MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle2 Unicode version

Theorem latmle2 14461
Description: A meet is less than or equal to its second argument. (inss2 3522 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latmle.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmle2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )

Proof of Theorem latmle2
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latmle.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14435 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
4 latmle.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lemeet2 14411 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
63, 5mpdan 650 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   meetcmee 14357   Latclat 14429
This theorem is referenced by:  latmlem1  14465  latledi  14473  mod1ile  14489  oldmm1  29700  olm01  29719  cmtcomlemN  29731  cmtbr4N  29738  meetat  29779  cvrexchlem  29901  cvrat4  29925  2llnmj  30042  2lplnmj  30104  dalem25  30180  dalem54  30208  dalem57  30211  cdlema1N  30273  cdlemb  30276  llnexchb2lem  30350  llnexch2N  30352  dalawlem1  30353  dalawlem3  30355  pl42lem1N  30461  lhpelim  30519  lhpat3  30528  4atexlemunv  30548  4atexlemtlw  30549  4atexlemnclw  30552  4atexlemex2  30553  lautm  30576  trlle  30666  cdlemc2  30674  cdlemc5  30677  cdlemd2  30681  cdleme0b  30694  cdleme0c  30695  cdleme0fN  30700  cdleme01N  30703  cdleme0ex1N  30705  cdleme2  30710  cdleme3b  30711  cdleme3c  30712  cdleme3g  30716  cdleme3h  30717  cdleme7aa  30724  cdleme7c  30727  cdleme7d  30728  cdleme7e  30729  cdleme7ga  30730  cdleme11fN  30746  cdleme11k  30750  cdleme15d  30759  cdleme16f  30765  cdlemednpq  30781  cdleme19c  30787  cdleme20aN  30791  cdleme20c  30793  cdleme20j  30800  cdleme21c  30809  cdleme21ct  30811  cdleme22cN  30824  cdleme22f  30828  cdleme23a  30831  cdleme28a  30852  cdleme35d  30934  cdleme35f  30936  cdlemeg46frv  31007  cdlemeg46rgv  31010  cdlemeg46req  31011  cdlemg2fv2  31082  cdlemg2m  31086  cdlemg4  31099  cdlemg10bALTN  31118  cdlemg31b  31180  trlcolem  31208  cdlemk14  31336  dia2dimlem1  31547  docaclN  31607  doca2N  31609  djajN  31620  dihjustlem  31699  dihord1  31701  dihord2a  31702  dihord2b  31703  dihord2cN  31704  dihord11b  31705  dihord11c  31707  dihord2pre  31708  dihlsscpre  31717  dihvalcq2  31730  dihopelvalcpre  31731  dihord6apre  31739  dihord5b  31742  dihord5apre  31745  dihmeetlem1N  31773  dihglblem5apreN  31774  dihglblem3N  31778  dihmeetbclemN  31787  dihmeetlem4preN  31789  dihmeetlem7N  31793  dihmeetlem9N  31798  dihjatcclem4  31904
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-glb 14387  df-meet 14389  df-lat 14430
  Copyright terms: Public domain W3C validator