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Theorem latleeqj1 15231
Description: Less-than-or-equal-to in terms of join. (chlejb1 24913 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latleeqj1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  .\/  Y )  =  Y ) )

Proof of Theorem latleeqj1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
31, 2latref 15221 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  Y )
433adant2 1007 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  Y )
54biantrud 507 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Y ) ) )
6 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
7 simp2 989 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
8 simp3 990 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
9 latlej.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
101, 2, 9latjle12 15230 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Y )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Y ) )
116, 7, 8, 8, 10syl13anc 1220 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Y )  <-> 
( X  .\/  Y
)  .<_  Y ) )
125, 11bitrd 253 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Y ) )
131, 2, 9latlej2 15229 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )
1413biantrud 507 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  .<_  Y  <->  ( ( X  .\/  Y )  .<_  Y  /\  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) ) ) )
1512, 14bitrd 253 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( ( X  .\/  Y )  .<_  Y  /\  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) ) ) )
16 latpos 15218 . . . 4  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
17163ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Poset )
181, 9latjcl 15219 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
191, 2posasymb 15120 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( X  .\/  Y )  .<_  Y  /\  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )  <->  ( X  .\/  Y )  =  Y ) )
2017, 18, 8, 19syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( X 
.\/  Y )  .<_  Y  /\  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )  <-> 
( X  .\/  Y
)  =  Y ) )
2115, 20bitrd 253 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  .\/  Y )  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Basecbs 14172   lecple 14243   Posetcpo 15108   joincjn 15112   Latclat 15213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-poset 15114  df-lub 15142  df-glb 15143  df-join 15144  df-meet 15145  df-lat 15214
This theorem is referenced by:  latleeqj2  15232  latnle  15253  cvlsupr2  32985  hlrelat5N  33042  3dim3  33110  dalem-cly  33312  dalem44  33357  cdleme30a  34019
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