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Theorem latdisdlem 15351
Description: Lemma for latdisd 15352. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
latdisd.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latdisd.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
latdisd.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latdisdlem  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v 
./\  w ) )  =  ( ( u 
.\/  v )  ./\  ( u  .\/  w ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, w, x, y, z, K   
u, B, v, w, x, y, z    u,  .\/ , v, w, x, y, z    u,  ./\ , v, w, x, y, z

Proof of Theorem latdisdlem
StepHypRef Expression
1 latdisd.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latdisd.m . . . . . . . . 9  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 15214 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  ./\  y
)  e.  B )
433adant3r3 1198 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  ./\  y )  e.  B )
5 simpr1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  x  e.  B )
6 simpr3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  z  e.  B )
7 oveq1 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( x  ./\  y )  ->  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  (
v  ./\  w )
) )
8 oveq1 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( x  ./\  y )  ->  (
u  .\/  v )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  v ) )
9 oveq1 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( x  ./\  y )  ->  (
u  .\/  w )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  w ) )
108, 9oveq12d 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( x  ./\  y )  ->  (
( u  .\/  v
)  ./\  ( u  .\/  w ) )  =  ( ( ( x 
./\  y )  .\/  v )  ./\  (
( x  ./\  y
)  .\/  w )
) )
117, 10eqeq12d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( x  ./\  y )  ->  (
( u  .\/  (
v  ./\  w )
)  =  ( ( u  .\/  v ) 
./\  ( u  .\/  w ) )  <->  ( (
x  ./\  y )  .\/  ( v  ./\  w
) )  =  ( ( ( x  ./\  y )  .\/  v
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  w ) ) ) )
12 oveq1 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  x  ->  (
v  ./\  w )  =  ( x  ./\  w ) )
1312oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  (
x  ./\  w )
) )
14 oveq2 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  x  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  v )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  x ) )
1514oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  v
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  w ) )  =  ( ( ( x 
./\  y )  .\/  x )  ./\  (
( x  ./\  y
)  .\/  w )
) )
1613, 15eqeq12d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  x  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  (
v  ./\  w )
)  =  ( ( ( x  ./\  y
)  .\/  v )  ./\  ( ( x  ./\  y )  .\/  w
) )  <->  ( (
x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  w
) )  =  ( ( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  w ) ) ) )
17 oveq2 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
x  ./\  w )  =  ( x  ./\  z ) )
1817oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  w ) )  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  (
x  ./\  z )
) )
19 oveq2 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  w )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  z ) )
2019oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  w ) )  =  ( ( ( x 
./\  y )  .\/  x )  ./\  (
( x  ./\  y
)  .\/  z )
) )
2118, 20eqeq12d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  (
x  ./\  w )
)  =  ( ( ( x  ./\  y
)  .\/  x )  ./\  ( ( x  ./\  y )  .\/  w
) )  <->  ( (
x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  z
) )  =  ( ( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  z ) ) ) )
2211, 16, 21rspc3v 3077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  ./\  y
)  e.  B  /\  x  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v  ./\  w
) )  =  ( ( u  .\/  v
)  ./\  ( u  .\/  w ) )  -> 
( ( x  ./\  y )  .\/  (
x  ./\  z )
)  =  ( ( ( x  ./\  y
)  .\/  x )  ./\  ( ( x  ./\  y )  .\/  z
) ) ) )
234, 5, 6, 22syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v 
./\  w ) )  =  ( ( u 
.\/  v )  ./\  ( u  .\/  w ) )  ->  ( (
x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  z
) )  =  ( ( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  z ) ) ) )
2423imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) )  =  ( ( ( x 
./\  y )  .\/  x )  ./\  (
( x  ./\  y
)  .\/  z )
) )
25 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
26 latdisd.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
271, 26latjcom 15221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  ./\  y )  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  x )  =  ( x  .\/  ( x  ./\  y ) ) )
2825, 4, 5, 27syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  x )  =  ( x  .\/  ( x  ./\  y ) ) )
291, 26, 2latabs1 15249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .\/  (
x  ./\  y )
)  =  x )
30293adant3r3 1198 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  .\/  ( x  ./\  y ) )  =  x )
3128, 30eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  x )  =  x )
321, 26latjcom 15221 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  ./\  y )  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  z )  =  ( z  .\/  ( x  ./\  y ) ) )
3325, 4, 6, 32syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  z )  =  ( z  .\/  ( x  ./\  y ) ) )
3431, 33oveq12d 6104 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  z ) )  =  ( x  ./\  (
z  .\/  ( x  ./\  y ) ) ) )
3534adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  z ) )  =  ( x  ./\  (
z  .\/  ( x  ./\  y ) ) ) )
36 simpr2 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  y  e.  B )
37 oveq1 6093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( z  .\/  (
