MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej2 Structured version   Unicode version

Theorem latlej2 15537
Description: A join's second argument is less than or equal to the join. (chub2 25952 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latlej2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )

Proof of Theorem latlej2
StepHypRef Expression
1 latlej.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 latlej.j . 2  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 simp1 991 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
5 simp2 992 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
6 simp3 993 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
7 eqid 2460 . . . 4  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
81, 3, 7, 4, 5, 6latcl2 15524 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  dom  .\/  /\  <. X ,  Y >.  e. 
dom  ( meet `  K
) ) )
98simpld 459 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. X ,  Y >.  e. 
dom  .\/  )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9lejoin2 15489 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   <.cop 4026   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   lecple 14551   joincjn 15420   meetcmee 15421   Latclat 15521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-lub 15450  df-join 15452  df-lat 15522
This theorem is referenced by:  latleeqj1  15539  latjlej1  15541  latnlej  15544  latnlej2  15547  latjass  15571  lubun  15599  oldmm1  33889  cmtcomlemN  33920  cmtbr4N  33927  cvlexchb1  34002  cvlatexch1  34008  cvrval5  34086  2llnjaN  34237  4atlem3b  34269  2lplnja  34290  dalem5  34338  dalem17  34351  dalem39  34382  dalem43  34386  elpaddn0  34471  pmapjoin  34523  dalawlem2  34543  dalawlem11  34552  dalawlem12  34553  lautj  34764  trljat2  34838  cdleme0cq  34886  cdleme1  34898  cdleme3  34908  cdleme5  34911  cdleme7ga  34919  cdleme10  34925  cdleme15b  34946  cdleme16b  34950  cdleme20k  34990  cdleme22e  35015  cdleme22eALTN  35016  cdleme23c  35022  cdleme28a  35041  cdleme32e  35116  cdleme35a  35119  cdlemg4c  35283  cdlemg6c  35291  trlcolem  35397  cdlemi1  35489  dia2dimlem2  35737  cdlemm10N  35790  dihord2pre2  35898  dihord5apre  35934  dihjatc1  35983
  Copyright terms: Public domain W3C validator