Theorem latasymd 16859

Description: Deduce equality from lattice ordering. (Th. eqssd 2633 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
latasymd.b	|- B = (base` K)
latasymd.l	|- L = (le` K)
latasymd.3	|- (ph -> K e. LatNEW)
latasymd.4	|- (ph -> X e. B)
latasymd.5	|- (ph -> Y e. B)
latasymd.6	|- (ph -> XLY)
latasymd.7	|- (ph -> YLX)

Assertion

Ref	Expression
latasymd	|- (ph -> X = Y)

Proof of Theorem latasymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latasymd.3	. . 3 |- (ph -> K e. LatNEW)
2		latasymd.4	. . 3 |- (ph -> X e. B)
3		latasymd.5	. . 3 |- (ph -> Y e. B)
4		latasymd.b	. . . 4 |- B = (base` K)
5		latasymd.l	. . . 4 |- L = (le` K)
6	4, 5	latasymb 16856	. . 3 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XLY /\ YLX) <-> X = Y))
7	1, 2, 3, 6	syl111anc 1100	. 2 |- (ph -> ((XLY /\ YLX) <-> X = Y))
8		latasymd.6	. 2 |- (ph -> XLY)
9		latasymd.7	. 2 |- (ph -> YLX)
10	7, 8, 9	mpbi2and 801	1 |- (ph -> X = Y)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  lecple 16759  LatNEWclat 16834

This theorem is referenced by:  latjidm 16869  latmidm 16881  olj01 16944  olm0 16958  cvr1 17054

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-struct 16708  df-poset 16772  df-lat 16847

Copyright terms: Public domain