MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latdisdlem Structured version   Unicode version

Theorem latdisdlem 15946
Description: Lemma for latdisd 15947. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
latdisd.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latdisd.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
latdisd.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latdisdlem  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v 
./\  w ) )  =  ( ( u 
.\/  v )  ./\  ( u  .\/  w ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, w, x, y, z, K   
u, B, v, w, x, y, z    u,  .\/ , v, w, x, y, z    u,  ./\ , v, w, x, y, z

Proof of Theorem latdisdlem
StepHypRef Expression
1 latdisd.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latdisd.m . . . . . . . . 9  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 15809 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  ./\  y
)  e.  B )
433adant3r3 1207 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  ./\  y )  e.  B )
5 simpr1 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  x  e.  B )
6 simpr3 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  z  e.  B )
7 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( x  ./\  y )  ->  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  (
v  ./\  w )
) )
8 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( x  ./\  y )  ->  (
u  .\/  v )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  v ) )
9 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( x  ./\  y )  ->  (
u  .\/  w )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  w ) )
108, 9oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( x  ./\  y )  ->  (
( u  .\/  v
)  ./\  ( u  .\/  w ) )  =  ( ( ( x 
./\  y )  .\/  v )  ./\  (
( x  ./\  y
)  .\/  w )
) )
117, 10eqeq12d 2479 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( x  ./\  y )  ->  (
( u  .\/  (
v  ./\  w )
)  =  ( ( u  .\/  v ) 
./\  ( u  .\/  w ) )  <->  ( (
x  ./\  y )  .\/  ( v  ./\  w
) )  =  ( ( ( x  ./\  y )  .\/  v
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  w ) ) ) )
12 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  x  ->  (
v  ./\  w )  =  ( x  ./\  w ) )
1312oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  (
x  ./\  w )
) )
14 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  x  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  v )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  x ) )
1514oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  v
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  w ) )  =  ( ( ( x 
./\  y )  .\/  x )  ./\  (
( x  ./\  y
)  .\/  w )
) )
1613, 15eqeq12d 2479 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  x  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  (
v  ./\  w )
)  =  ( ( ( x  ./\  y
)  .\/  v )  ./\  ( ( x  ./\  y )  .\/  w
) )  <->  ( (
x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  w
) )  =  ( ( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  w ) ) ) )
17 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
x  ./\  w )  =  ( x  ./\  z ) )
1817oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  w ) )  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  (
x  ./\  z )
) )
19 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  w )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  z ) )
2019oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  w ) )  =  ( ( ( x 
./\  y )  .\/  x )  ./\  (
( x  ./\  y
)  .\/  z )
) )
2118, 20eqeq12d 2479 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  (
x  ./\  w )
)  =  ( ( ( x  ./\  y
)  .\/  x )  ./\  ( ( x  ./\  y )  .\/  w
) )  <->  ( (
x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  z
) )  =  ( ( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  z ) ) ) )
2211, 16, 21rspc3v 3222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  ./\  y
)  e.  B  /\  x  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v  ./\  w
) )  =  ( ( u  .\/  v
)  ./\  ( u  .\/  w ) )  -> 
( ( x  ./\  y )  .\/  (
x  ./\  z )
)  =  ( ( ( x  ./\  y
)  .\/  x )  ./\  ( ( x  ./\  y )  .\/  z
) ) ) )
234, 5, 6, 22syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v 
./\  w ) )  =  ( ( u 
.\/  v )  ./\  ( u  .\/  w ) )  ->  ( (
x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  z
) )  =  ( ( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  z ) ) ) )
2423imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) )  =  ( ( ( x 
./\  y )  .\/  x )  ./\  (
( x  ./\  y
)  .\/  z )
) )
25 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
26 latdisd.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
271, 26latjcom 15816 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  ./\  y )  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  x )  =  ( x  .\/  ( x  ./\  y ) ) )
2825, 4, 5, 27syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  x )  =  ( x  .\/  ( x  ./\  y ) ) )
291, 26, 2latabs1 15844 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .\/  (
x  ./\  y )
)  =  x )
30293adant3r3 1207 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  .\/  ( x  ./\  y ) )  =  x )
3128, 30eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  x )  =  x )
321, 26latjcom 15816 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  ./\  y )  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  z )  =  ( z  .\/  ( x  ./\  y ) ) )
3325, 4, 6, 32syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  z )  =  ( z  .\/  ( x  ./\  y ) ) )
3431, 33oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  z ) )  =  ( x  ./\  (
z  .\/  ( x  ./\  y ) ) ) )
3534adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  z ) )  =  ( x  ./\  (
z  .\/  ( x  ./\  y ) ) ) )
36 simpr2 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  y  e.  B )
