MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej1 Structured version   Unicode version

Theorem latlej1 15889
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 26623 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latlej1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )

Proof of Theorem latlej1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 latlej.j . 2  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 simp1 994 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
5 simp2 995 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
6 simp3 996 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
7 eqid 2454 . . . 4  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
81, 3, 7, 4, 5, 6latcl2 15877 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  dom  .\/  /\  <. X ,  Y >.  e. 
dom  ( meet `  K
) ) )
98simpld 457 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. X ,  Y >.  e. 
dom  .\/  )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9lejoin1 15841 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   <.cop 4022   class class class wbr 4439   dom cdm 4988   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   lecple 14791   joincjn 15772   meetcmee 15773   Latclat 15874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-lub 15803  df-join 15805  df-lat 15875
This theorem is referenced by:  latjlej1  15894  latnlej  15897  latnlej2  15900  latjidm  15903  latnle  15914  latabs2  15917  latmlej11  15919  latjass  15924  mod1ile  15934  lubun  15952  oldmm1  35339  olj01  35347  omllaw5N  35369  cvlexchb1  35452  cvlsupr2  35465  cvlsupr7  35470  hlatlej1  35496  hlrelat5N  35522  2atjm  35566  2llnmj  35681  lplnexllnN  35685  2llnjaN  35687  2llnm2N  35689  4atlem3a  35718  2lplnja  35740  2lplnm2N  35742  2lplnmj  35743  dalemply  35775  dalemsly  35776  dalem10  35794  dalem13  35797  dalem21  35815  dalem55  35848  2llnma1b  35907  cdlema1N  35912  elpaddn0  35921  paddasslem12  35952  paddasslem13  35953  pmapjoin  35973  dalawlem2  35993  dalawlem7  35998  dalawlem11  36002  dalawlem12  36003  lhpmcvr3  36146  lhpmcvr5N  36148  lhpmcvr6N  36149  lautj  36214  trljat1  36288  cdlemc1  36313  cdlemc4  36316  cdleme1  36349  cdleme8  36372  cdleme11g  36387  cdleme22e  36467  cdleme22eALTN  36468  cdleme23b  36473  cdleme23c  36474  cdleme27N  36492  cdleme30a  36501  cdleme35fnpq  36572  cdleme35b  36573  cdleme35c  36574  cdleme42h  36605  cdleme42i  36606  cdleme48bw  36625  cdlemg2fv2  36723  cdlemg7fvbwN  36730  cdlemg8b  36751  cdlemg11b  36765  trlcolem  36849  trljco  36863  cdlemi1  36941  cdlemk48  37073  cdlemn2  37319  dihjustlem  37340  dihord1  37342  dihord5apre  37386  dihglbcpreN  37424  dihmeetlem3N  37429  dihmeetlem11N  37441
  Copyright terms: Public domain W3C validator