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Theorem latjass 15582
Description: Lattice join is associative. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (chjass 26155 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latjass.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latjass  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  =  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )

Proof of Theorem latjass
StepHypRef Expression
1 latjass.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2467 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 simpl 457 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 latjass.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
51, 4latjcl 15538 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
653adant3r3 1207 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
7 simpr3 1004 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
81, 4latjcl 15538 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  e.  B )
93, 6, 7, 8syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  e.  B )
10 simpr1 1002 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
111, 4latjcl 15538 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .\/  Z
)  e.  B )
12113adant3r1 1205 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z )  e.  B )
131, 4latjcl 15538 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  -> 
( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B )
143, 10, 12, 13syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B
)
151, 2, 4latlej1 15547 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
163, 10, 12, 15syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
17 simpr2 1003 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
181, 2, 4latlej1 15547 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( Y 
.\/  Z ) )
19183adant3r1 1205 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( Y  .\/  Z ) )
201, 2, 4latlej2 15548 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  -> 
( Y  .\/  Z
) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
213, 10, 12, 20syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z ) ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
221, 2, 3, 17, 12, 14, 19, 21lattrd 15545 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
231, 2, 4latjle12 15549 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B ) )  ->  ( ( X ( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  /\  Y ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
243, 10, 17, 14, 23syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( X  .\/  ( Y 
.\/  Z ) )  /\  Y ( le
`  K ) ( X  .\/  ( Y 
.\/  Z ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
2516, 22, 24mpbi2and 919 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
261, 2, 4latlej2 15548 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  Z ( le `  K ) ( Y 
.\/  Z ) )
27263adant3r1 1205 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z
( le `  K
) ( Y  .\/  Z ) )
281, 2, 3, 7, 12, 14, 27, 21lattrd 15545 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
291, 2, 4latjle12 15549 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( X  .\/  ( Y 
.\/  Z ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) ( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  /\  Z ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )  <->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
303, 6, 7, 14, 29syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) )  /\  Z
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )  <->  ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
3125, 28, 30mpbi2and 919 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
321, 2, 4latlej1 15547 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
33323adant3r3 1207 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
341, 2, 4latlej1 15547 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )
353, 6, 7, 34syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )
361, 2, 3, 10, 6, 9, 33, 35lattrd 15545 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
371, 2, 4latlej2 15548 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
38373adant3r3 1207 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
391, 2, 3, 17, 6, 9, 38, 35lattrd 15545 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
401, 2, 4latlej2 15548 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  Z
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
413, 6, 7, 40syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
421, 2, 4latjle12 15549 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z )  e.  B ) )  ->  ( ( Y ( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z )  /\  Z ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )  <->  ( Y  .\/  Z ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) ) )
433, 17, 7, 9, 42syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y ( le
`  K ) ( ( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  /\  Z ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) )  <-> 
( Y  .\/  Z
) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) ) )
4439, 41, 43mpbi2and 919 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )
451, 2, 4latjle12 15549 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z
)  e.  B  /\  ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z )  e.  B ) )  ->  ( ( X ( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z )  /\  ( Y 
.\/  Z ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )  <->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) ) )
463, 10, 12, 9, 45syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( ( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  /\  ( Y  .\/  Z
) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) )  <-> 
( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) ( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) ) )
4736, 44, 46mpbi2and 919 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) ( le
`  K ) ( ( X  .\/  Y
)  .\/  Z )
)
481, 2, 3, 9, 14, 31, 47latasymd 15544 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  =  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   lecple 14562   joincjn 15431   Latclat 15532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-poset 15433  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-lat 15533
This theorem is referenced by:  latj12  15583  latj32  15584  latj4  15588  latmass  15675  latmassOLD  34044  hlatjass  34184  cvrexchlem  34233  cvrat3  34256  2atmat  34375  4atlem3  34410  4atlem3a  34411  4atlem4a  34413  4atlem4d  34416  4at2  34428  2lplnja  34433  pmapjlln1  34669  dalawlem3  34687  dalawlem12  34696  cdleme30a  35192  trlcolem  35540  cdlemh1  35629  cdlemkid1  35736  doca2N  35941  djajN  35952
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