MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej1 Unicode version

Theorem latlej1 14444
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 22962 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latlej1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )

Proof of Theorem latlej1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2latjcl 14434 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
4 latlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lejoin1 14403 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  X  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
63, 5mpdan 650 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   Latclat 14429
This theorem is referenced by:  latjlej1  14449  latnlej  14452  latnlej2  14455  latjidm  14458  latnle  14469  latabs2  14472  latmlej11  14474  latjass  14479  mod1ile  14489  lubun  14505  lubunNEW  29456  oldmm1  29700  olj01  29708  omllaw5N  29730  cvlexchb1  29813  cvlsupr2  29826  cvlsupr7  29831  hlatlej1  29857  hlrelat5N  29883  2atjm  29927  2llnmj  30042  lplnexllnN  30046  2llnjaN  30048  2llnm2N  30050  4atlem3a  30079  2lplnja  30101  2lplnm2N  30103  2lplnmj  30104  dalemply  30136  dalemsly  30137  dalem10  30155  dalem13  30158  dalem21  30176  dalem55  30209  2llnma1b  30268  cdlema1N  30273  elpaddn0  30282  paddasslem12  30313  paddasslem13  30314  pmapjoin  30334  dalawlem2  30354  dalawlem7  30359  dalawlem11  30363  dalawlem12  30364  lhpmcvr3  30507  lhpmcvr5N  30509  lhpmcvr6N  30510  lautj  30575  trljat1  30648  cdlemc1  30673  cdlemc4  30676  cdleme1  30709  cdleme8  30732  cdleme11g  30747  cdleme22e  30826  cdleme22eALTN  30827  cdleme23b  30832  cdleme23c  30833  cdleme27N  30851  cdleme30a  30860  cdleme35fnpq  30931  cdleme35b  30932  cdleme35c  30933  cdleme42h  30964  cdleme42i  30965  cdleme48bw  30984  cdlemg2fv2  31082  cdlemg7fvbwN  31089  cdlemg8b  31110  cdlemg11b  31124  trlcolem  31208  trljco  31222  cdlemi1  31300  cdlemk48  31432  cdlemn2  31678  dihjustlem  31699  dihord1  31701  dihord5apre  31745  dihglbcpreN  31783  dihmeetlem3N  31788  dihmeetlem11N  31800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-lub 14386  df-join 14388  df-lat 14430
  Copyright terms: Public domain W3C validator