MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lattr Structured version   Unicode version

Theorem lattr 15665
Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3497 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latref.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latref.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
lattr  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )

Proof of Theorem lattr
StepHypRef Expression
1 latpos 15659 . 2  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
2 latref.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 latref.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
42, 3postr 15562 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )
51, 4sylan 471 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   class class class wbr 4437   ` cfv 5578   Basecbs 14614   lecple 14686   Posetcpo 15548   Latclat 15654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-nul 4566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-xp 4995  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fv 5586  df-poset 15554  df-lat 15655
This theorem is referenced by:  lattrd  15667  latjlej1  15674  latjlej12  15676  latnlej2  15680  latmlem1  15690  latmlem12  15692  clatleglb  15735  lecmtN  34856  hlrelat2  35002  ps-2  35077  dalem3  35263  dalem17  35279  dalem21  35293  dalem25  35297  linepsubN  35351  pmapsub  35367  cdlemblem  35392  pmapjoin  35451  lhpmcvr4N  35625  4atexlemnclw  35669  cdlemd3  35800  cdleme3g  35834  cdleme3h  35835  cdleme7d  35846  cdleme21c  35928  cdleme32b  36043  cdleme35fnpq  36050  cdleme35f  36055  cdleme48bw  36103  cdlemf1  36162  cdlemg2fv2  36201  cdlemg7fvbwN  36208  cdlemg4  36218  cdlemg6c  36221  cdlemg27a  36293  cdlemg33b0  36302  cdlemg33a  36307  cdlemk3  36434  dia2dimlem1  36666  dihord6b  36862  dihord5apre  36864  dihglbcpreN  36902
  Copyright terms: Public domain W3C validator