MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lattr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lattr 16302
Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3440 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latref.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latref.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
lattr  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )

Proof of Theorem lattr
StepHypRef Expression
1 latpos 16296 . 2  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
2 latref.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 latref.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
42, 3postr 16199 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )
51, 4sylan 474 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   class class class wbr 4402   ` cfv 5582   Basecbs 15121   lecple 15197   Posetcpo 16185   Latclat 16291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-nul 4534
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-xp 4840  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fv 5590  df-poset 16191  df-lat 16292
This theorem is referenced by:  lattrd  16304  latjlej1  16311  latjlej12  16313  latnlej2  16317  latmlem1  16327  latmlem12  16329  clatleglb  16372  lecmtN  32822  hlrelat2  32968  ps-2  33043  dalem3  33229  dalem17  33245  dalem21  33259  dalem25  33263  linepsubN  33317  pmapsub  33333  cdlemblem  33358  pmapjoin  33417  lhpmcvr4N  33591  4atexlemnclw  33635  cdlemd3  33766  cdleme3g  33800  cdleme3h  33801  cdleme7d  33812  cdleme21c  33894  cdleme32b  34009  cdleme35fnpq  34016  cdleme35f  34021  cdleme48bw  34069  cdlemf1  34128  cdlemg2fv2  34167  cdlemg7fvbwN  34174  cdlemg4  34184  cdlemg6c  34187  cdlemg27a  34259  cdlemg33b0  34268  cdlemg33a  34273  cdlemk3  34400  dia2dimlem1  34632  dihord6b  34828  dihord5apre  34830  dihglbcpreN  34868
  Copyright terms: Public domain W3C validator