Theorem latdir 14643

Description: A lattice is a direction.

Assertion

Ref	Expression
latdir	|- Lat C_ Dir

Proof of Theorem latdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posispre 14582	. . . . 5 |- (p e. Poset -> p e. Preset )
2	1	adantr 425	. . . 4 |- ((p e. Poset /\ A.x e. dom pA.y e. dom p((p supw {x, y}) e. dom p /\ (p infw {x, y}) e. dom p)) -> p e. Preset )
3		zfpair 3522	. . . . . . . . . . . . 13 |- {x, y} e. _V
4		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom p = dom p
5	4	supaub 14615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((p e. Poset /\ {x, y} e. _V /\ (p supw {x, y}) e. dom p) -> (p supw {x, y}) e. (p ub {x, y}))
6	5	3exp 1066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (p e. Poset -> ({x, y} e. _V -> ((p supw {x, y}) e. dom p -> (p supw {x, y}) e. (p ub {x, y}))))
7	6	com3l 38	. . . . . . . . . . . . 13 |- ({x, y} e. _V -> ((p supw {x, y}) e. dom p -> (p e. Poset -> (p supw {x, y}) e. (p ub {x, y}))))
8	3, 7	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- ((p supw {x, y}) e. dom p -> (p e. Poset -> (p supw {x, y}) e. (p ub {x, y})))
9		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = (p supw {x, y}) -> (z e. (p ub {x, y}) <-> (p supw {x, y}) e. (p ub {x, y})))
10	9	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((p supw {x, y}) e. dom p /\ (p supw {x, y}) e. (p ub {x, y})) -> E.z e. dom p z e. (p ub {x, y}))
11	10	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ((p supw {x, y}) e. dom p -> ((p supw {x, y}) e. (p ub {x, y}) -> E.z e. dom p z e. (p ub {x, y})))
12	8, 11	syld 30	. . . . . . . . . . 11 |- ((p supw {x, y}) e. dom p -> (p e. Poset -> E.z e. dom p z e. (p ub {x, y})))
13	12	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((p supw {x, y}) e. dom p /\ (p infw {x, y}) e. dom p) -> (p e. Poset -> E.z e. dom p z e. (p ub {x, y})))
14	13	com12 14	. . . . . . . . 9 |- (p e. Poset -> (((p supw {x, y}) e. dom p /\ (p infw {x, y}) e. dom p) -> E.z e. dom p z e. (p ub {x, y})))
15	14	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((p e. Poset /\ y e. dom p) -> (((p supw {x, y}) e. dom p /\ (p infw {x, y}) e. dom p) -> E.z e. dom p z e. (p ub {x, y})))
16	15	ralimdvaa 2171	. . . . . . 7 |- (p e. Poset -> (A.y e. dom p((p supw {x, y}) e. dom p /\ (p infw {x, y}) e. dom p) -> A.y e. dom pE.z e. dom p z e. (p ub {x, y})))
17	16	adantr 425	. . . . . 6 |- ((p e. Poset /\ x e. dom p) -> (A.y e. dom p((p supw {x, y}) e. dom p /\ (p infw {x, y}) e. dom p) -> A.y e. dom pE.z e. dom p z e. (p ub {x, y})))
18	17	ralimdvaa 2171	. . . . 5 |- (p e. Poset -> (A.x e. dom pA.y e. dom p((p supw {x, y}) e. dom p /\ (p infw {x, y}) e. dom p) -> A.x e. dom pA.y e. dom pE.z e. dom p z e. (p ub {x, y})))
19	18	imp 377	. . . 4 |- ((p e. Poset /\ A.x e. dom pA.y e. dom p((p supw {x, y}) e. dom p /\ (p infw {x, y}) e. dom p)) -> A.x e. dom pA.y e. dom pE.z e. dom p z e. (p ub {x, y}))
20	2, 19	jca 310	. . 3 |- ((p e. Poset /\ A.x e. dom pA.y e. dom p((p supw {x, y}) e. dom p /\ (p infw {x, y}) e. dom p)) -> (p e. Preset /\ A.x e. dom pA.y e. dom pE.z e. dom p z e. (p ub {x, y})))
21	4	isla 10010	. . 3 |- (p e. Lat <-> (p e. Poset /\ A.x e. dom pA.y e. dom p((p supw {x, y}) e. dom p /\ (p infw {x, y}) e. dom p)))
22	4	isdir2 14640	. . 3 |- (p e. Dir <-> (p e. Preset /\ A.x e. dom pA.y e. dom pE.z e. dom p z e. (p ub {x, y})))
23	20, 21, 22	3imtr4i 236	. 2 |- (p e. Lat -> p e. Dir)
24	23	ssriv 2621	1 |- Lat C_ Dir

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  {cpr 3045  dom cdm 3986  (class class class)co 4884  Posetcps 9980   sup_w cspw 9981   inf_w cinf 9982  Latcla 9983  Dircdir 10348   Preset cpreset 14555   ub cub 14558

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ps 9984  df-spw 9985  df-la 9987  df-dir 10350  df-prs 14563  df-ub 14596

Copyright terms: Public domain