MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latnlej1l Structured version   Unicode version

Theorem latnlej1l 15239
Description: An idiom to express that a lattice element differs from two others. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latnlej1l  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  -.  X  .<_  ( Y  .\/  Z
) )  ->  X  =/=  Y )

Proof of Theorem latnlej1l
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 latlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
41, 2, 3latnlej 15238 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  -.  X  .<_  ( Y  .\/  Z
) )  ->  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z ) )
54simpld 459 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  -.  X  .<_  ( Y  .\/  Z
) )  ->  X  =/=  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   lecple 14245   joincjn 15114   Latclat 15215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-lub 15144  df-join 15146  df-lat 15216
This theorem is referenced by:  atnlej1  33023  3atlem4  33130  3atlem6  33132  dalemcnes  33294  lhpexle3lem  33655  cdlemd4  33845  cdlemd7  33848  cdleme0e  33861  cdleme3e  33876  cdleme9  33897  cdleme17c  33932
  Copyright terms: Public domain W3C validator