MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lagsubg Unicode version

Theorem lagsubg 14957
Description: Lagrange theorem for Groups: the order of any subgroup of a finite group is a divisor of the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lagsubg.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
lagsubg  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  ||  ( # `  X ) )

Proof of Theorem lagsubg
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  X  e.  Fin )
2 pwfi 7360 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Fin  <->  ~P X  e.  Fin )
31, 2sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ~P X  e.  Fin )
4 lagsubg.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( G ~QG  Y )  =  ( G ~QG  Y )
64, 5eqger 14945 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( G ~QG  Y
)  Er  X )
76adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( G ~QG  Y )  Er  X
)
87qsss 6924 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  C_  ~P X
)
9 ssfi 7288 . . . . . 6  |-  ( ( ~P X  e.  Fin  /\  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  C_  ~P X )  ->  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  e.  Fin )
103, 8, 9syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  e.  Fin )
11 hashcl 11594 . . . . 5  |-  ( ( X /. ( G ~QG  Y ) )  e.  Fin  ->  ( # `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  e.  NN0 )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  e.  NN0 )
1312nn0zd 10329 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  e.  ZZ )
14 id 20 . . . . . 6  |-  ( X  e.  Fin  ->  X  e.  Fin )
154subgss 14900 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
16 ssfi 7288 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  Fin )
1714, 15, 16syl2anr 465 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  Y  e.  Fin )
18 hashcl 11594 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Fin  ->  ( # `
 Y )  e. 
NN0 )
1917, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  e. 
NN0 )
2019nn0zd 10329 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  e.  ZZ )
21 dvdsmul2 12827 . . 3  |-  ( ( ( # `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  Y
)  e.  ZZ )  ->  ( # `  Y
)  ||  ( ( # `
 ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  x.  ( # `  Y
) ) )
2213, 20, 21syl2anc 643 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  ||  ( ( # `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  x.  ( # `
 Y ) ) )
23 simpl 444 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G )
)
244, 5, 23, 1lagsubg2 14956 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 X )  =  ( ( # `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  x.  ( # `
 Y ) ) )
2522, 24breqtrrd 4198 1  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  ||  ( # `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    Er wer 6861   /.cqs 6863   Fincfn 7068    x. cmul 8951   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   #chash 11573    || cdivides 12807   Basecbs 13424  SubGrpcsubg 14893   ~QG cqg 14895
This theorem is referenced by:  oddvds2  15157  fislw  15214  sylow3lem4  15219  ablfacrp2  15580  ablfac1c  15584  ablfac1eu  15586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-dvds 12808  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-subg 14896  df-eqg 14898
  Copyright terms: Public domain W3C validator