Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  laut11 Structured version   Unicode version

Theorem laut11 34012
Description: One-to-one property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
laut1o.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
laut1o.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
laut11  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( F `  X )  =  ( F `  Y )  <-> 
X  =  Y ) )

Proof of Theorem laut11
StepHypRef Expression
1 laut1o.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 laut1o.i . . . 4  |-  I  =  ( LAut `  K
)
31, 2laut1o 34011 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
4 f1of1 5724 . . 3  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  F : B -1-1-> B )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-> B
)
6 f1fveq 6060 . 2  |-  ( ( F : B -1-1-> B  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  =  ( F `
 Y )  <->  X  =  Y ) )
75, 6sylan 471 1  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  I
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( F `  X )  =  ( F `  Y )  <-> 
X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757   -1-1->wf1 5499   -1-1-onto->wf1o 5501   ` cfv 5502   Basecbs 14262   LAutclaut 33911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-map 7302  df-laut 33915
This theorem is referenced by:  lautlt  34017  ltrn11  34052
  Copyright terms: Public domain W3C validator