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Theorem lautco 33741
Description: The composition of two lattice automorphisms is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
lautco.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautco  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  ( F  o.  G
)  e.  I )

Proof of Theorem lautco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2 lautco.i . . . . 5  |-  I  =  ( LAut `  K
)
31, 2laut1o 33729 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I )  ->  F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
) )
433adant3 1008 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
) )
51, 2laut1o 33729 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  G  e.  I )  ->  G : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
) )
653adant2 1007 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  G : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
) )
7 f1oco 5663 . . 3  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )  ->  ( F  o.  G ) : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
84, 6, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  ( F  o.  G
) : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
) )
9 simpl1 991 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  K  e.  V )
10 simpl2 992 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  F  e.  I )
11 simpl3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  G  e.  I )
12 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  x  e.  ( Base `  K
) )
131, 2lautcl 33731 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  G  e.  I
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( G `  x )  e.  (
Base `  K )
)
149, 11, 12, 13syl21anc 1217 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  K
) )
15 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  y  e.  ( Base `  K
) )
161, 2lautcl 33731 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  G  e.  I
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( G `  y )  e.  (
Base `  K )
)
179, 11, 15, 16syl21anc 1217 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  K
) )
18 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
191, 18, 2lautle 33728 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I
)  /\  ( ( G `  x )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( G `  y )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( G `  x
) ( le `  K ) ( G `
 y )  <->  ( F `  ( G `  x
) ) ( le
`  K ) ( F `  ( G `
 y ) ) ) )
209, 10, 14, 17, 19syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( G `  x
) ( le `  K ) ( G `
 y )  <->  ( F `  ( G `  x
) ) ( le
`  K ) ( F `  ( G `
 y ) ) ) )
211, 18, 2lautle 33728 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
x ( le `  K ) y  <->  ( G `  x ) ( le
`  K ) ( G `  y ) ) )
22213adantl2 1145 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
x ( le `  K ) y  <->  ( G `  x ) ( le
`  K ) ( G `  y ) ) )
23 f1of 5641 . . . . . . 7  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
246, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
25 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  ->  x  e.  ( Base `  K
) )
26 fvco3 5768 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  /\  x  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
2724, 25, 26syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
28 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  ->  y  e.  ( Base `  K
) )
29 fvco3 5768 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  y )  =  ( F `  ( G `  y ) ) )
3024, 28, 29syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  y )  =  ( F `  ( G `  y ) ) )
3127, 30breq12d 4305 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( ( F  o.  G ) `  x
) ( le `  K ) ( ( F  o.  G ) `
 y )  <->  ( F `  ( G `  x
) ) ( le
`  K ) ( F `  ( G `
 y ) ) ) )
3220, 22, 313bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I
)  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
x ( le `  K ) y  <->  ( ( F  o.  G ) `  x ) ( le
`  K ) ( ( F  o.  G
) `  y )
) )
3332ralrimivva 2808 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  A. x  e.  (
Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) ( x ( le `  K ) y  <->  ( ( F  o.  G ) `  x ) ( le
`  K ) ( ( F  o.  G
) `  y )
) )
341, 18, 2islaut 33727 . . 3  |-  ( K  e.  V  ->  (
( F  o.  G
)  e.  I  <->  ( ( F  o.  G ) : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  /\  A. x  e.  (
Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) ( x ( le `  K ) y  <->  ( ( F  o.  G ) `  x ) ( le
`  K ) ( ( F  o.  G
) `  y )
) ) ) )
35343ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  ( ( F  o.  G )  e.  I  <->  ( ( F  o.  G
) : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) A. y  e.  ( Base `  K
) ( x ( le `  K ) y  <->  ( ( F  o.  G ) `  x ) ( le
`  K ) ( ( F  o.  G
) `  y )
) ) ) )
368, 33, 35mpbir2and 913 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I  /\  G  e.  I )  ->  ( F  o.  G
)  e.  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   class class class wbr 4292    o. ccom 4844   -->wf 5414   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418   Basecbs 14174   lecple 14245   LAutclaut 33629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-map 7216  df-laut 33633
This theorem is referenced by:  ldilco  33760
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