MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej1 Structured version   Unicode version

Theorem latlej1 15230
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 24910 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latlej1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )

Proof of Theorem latlej1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 latlej.j . 2  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 simp1 988 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
5 simp2 989 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
6 simp3 990 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
7 eqid 2443 . . . 4  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
81, 3, 7, 4, 5, 6latcl2 15218 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  dom  .\/  /\  <. X ,  Y >.  e. 
dom  ( meet `  K
) ) )
98simpld 459 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. X ,  Y >.  e. 
dom  .\/  )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9lejoin1 15182 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   <.cop 3883   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   lecple 14245   joincjn 15114   meetcmee 15115   Latclat 15215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-lub 15144  df-join 15146  df-lat 15216
This theorem is referenced by:  latjlej1  15235  latnlej  15238  latnlej2  15241  latjidm  15244  latnle  15255  latabs2  15258  latmlej11  15260  latjass  15265  mod1ile  15275  lubun  15293  oldmm1  32862  olj01  32870  omllaw5N  32892  cvlexchb1  32975  cvlsupr2  32988  cvlsupr7  32993  hlatlej1  33019  hlrelat5N  33045  2atjm  33089  2llnmj  33204  lplnexllnN  33208  2llnjaN  33210  2llnm2N  33212  4atlem3a  33241  2lplnja  33263  2lplnm2N  33265  2lplnmj  33266  dalemply  33298  dalemsly  33299  dalem10  33317  dalem13  33320  dalem21  33338  dalem55  33371  2llnma1b  33430  cdlema1N  33435  elpaddn0  33444  paddasslem12  33475  paddasslem13  33476  pmapjoin  33496  dalawlem2  33516  dalawlem7  33521  dalawlem11  33525  dalawlem12  33526  lhpmcvr3  33669  lhpmcvr5N  33671  lhpmcvr6N  33672  lautj  33737  trljat1  33810  cdlemc1  33835  cdlemc4  33838  cdleme1  33871  cdleme8  33894  cdleme11g  33909  cdleme22e  33988  cdleme22eALTN  33989  cdleme23b  33994  cdleme23c  33995  cdleme27N  34013  cdleme30a  34022  cdleme35fnpq  34093  cdleme35b  34094  cdleme35c  34095  cdleme42h  34126  cdleme42i  34127  cdleme48bw  34146  cdlemg2fv2  34244  cdlemg7fvbwN  34251  cdlemg8b  34272  cdlemg11b  34286  trlcolem  34370  trljco  34384  cdlemi1  34462  cdlemk48  34594  cdlemn2  34840  dihjustlem  34861  dihord1  34863  dihord5apre  34907  dihglbcpreN  34945  dihmeetlem3N  34950  dihmeetlem11N  34962
  Copyright terms: Public domain W3C validator