MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej2 Structured version   Unicode version

Theorem latlej2 15560
Description: A join's second argument is less than or equal to the join. (chub2 26291 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latlej2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )

Proof of Theorem latlej2
StepHypRef Expression
1 latlej.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 latlej.j . 2  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 simp1 995 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
5 simp2 996 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
6 simp3 997 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
7 eqid 2441 . . . 4  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
81, 3, 7, 4, 5, 6latcl2 15547 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  dom  .\/  /\  <. X ,  Y >.  e. 
dom  ( meet `  K
) ) )
98simpld 459 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. X ,  Y >.  e. 
dom  .\/  )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9lejoin2 15512 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   <.cop 4016   class class class wbr 4433   dom cdm 4985   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   lecple 14576   joincjn 15442   meetcmee 15443   Latclat 15544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-lub 15473  df-join 15475  df-lat 15545
This theorem is referenced by:  latleeqj1  15562  latjlej1  15564  latnlej  15567  latnlej2  15570  latjass  15594  lubun  15622  oldmm1  34644  cmtcomlemN  34675  cmtbr4N  34682  cvlexchb1  34757  cvlatexch1  34763  cvrval5  34841  2llnjaN  34992  4atlem3b  35024  2lplnja  35045  dalem5  35093  dalem17  35106  dalem39  35137  dalem43  35141  elpaddn0  35226  pmapjoin  35278  dalawlem2  35298  dalawlem11  35307  dalawlem12  35308  lautj  35519  trljat2  35594  cdleme0cq  35642  cdleme1  35654  cdleme3  35664  cdleme5  35667  cdleme7ga  35675  cdleme10  35681  cdleme15b  35702  cdleme16b  35706  cdleme20k  35747  cdleme22e  35772  cdleme22eALTN  35773  cdleme23c  35779  cdleme28a  35798  cdleme32e  35873  cdleme35a  35876  cdlemg4c  36040  cdlemg6c  36048  trlcolem  36154  cdlemi1  36246  dia2dimlem2  36494  cdlemm10N  36547  dihord2pre2  36655  dihord5apre  36691  dihjatc1  36740
  Copyright terms: Public domain W3C validator