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Theorem lautco 33127
Description: The composition of two lattice automorphisms is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
lautco.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautco  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  ( F  o.  G
)  e.  I )

Proof of Theorem lautco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2 lautco.i . . . . 5  |-  I  =  ( LAut `  K
)
31, 2laut1o 33115 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I )  ->  F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
) )
433adant3 1019 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
) )
51, 2laut1o 33115 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  G  e.  I )  ->  G : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
) )
653adant2 1018 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  G : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
) )
7 f1oco 5823 . . 3  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )  ->  ( F  o.  G ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
84, 6, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  ( F  o.  G
) : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
) )
9 simpl1 1002 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  K  e.  V )
10 simpl2 1003 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  F  e.  I )
11 simpl3 1004 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  G  e.  I )
12 simprl 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  x  e.  ( Base `  K
) )
131, 2lautcl 33117 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  G  e.  I
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( G `  x )  e.  (
Base `  K )
)
149, 11, 12, 13syl21anc 1231 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  K
) )
15 simprr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  y  e.  ( Base `  K
) )
161, 2lautcl 33117 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  G  e.  I
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( G `  y )  e.  (
Base `  K )
)
179, 11, 15, 16syl21anc 1231 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  K
) )
18 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
191, 18, 2lautle 33114 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I
)  /\  ( ( G `  x )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( G `  y )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( G `  x
) ( le `  K ) ( G `
 y )  <->  ( F `  ( G `  x
) ) ( le
`  K ) ( F `  ( G `
 y ) ) ) )
209, 10, 14, 17, 19syl22anc 1233 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( G `  x
) ( le `  K ) ( G `
 y )  <->  ( F `  ( G `  x
) ) ( le
`  K ) ( F `  ( G `
 y ) ) ) )
211, 18, 2lautle 33114 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
x ( le `  K ) y  <->  ( G `  x ) ( le
`  K ) ( G `  y ) ) )
22213adantl2 1156 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
x ( le `  K ) y  <->  ( G `  x ) ( le
`  K ) ( G `  y ) ) )
23 f1of 5801 . . . . . . 7  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
246, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
25 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  ->  x  e.  ( Base `  K
) )
26 fvco3 5928 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  /\  x  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
2724, 25, 26syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
28 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  ->  y  e.  ( Base `  K
) )
29 fvco3 5928 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  y )  =  ( F `  ( G `  y ) ) )
3024, 28, 29syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  y )  =  ( F `  ( G `  y ) ) )
3127, 30breq12d 4410 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( ( F  o.  G ) `  x
) ( le `  K ) ( ( F  o.  G ) `
 y )  <->  ( F `  ( G `  x
) ) ( le
`  K ) ( F `  ( G `
 y ) ) ) )
3220, 22, 313bitr4d 287 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
x ( le `  K ) y  <->  ( ( F  o.  G ) `  x ) ( le
`  K ) ( ( F  o.  G
) `  y )
) )
3332ralrimivva 2827 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  A. x  e.  (
Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) ( x ( le `  K ) y  <->  ( ( F  o.  G ) `  x ) ( le
`  K ) ( ( F  o.  G
) `  y )
) )
341, 18, 2islaut 33113 . . 3  |-  ( K  e.  V  ->  (
( F  o.  G
)  e.  I  <->  ( ( F  o.  G ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  /\  A. x  e.  (
Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) ( x ( le `  K ) y  <->  ( ( F  o.  G ) `  x ) ( le
`  K ) ( ( F  o.  G
) `  y )
) ) ) )
35343ad2ant1 1020 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  ( ( F  o.  G )  e.  I  <->  ( ( F  o.  G
) : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) A. y  e.  ( Base `  K
) ( x ( le `  K ) y  <->  ( ( F  o.  G ) `  x ) ( le
`  K ) ( ( F  o.  G
) `  y )
) ) ) )
368, 33, 35mpbir2and 925 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  ( F  o.  G
)  e.  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   class class class wbr 4397    o. ccom 4829   -->wf 5567   -1-1-onto->wf1o 5570   ` cfv 5571   Basecbs 14843   lecple 14918   LAutclaut 33015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-map 7461  df-laut 33019
This theorem is referenced by:  ldilco  33146
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