Theorem latnlej1r 15899

Description: An idiom to express that a lattice element differs from two others. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	|- B = ( Base ` K )
latlej.l	|- .<_ = ( le ` K )
latlej.j	|- .\/ = ( join ` K )

Assertion

Ref	Expression
latnlej1r	|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ -. X .<_ ( Y .\/ Z ) ) -> X =/= Z )

Proof of Theorem latnlej1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
2		latlej.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
3		latlej.j	. . 3 |- .\/ = ( join ` K )
4	1, 2, 3	latnlej 15897	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ -. X .<_ ( Y .\/ Z ) ) -> ( X =/= Y /\ X =/= Z ) )
5	4	simprd 461	1 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ -. X .<_ ( Y .\/ Z ) ) -> X =/= Z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   lecple 14791   joincjn 15772   Latclat 15874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-lub 15803  df-join 15805  df-lat 15875

This theorem is referenced by:  atnlej2  35501  3noncolr2  35570  4noncolr3  35574  3atlem5  35608  ps-2c  35649  lhpexle3lem  36132  cdleme0e  36339  cdleme11c  36383  cdleme11e  36385