v  ./\  w )
) )
38 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
u  .\/  v )  =  ( z  .\/  v ) )
39 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
u  .\/  w )  =  ( z  .\/  w ) )
4038, 39oveq12d 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  .\/  v
)  ./\  ( u  .\/  w ) )  =  ( ( z  .\/  v )  ./\  (
z  .\/  w )
) )
4137, 40eqeq12d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  .\/  (
v  ./\  w )
)  =  ( ( u  .\/  v ) 
./\  ( u  .\/  w ) )  <->  ( z  .\/  ( v  ./\  w
) )  =  ( ( z  .\/  v
)  ./\  ( z  .\/  w ) ) ) )
4212oveq2d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  x  ->  (
z  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( z  .\/  (
x  ./\  w )
) )
43 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  x  ->  (
z  .\/  v )  =  ( z  .\/  x ) )
4443oveq1d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  x  ->  (
( z  .\/  v
)  ./\  ( z  .\/  w ) )  =  ( ( z  .\/  x )  ./\  (
z  .\/  w )
) )
4542, 44eqeq12d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  x  ->  (
( z  .\/  (
v  ./\  w )
)  =  ( ( z  .\/  v ) 
./\  ( z  .\/  w ) )  <->  ( z  .\/  ( x  ./\  w
) )  =  ( ( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  w ) ) ) )
46 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
x  ./\  w )  =  ( x  ./\  y ) )
4746oveq2d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
z  .\/  ( x  ./\  w ) )  =  ( z  .\/  (
x  ./\  y )
) )
48 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
z  .\/  w )  =  ( z  .\/  y ) )
4948oveq2d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  w ) )  =  ( ( z  .\/  x )  ./\  (
z  .\/  y )
) )
5047, 49eqeq12d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  .\/  (
x  ./\  w )
)  =  ( ( z  .\/  x ) 
./\  ( z  .\/  w ) )  <->  ( z  .\/  ( x  ./\  y
) )  =  ( ( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  y ) ) ) )
5141, 45, 50rspc3v 3077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v  ./\  w
) )  =  ( ( u  .\/  v
)  ./\  ( u  .\/  w ) )  -> 
( z  .\/  (
x  ./\  y )
)  =  ( ( z  .\/  x ) 
./\  ( z  .\/  y ) ) ) )
526, 5, 36, 51syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v 
./\  w ) )  =  ( ( u 
.\/  v )  ./\  ( u  .\/  w ) )  ->  ( z  .\/  ( x  ./\  y
) )  =  ( ( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  y ) ) ) )
5352imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
z  .\/  ( x  ./\  y ) )  =  ( ( z  .\/  x )  ./\  (
z  .\/  y )
) )
5453oveq2d 6102 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
x  ./\  ( z  .\/  ( x  ./\  y
) ) )  =  ( x  ./\  (
( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  y ) ) ) )
551, 26latjcl 15213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( z  .\/  x
)  e.  B )
5625, 6, 5, 55syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
z  .\/  x )  e.  B )
571, 26latjcl 15213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  .\/  y
)  e.  B )
5825, 6, 36, 57syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
z  .\/  y )  e.  B )
591, 2latmass 15350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  ( z  .\/  x
)  e.  B  /\  ( z  .\/  y
)  e.  B ) )  ->  ( (
x  ./\  ( z  .\/  x ) )  ./\  ( z  .\/  y
) )  =  ( x  ./\  ( (
z  .\/  x )  ./\  ( z  .\/  y
) ) ) )
6025, 5, 56, 58, 59syl13anc 1220 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  ./\  (
z  .\/  x )
)  ./\  ( z  .\/  y ) )  =  ( x  ./\  (
( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  y ) ) ) )
611, 26latjcom 15221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( z  .\/  x
)  =  ( x 
.\/  z ) )
6225, 6, 5, 61syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
z  .\/  x )  =  ( x  .\/  z ) )
6362oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  ./\  ( z  .\/  x ) )  =  ( x  ./\  (
x  .\/  z )
) )
641, 26, 2latabs2 15250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( x  ./\  (
x  .\/  z )
)  =  x )
6525, 5, 6, 64syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  ./\  ( x  .\/  z ) )  =  x )
6663, 65eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  ./\  ( z  .\/  x ) )  =  x )
671, 26latjcom 15221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  .\/  y
)  =  ( y 
.\/  z ) )
6825, 6, 36, 67syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
z  .\/  y )  =  ( y  .\/  z ) )
6966, 68oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  ./\  (
z  .\/  x )
)  ./\  ( z  .\/  y ) )  =  ( x  ./\  (
y  .\/  z )
) )
7060, 69eqtr3d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  ./\  ( (
z  .\/  x )  ./\  ( z  .\/  y
) ) )  =  ( x  ./\  (
y  .\/  z )
) )
7170adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
x  ./\  ( (
z  .\/  x )  ./\  ( z  .\/  y
) ) )  =  ( x  ./\  (
y  .\/  z )
) )
7254, 71eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
x  ./\  ( z  .\/  ( x  ./\  y
) ) )  =  ( x  ./\  (
y  .\/  z )
) )
7324, 35, 723eqtrrd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
x  ./\  ( y  .\/  z ) )  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  (
x  ./\  z )
) )
7473an32s 802 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\ 
A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v 
./\  w ) )  =  ( ( u 
.\/  v )  ./\  ( u  .\/  w ) ) )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) )
7574ralrimivvva 2804 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) )
7675ex 434 1  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v 
./\  w ) )  =  ( ( u 
.\/  v )  ./\  ( u  .\/  w ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   joincjn 15106   meetcmee 15107   Latclat 15207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ple 14250  df-poset 15108  df-lub 15136  df-glb 15137  df-join 15138  df-meet 15139  df-lat 15208  df-odu 15291
This theorem is referenced by:  latdisd  15352
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