Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  laut1o Structured version   Unicode version

Theorem laut1o 34087
Description: A lattice automorphism is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 19-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
laut1o.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
laut1o.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
laut1o  |-  ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-onto-> B )

Proof of Theorem laut1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 laut1o.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2454 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 laut1o.i . . 3  |-  I  =  ( LAut `  K
)
41, 2, 3islaut 34085 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  ( F  e.  I  <->  ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  ( F `  x ) ( le
`  K ) ( F `  y ) ) ) ) )
54simprbda 623 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   class class class wbr 4403   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529   Basecbs 14295   lecple 14367   LAutclaut 33987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-map 7329  df-laut 33991
This theorem is referenced by:  laut11  34088  lautcl  34089  lautcnvclN  34090  lautcnvle  34091  lautcnv  34092  lautcvr  34094  lautj  34095  lautm  34096  lautco  34099  ldil1o  34114  ltrn1o  34126
  Copyright terms: Public domain W3C validator