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Theorem latleeqj1 16015
Description: Less-than-or-equal-to in terms of join. (chlejb1 26830 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latleeqj1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  .\/  Y )  =  Y ) )

Proof of Theorem latleeqj1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
31, 2latref 16005 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  Y )
433adant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  Y )
54biantrud 505 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Y ) ) )
6 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
7 simp2 998 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
8 simp3 999 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
9 latlej.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
101, 2, 9latjle12 16014 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Y )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Y ) )
116, 7, 8, 8, 10syl13anc 1232 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Y )  <-> 
( X  .\/  Y
)  .<_  Y ) )
125, 11bitrd 253 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Y ) )
131, 2, 9latlej2 16013 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )
1413biantrud 505 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  .<_  Y  <->  ( ( X  .\/  Y )  .<_  Y  /\  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) ) ) )
1512, 14bitrd 253 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( ( X  .\/  Y )  .<_  Y  /\  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) ) ) )
16 latpos 16002 . . . 4  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
17163ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Poset )
181, 9latjcl 16003 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
191, 2posasymb 15904 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( X  .\/  Y )  .<_  Y  /\  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )  <->  ( X  .\/  Y )  =  Y ) )
2017, 18, 8, 19syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( X 
.\/  Y )  .<_  Y  /\  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )  <-> 
( X  .\/  Y
)  =  Y ) )
2115, 20bitrd 253 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  .\/  Y )  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   lecple 14914   Posetcpo 15891   joincjn 15895   Latclat 15997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-preset 15879  df-poset 15897  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-lat 15998
This theorem is referenced by:  latleeqj2  16016  latnle  16037  cvlsupr2  32341  hlrelat5N  32398  3dim3  32466  dalem-cly  32668  dalem44  32713  cdleme30a  33377
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