MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lagsubg Structured version   Unicode version

Theorem lagsubg 16051
Description: Lagrange theorem for Groups: the order of any subgroup of a finite group is a divisor of the order of the group. This is Metamath 100 proof #71. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lagsubg.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
lagsubg  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  ||  ( # `  X ) )

Proof of Theorem lagsubg
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  X  e.  Fin )
2 pwfi 7804 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Fin  <->  ~P X  e.  Fin )
31, 2sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ~P X  e.  Fin )
4 lagsubg.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( G ~QG  Y )  =  ( G ~QG  Y )
64, 5eqger 16039 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( G ~QG  Y
)  Er  X )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( G ~QG  Y )  Er  X
)
87qsss 7362 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  C_  ~P X
)
9 ssfi 7730 . . . . . 6  |-  ( ( ~P X  e.  Fin  /\  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  C_  ~P X )  ->  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  e.  Fin )
103, 8, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  e.  Fin )
11 hashcl 12383 . . . . 5  |-  ( ( X /. ( G ~QG  Y ) )  e.  Fin  ->  ( # `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  e.  NN0 )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  e.  NN0 )
1312nn0zd 10953 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  e.  ZZ )
14 id 22 . . . . . 6  |-  ( X  e.  Fin  ->  X  e.  Fin )
154subgss 15990 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
16 ssfi 7730 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  Fin )
1714, 15, 16syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  Y  e.  Fin )
18 hashcl 12383 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Fin  ->  ( # `
 Y )  e. 
NN0 )
1917, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  e. 
NN0 )
2019nn0zd 10953 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  e.  ZZ )
21 dvdsmul2 13856 . . 3  |-  ( ( ( # `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  Y
)  e.  ZZ )  ->  ( # `  Y
)  ||  ( ( # `
 ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  x.  ( # `  Y
) ) )
2213, 20, 21syl2anc 661 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  ||  ( ( # `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  x.  ( # `
 Y ) ) )
23 simpl 457 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G )
)
244, 5, 23, 1lagsubg2 16050 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 X )  =  ( ( # `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  x.  ( # `
 Y ) ) )
2522, 24breqtrrd 4466 1  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  ||  ( # `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    Er wer 7298   /.cqs 7300   Fincfn 7506    x. cmul 9486   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   #chash 12360    || cdivides 13836   Basecbs 14479  SubGrpcsubg 15983   ~QG cqg 15985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-dvds 13837  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-subg 15986  df-eqg 15988
This theorem is referenced by:  oddvds2  16377  fislw  16434  sylow3lem4  16439  ablfacrp2  16901  ablfac1c  16905  ablfac1eu  16907
  Copyright terms: Public domain W3C validator