MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latabs2 Structured version   Unicode version

Theorem latabs2 16289
Description: Lattice absorption law. From definition of lattice in [Kalmbach] p. 14. (chabs2 27013 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latabs1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latabs1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
latabs1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latabs2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( X  .\/  Y ) )  =  X )

Proof of Theorem latabs2
StepHypRef Expression
1 latabs1.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2429 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 latabs1.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
41, 2, 3latlej1 16261 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
51, 3latjcl 16252 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
6 latabs1.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
71, 2, 6latleeqm1 16280 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( X ( le
`  K ) ( X  .\/  Y )  <-> 
( X  ./\  ( X  .\/  Y ) )  =  X ) )
85, 7syld3an3 1309 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( le
`  K ) ( X  .\/  Y )  <-> 
( X  ./\  ( X  .\/  Y ) )  =  X ) )
94, 8mpbid 213 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( X  .\/  Y ) )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   lecple 15160   joincjn 16144   meetcmee 16145   Latclat 16246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-preset 16128  df-poset 16146  df-lub 16175  df-glb 16176  df-join 16177  df-meet 16178  df-lat 16247
This theorem is referenced by:  latdisdlem  16390  cmtbr3N  32540  cdlemc6  33482  cdlemkid1  34209  cdlemkid2  34211
  Copyright terms: Public domain W3C validator