MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latj12 Structured version   Unicode version

Theorem latj12 15942
Description: Swap 1st and 2nd members of lattice join. (chj12 26746 analog.) (Contributed by NM, 4-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latjass.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latj12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  =  ( Y  .\/  ( X 
.\/  Z ) ) )

Proof of Theorem latj12
StepHypRef Expression
1 latjass.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latjass.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2latjcom 15905 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )
433adant3r3 1208 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( Y  .\/  X
) )
54oveq1d 6249 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  =  ( ( Y 
.\/  X )  .\/  Z ) )
61, 2latjass 15941 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  =  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
7 simpl 455 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
8 simpr2 1004 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
9 simpr1 1003 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
10 simpr3 1005 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
111, 2latjass 15941 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Y  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y  .\/  X
)  .\/  Z )  =  ( Y  .\/  ( X  .\/  Z ) ) )
127, 8, 9, 10, 11syl13anc 1232 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y  .\/  X
)  .\/  Z )  =  ( Y  .\/  ( X  .\/  Z ) ) )
135, 6, 123eqtr3d 2451 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  =  ( Y  .\/  ( X 
.\/  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Basecbs 14733   joincjn 15789   Latclat 15891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-preset 15773  df-poset 15791  df-lub 15820  df-glb 15821  df-join 15822  df-meet 15823  df-lat 15892
This theorem is referenced by:  latj31  15945  latj4  15947  4atlem4b  32598  4atlem4c  32599  dalawlem3  32871  cdleme1  33226  cdleme5  33239  cdleme11g  33264
  Copyright terms: Public domain W3C validator