Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  laut1o Structured version   Unicode version

Theorem laut1o 33358
Description: A lattice automorphism is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 19-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
laut1o.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
laut1o.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
laut1o  |-  ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-onto-> B )

Proof of Theorem laut1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 laut1o.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2429 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 laut1o.i . . 3  |-  I  =  ( LAut `  K
)
41, 2, 3islaut 33356 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  ( F  e.  I  <->  ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  ( F `  x ) ( le
`  K ) ( F `  y ) ) ) ) )
54simprbda 627 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   class class class wbr 4426   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601   Basecbs 15084   lecple 15159   LAutclaut 33258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-map 7482  df-laut 33262
This theorem is referenced by:  laut11  33359  lautcl  33360  lautcnvclN  33361  lautcnvle  33362  lautcnv  33363  lautcvr  33365  lautj  33366  lautm  33367  lautco  33370  ldil1o  33385  ltrn1o  33397
  Copyright terms: Public domain W3C validator