MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latnlej2l Structured version   Unicode version

Theorem latnlej2l 16024
Description: An idiom to express that a lattice element differs from two others. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latnlej2l  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  -.  X  .<_  ( Y  .\/  Z
) )  ->  -.  X  .<_  Y )

Proof of Theorem latnlej2l
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 latlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
41, 2, 3latnlej2 16023 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  -.  X  .<_  ( Y  .\/  Z
) )  ->  ( -.  X  .<_  Y  /\  -.  X  .<_  Z ) )
54simpld 457 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  -.  X  .<_  ( Y  .\/  Z
) )  ->  -.  X  .<_  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   lecple 14914   joincjn 15895   Latclat 15997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-poset 15897  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-lat 15998
This theorem is referenced by:  dalempnes  32648  dalemqnet  32649  dalem45  32714  dalem48  32717
  Copyright terms: Public domain W3C validator