MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej2 Structured version   Unicode version

Theorem latlej2 15342
Description: A join's second argument is less than or equal to the join. (chub2 25056 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latlej2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )

Proof of Theorem latlej2
StepHypRef Expression
1 latlej.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 latlej.j . 2  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 simp1 988 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
5 simp2 989 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
6 simp3 990 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
7 eqid 2451 . . . 4  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
81, 3, 7, 4, 5, 6latcl2 15329 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  dom  .\/  /\  <. X ,  Y >.  e. 
dom  ( meet `  K
) ) )
98simpld 459 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. X ,  Y >.  e. 
dom  .\/  )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9lejoin2 15294 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   <.cop 3984   class class class wbr 4393   dom cdm 4941   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   lecple 14356   joincjn 15225   meetcmee 15226   Latclat 15326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-lub 15255  df-join 15257  df-lat 15327
This theorem is referenced by:  latleeqj1  15344  latjlej1  15346  latnlej  15349  latnlej2  15352  latjass  15376  lubun  15404  oldmm1  33171  cmtcomlemN  33202  cmtbr4N  33209  cvlexchb1  33284  cvlatexch1  33290  cvrval5  33368  2llnjaN  33519  4atlem3b  33551  2lplnja  33572  dalem5  33620  dalem17  33633  dalem39  33664  dalem43  33668  elpaddn0  33753  pmapjoin  33805  dalawlem2  33825  dalawlem11  33834  dalawlem12  33835  lautj  34046  trljat2  34120  cdleme0cq  34168  cdleme1  34180  cdleme3  34190  cdleme5  34193  cdleme7ga  34201  cdleme10  34207  cdleme15b  34228  cdleme16b  34232  cdleme20k  34272  cdleme22e  34297  cdleme22eALTN  34298  cdleme23c  34304  cdleme28a  34323  cdleme32e  34398  cdleme35a  34401  cdlemg4c  34565  cdlemg6c  34573  trlcolem  34679  cdlemi1  34771  dia2dimlem2  35019  cdlemm10N  35072  dihord2pre2  35180  dihord5apre  35216  dihjatc1  35265
  Copyright terms: Public domain W3C validator