37 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( z  .\/  (
v  ./\  w )
) )
38 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
u  .\/  v )  =  ( z  .\/  v ) )
39 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
u  .\/  w )  =  ( z  .\/  w ) )
4038, 39oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  .\/  v
)  ./\  ( u  .\/  w ) )  =  ( ( z  .\/  v )  ./\  (
z  .\/  w )
) )
4137, 40eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  .\/  (
v  ./\  w )
)  =  ( ( u  .\/  v ) 
./\  ( u  .\/  w ) )  <->  ( z  .\/  ( v  ./\  w
) )  =  ( ( z  .\/  v
)  ./\  ( z  .\/  w ) ) ) )
4212oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  x  ->  (
z  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( z  .\/  (
x  ./\  w )
) )
43 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  x  ->  (
z  .\/  v )  =  ( z  .\/  x ) )
4443oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  x  ->  (
( z  .\/  v
)  ./\  ( z  .\/  w ) )  =  ( ( z  .\/  x )  ./\  (
z  .\/  w )
) )
4542, 44eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  x  ->  (
( z  .\/  (
v  ./\  w )
)  =  ( ( z  .\/  v ) 
./\  ( z  .\/  w ) )  <->  ( z  .\/  ( x  ./\  w
) )  =  ( ( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  w ) ) ) )
46 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
x  ./\  w )  =  ( x  ./\  y ) )
4746oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
z  .\/  ( x  ./\  w ) )  =  ( z  .\/  (
x  ./\  y )
) )
48 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
z  .\/  w )  =  ( z  .\/  y ) )
4948oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  w ) )  =  ( ( z  .\/  x )  ./\  (
z  .\/  y )
) )
5047, 49eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  .\/  (
x  ./\  w )
)  =  ( ( z  .\/  x ) 
./\  ( z  .\/  w ) )  <->  ( z  .\/  ( x  ./\  y
) )  =  ( ( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  y ) ) ) )
5141, 45, 50rspc3v 3222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v  ./\  w
) )  =  ( ( u  .\/  v
)  ./\  ( u  .\/  w ) )  -> 
( z  .\/  (
x  ./\  y )
)  =  ( ( z  .\/  x ) 
./\  ( z  .\/  y ) ) ) )
526, 5, 36, 51syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v 
./\  w ) )  =  ( ( u 
.\/  v )  ./\  ( u  .\/  w ) )  ->  ( z  .\/  ( x  ./\  y
) )  =  ( ( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  y ) ) ) )
5352imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
z  .\/  ( x  ./\  y ) )  =  ( ( z  .\/  x )  ./\  (
z  .\/  y )
) )
5453oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
x  ./\  ( z  .\/  ( x  ./\  y
) ) )  =  ( x  ./\  (
( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  y ) ) ) )
551, 26latjcl 15808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( z  .\/  x
)  e.  B )
5625, 6, 5, 55syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
z  .\/  x )  e.  B )
571, 26latjcl 15808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  .\/  y
)  e.  B )
5825, 6, 36, 57syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
z  .\/  y )  e.  B )
591, 2latmass 15945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  ( z  .\/  x
)  e.  B  /\  ( z  .\/  y
)  e.  B ) )  ->  ( (
x  ./\  ( z  .\/  x ) )  ./\  ( z  .\/  y
) )  =  ( x  ./\  ( (
z  .\/  x )  ./\  ( z  .\/  y
) ) ) )
6025, 5, 56, 58, 59syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  ./\  (
z  .\/  x )
)  ./\  ( z  .\/  y ) )  =  ( x  ./\  (
( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  y ) ) ) )
611, 26latjcom 15816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( z  .\/  x
)  =  ( x 
.\/  z ) )
6225, 6, 5, 61syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
z  .\/  x )  =  ( x  .\/  z ) )
6362oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  ./\  ( z  .\/  x ) )  =  ( x  ./\  (
x  .\/  z )
) )
641, 26, 2latabs2 15845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( x  ./\  (
x  .\/  z )
)  =  x )
6525, 5, 6, 64syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  ./\  ( x  .\/  z ) )  =  x )
6663, 65eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  ./\  ( z  .\/  x ) )  =  x )
671, 26latjcom 15816 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  .\/  y
)  =  ( y 
.\/  z ) )
6825, 6, 36, 67syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
z  .\/  y )  =  ( y  .\/  z ) )
6966, 68oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  ./\  (
z  .\/  x )
)  ./\  ( z  .\/  y ) )  =  ( x  ./\  (
y  .\/  z )
) )
7060, 69eqtr3d 2500 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  ./\  ( (
z  .\/  x )  ./\  ( z  .\/  y
) ) )  =  ( x  ./\  (
y  .\/  z )
) )
7170adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
x  ./\  ( (
z  .\/  x )  ./\  ( z  .\/  y
) ) )  =  ( x  ./\  (
y  .\/  z )
) )
7254, 71eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
x  ./\  ( z  .\/  ( x  ./\  y
) ) )  =  ( x  ./\  (
y  .\/  z )
) )
7324, 35, 723eqtrrd 2503 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
x  ./\  ( y  .\/  z ) )  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  (
x  ./\  z )
) )
7473an32s 804 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\ 
A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v 
./\  w ) )  =  ( ( u 
.\/  v )  ./\  ( u  .\/  w ) ) )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) )
7574ralrimivvva 2879 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) )
7675ex 434 1  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v 
./\  w ) )  =  ( ( u 
.\/  v )  ./\  ( u  .\/  w ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   joincjn 15700   meetcmee 15701   Latclat 15802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ple 14732  df-preset 15684  df-poset 15702  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-lat 15803  df-odu 15886
This theorem is referenced by:  latdisd  15947
  Copyright terms: Public domain W3C validator