( X ( lt
`  K ) ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z ) ( lt
`  K ) Y ) )  ->  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) )
4847ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F `  z )  e.  B  ->  (
( X ( lt
`  K ) ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z ) ( lt
`  K ) Y )  ->  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) ) )
4931, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( X ( lt
`  K ) ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z ) ( lt
`  K ) Y )  ->  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) ) )
5043, 49sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  ->  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) ) )
5150rexlimdva 2935 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( E. z  e.  B  ( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) )  ->  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) ) )
5224, 51impbid 191 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( E. w  e.  B  ( X ( lt `  K ) w  /\  w ( lt `  K ) Y )  <->  E. z  e.  B  ( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) ) )
5352notbid 294 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( -.  E. w  e.  B  ( X ( lt `  K ) w  /\  w ( lt `  K ) Y )  <->  -.  E. z  e.  B  ( ( F `  X ) ( lt
`  K ) z  /\  z ( lt
`  K ) ( F `  Y ) ) ) )
544, 53anbi12d 710 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X ( lt
`  K ) Y  /\  -.  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) )  <-> 
( ( F `  X ) ( lt
`  K ) ( F `  Y )  /\  -.  E. z  e.  B  ( ( F `  X )
( lt `  K
) z  /\  z
( lt `  K
) ( F `  Y ) ) ) ) )
55 lautcvr.c . . . 4  |-  C  =  (  <o  `  K )
561, 2, 55cvrval 34728 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X ( lt
`  K ) Y  /\  -.  E. w  e.  B  ( X
( lt `  K
) w  /\  w
( lt `  K
) Y ) ) ) )
57563adant3r1 1206 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X C Y  <->  ( X
( lt `  K
) Y  /\  -.  E. w  e.  B  ( X ( lt `  K ) w  /\  w ( lt `  K ) Y ) ) ) )
58 simpl 457 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  A )
59 simpr1 1003 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F  e.  I )
60 simpr2 1004 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
611, 3lautcl 35545 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X )  e.  B )
6258, 59, 60, 61syl21anc 1228 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  e.  B )
63 simpr3 1005 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
641, 3lautcl 35545 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I
)  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
6558, 59, 63, 64syl21anc 1228 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
661, 2, 55cvrval 34728 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
) C ( F `
 Y )  <->  ( ( F `  X )
( lt `  K
) ( F `  Y )  /\  -.  E. z  e.  B  ( ( F `  X
) ( lt `  K ) z  /\  z ( lt `  K ) ( F `
 Y ) ) ) ) )
6758, 62, 65, 66syl3anc 1229 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
) C ( F `
 Y )  <->  ( ( F `  X )
( lt `  K
) ( F `  Y )  /\  -.  E. z  e.  B  ( ( F `  X
) ( lt `  K ) z  /\  z ( lt `  K ) ( F `
 Y ) ) ) ) )
6854, 57, 673bitr4d 285 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X C Y  <->  ( F `  X ) C ( F `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794   class class class wbr 4437   `'ccnv 4988   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578   Basecbs 14509   ltcplt 15444    <o ccvr 34721   LAutclaut 35443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-map 7424  df-plt 15462  df-covers 34725  df-laut 35447
This theorem is referenced by:  ltrncvr  35591
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