Theorem latnlej1r 15339

Description: An idiom to express that a lattice element differs from two others. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	|- B = ( Base ` K )
latlej.l	|- .<_ = ( le ` K )
latlej.j	|- .\/ = ( join ` K )

Assertion

Ref	Expression
latnlej1r	|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ -. X .<_ ( Y .\/ Z ) ) -> X =/= Z )

Proof of Theorem latnlej1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
2		latlej.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
3		latlej.j	. . 3 |- .\/ = ( join ` K )
4	1, 2, 3	latnlej 15337	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ -. X .<_ ( Y .\/ Z ) ) -> ( X =/= Y /\ X =/= Z ) )
5	4	simprd 463	1 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ -. X .<_ ( Y .\/ Z ) ) -> X =/= Z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2642   class class class wbr 4387   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   Basecbs 14273   lecple 14344   joincjn 15213   Latclat 15314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-id 4731  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-lub 15243  df-join 15245  df-lat 15315

This theorem is referenced by:  atnlej2  33327  3noncolr2  33396  4noncolr3  33400  3atlem5  33434  ps-2c  33475  lhpexle3lem  33958  cdleme0e  34164  cdleme11c  34208  cdleme11e  34210