MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmcom Structured version   Unicode version

Theorem latmcom 16029
Description: The join of a lattice commutes. (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmcom.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmcom.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmcom  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( Y 
./\  X ) )

Proof of Theorem latmcom
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4855 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B
) )
213adant1 1015 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B
) )
3 latmcom.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
5 latmcom.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
63, 4, 5islat 16001 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Lat  <->  ( K  e.  Poset  /\  ( dom  ( join `  K )  =  ( B  X.  B )  /\  dom  ./\  =  ( B  X.  B ) ) ) )
7 simprr 758 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( dom  ( join `  K
)  =  ( B  X.  B )  /\  dom  ./\  =  ( B  X.  B ) ) )  ->  dom  ./\  =  ( B  X.  B
) )
86, 7sylbi 195 . . . . 5  |-  ( K  e.  Lat  ->  dom  ./\  =  ( B  X.  B ) )
983ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  dom  ./\  =  ( B  X.  B ) )
102, 9eleqtrrd 2493 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. X ,  Y >.  e. 
dom  ./\  )
11 opelxpi 4855 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  B  /\  X  e.  B )  -> 
<. Y ,  X >.  e.  ( B  X.  B
) )
1211ancoms 451 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. Y ,  X >.  e.  ( B  X.  B
) )
13123adant1 1015 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. Y ,  X >.  e.  ( B  X.  B
) )
1413, 9eleqtrrd 2493 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. Y ,  X >.  e. 
dom  ./\  )
1510, 14jca 530 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  dom  ./\  /\  <. Y ,  X >.  e.  dom  ./\  ) )
16 latpos 16004 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
173, 5meetcom 15986 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( <. X ,  Y >.  e.  dom  ./\  /\  <. Y ,  X >.  e.  dom  ./\  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  ( Y  ./\  X
) )
1816, 17syl3anl1 1278 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( <. X ,  Y >.  e.  dom  ./\  /\  <. Y ,  X >.  e.  dom  ./\  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  ( Y  ./\  X
) )
1915, 18mpdan 666 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( Y 
./\  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   <.cop 3978    X. cxp 4821   dom cdm 4823   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   Posetcpo 15893   joincjn 15897   meetcmee 15898   Latclat 15999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-glb 15929  df-meet 15931  df-lat 16000
This theorem is referenced by:  latleeqm2  16034  latmlem2  16036  latmlej21  16046  latmlej22  16047  mod2ile  16060  olm12  32246  latm12  32248  latm32  32249  latmrot  32250  olm02  32255  omllaw2N  32262  cmtcomlemN  32266  cmtbr3N  32272  omlfh1N  32276  omlmod1i2N  32278  omlspjN  32279  cvlcvrp  32358  intnatN  32424  cvrexch  32437  cvrat4  32460  2atjm  32462  1cvrat  32493  2at0mat0  32542  dalem4  32682  dalem56  32745  atmod2i1  32878  atmod2i2  32879  llnmod2i2  32880  atmod3i1  32881  atmod3i2  32882  llnexchb2lem  32885  dalawlem3  32890  dalawlem4  32891  dalawlem6  32893  dalawlem9  32896  dalawlem11  32898  dalawlem12  32899  dalawlem15  32902  lhpmcvr  33040  4atexlemc  33086  cdleme20zN  33319  cdleme20d  33331  cdleme20l  33341  cdleme20m  33342  cdlemg12  33669  cdlemg17  33696  cdlemg19  33703  cdlemg44a  33750  dihmeetlem17N  34343  dihmeetlem20N  34346  dihmeetALTN  34347
  Copyright terms: Public domain W3C validator