MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjlej2 Structured version   Unicode version

Theorem latjlej2 15542
Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (chlej2i 26054 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latjlej2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  ( Z  .\/  X )  .<_  ( Z  .\/  Y ) ) )

Proof of Theorem latjlej2
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 latlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
41, 2, 3latjlej1 15541 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  ( X  .\/  Z )  .<_  ( Y  .\/  Z ) ) )
51, 3latjcom 15535 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .\/  Z
)  =  ( Z 
.\/  X ) )
653adant3r2 1201 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Z )  =  ( Z  .\/  X
) )
71, 3latjcom 15535 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .\/  Z
)  =  ( Z 
.\/  Y ) )
873adant3r1 1200 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z )  =  ( Z  .\/  Y
) )
96, 8breq12d 4453 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Z
)  .<_  ( Y  .\/  Z )  <->  ( Z  .\/  X )  .<_  ( Z  .\/  Y ) ) )
104, 9sylibd 214 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  ( Z  .\/  X )  .<_  ( Z  .\/  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   lecple 14551   joincjn 15420   Latclat 15521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-poset 15422  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-lat 15522
This theorem is referenced by:  latjlej12  15543  cvrat3  34113  2llnjaN  34237  2lplnja  34290  dalawlem3  34544  dalawlem6  34547  dalawlem11  34552  lhpj1  34693  cdleme1  34898  cdleme9  34924  cdleme11g  34936  cdleme28a  35041  cdleme30a  35049  cdleme32c  35114  cdlemi1  35489  cdlemk11  35520  cdlemk11u  35542  cdlemk51  35624  cdlemm10N  35790  cdlemn10  35878
  Copyright terms: Public domain W3C validator