MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjcom Structured version   Unicode version

Theorem latjcom 15563
Description: The join of a lattice commutes. (chjcom 26247 analog.) (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjcom.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latjcom.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latjcom  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )

Proof of Theorem latjcom
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5037 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B
) )
213adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B
) )
3 latjcom.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 latjcom.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
5 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
63, 4, 5islat 15551 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Lat  <->  ( K  e.  Poset  /\  ( dom  .\/  =  ( B  X.  B )  /\  dom  ( meet `  K )  =  ( B  X.  B ) ) ) )
7 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( dom  .\/  =  ( B  X.  B )  /\  dom  ( meet `  K
)  =  ( B  X.  B ) ) )  ->  dom  .\/  =  ( B  X.  B
) )
86, 7sylbi 195 . . . . 5  |-  ( K  e.  Lat  ->  dom  .\/  =  ( B  X.  B ) )
983ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  dom  .\/  =  ( B  X.  B ) )
102, 9eleqtrrd 2558 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. X ,  Y >.  e. 
dom  .\/  )
11 opelxpi 5037 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  B  /\  X  e.  B )  -> 
<. Y ,  X >.  e.  ( B  X.  B
) )
1211ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. Y ,  X >.  e.  ( B  X.  B
) )
13123adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. Y ,  X >.  e.  ( B  X.  B
) )
1413, 9eleqtrrd 2558 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. Y ,  X >.  e. 
dom  .\/  )
1510, 14jca 532 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  dom  .\/  /\  <. Y ,  X >.  e. 
dom  .\/  ) )
16 latpos 15554 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
173, 4joincom 15534 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( <. X ,  Y >.  e.  dom  .\/  /\  <. Y ,  X >.  e. 
dom  .\/  ) )  -> 
( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )
1816, 17syl3anl1 1276 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( <. X ,  Y >.  e.  dom  .\/  /\  <. Y ,  X >.  e. 
dom  .\/  ) )  -> 
( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )
1915, 18mpdan 668 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   <.cop 4039    X. cxp 5003   dom cdm 5005   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   Posetcpo 15444   joincjn 15448   meetcmee 15449   Latclat 15549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-lub 15478  df-join 15480  df-lat 15550
This theorem is referenced by:  latleeqj2  15568  latjlej2  15570  latnle  15589  latmlej12  15595  latj12  15600  latj32  15601  latj13  15602  latj31  15603  latj4rot  15606  mod2ile  15610  latdisdlem  15693  olj02  34424  omllaw4  34444  cmt2N  34448  cmtbr3N  34452  cvlexch2  34527  cvlexchb2  34529  cvlatexchb2  34533  cvlatexch2  34535  cvlatexch3  34536  cvlatcvr2  34540  cvlsupr2  34541  cvlsupr7  34546  cvlsupr8  34547  hlatjcom  34565  hlrelat5N  34598  cvrval5  34612  cvrexch  34617  cvratlem  34618  cvrat  34619  2atlt  34636  cvrat3  34639  cvrat4  34640  cvrat42  34641  4noncolr3  34650  1cvrat  34673  3atlem1  34680  4atlem4d  34799  4atlem12  34809  paddcom  35010  paddasslem2  35018  pmapjat2  35051  atmod2i1  35058  atmod2i2  35059  llnmod2i2  35060  atmod4i1  35063  atmod4i2  35064  dalawlem4  35071  dalawlem9  35076  dalawlem12  35079  lhpjat2  35218  lhple  35239  trljat1  35363  trljat2  35364  cdlemc1  35388  cdlemc6  35393  cdlemd1  35395  cdleme5  35437  cdleme9  35450  cdleme10  35451  cdleme19e  35504  trlcolem  35923  trljco2  35938  cdlemk7  36045  cdlemk7u  36067  cdlemkid1  36119  dih1  36484  dihjatc2N  36510
  Copyright terms: Public domain W3C validator