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Theorem lactghmga 16013
Description: The converse of galactghm 16012. The uncurrying of a homomorphism into  ( SymGrp `  Y
) is a group action. Thus, group actions and group homomorphisms into a symmetric group are essentially equivalent notions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lactghmga.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
lactghmga.h  |-  H  =  ( SymGrp `  Y )
lactghmga.f  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( ( F `  x
) `  y )
)
Assertion
Ref Expression
lactghmga  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y    x, H, y    x, X, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    .(+) ( x, y)

Proof of Theorem lactghmga
Dummy variables  v  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmgrp1 15853 . . 3  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  G  e.  Grp )
2 ghmgrp2 15854 . . . 4  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  H  e.  Grp )
3 grpn0 15674 . . . 4  |-  ( H  e.  Grp  ->  H  =/=  (/) )
4 lactghmga.h . . . . . 6  |-  H  =  ( SymGrp `  Y )
5 fvprc 5785 . . . . . 6  |-  ( -.  Y  e.  _V  ->  (
SymGrp `  Y )  =  (/) )
64, 5syl5eq 2504 . . . . 5  |-  ( -.  Y  e.  _V  ->  H  =  (/) )
76necon1ai 2679 . . . 4  |-  ( H  =/=  (/)  ->  Y  e.  _V )
82, 3, 73syl 20 . . 3  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  Y  e.  _V )
91, 8jca 532 . 2  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  ( G  e.  Grp  /\  Y  e. 
_V ) )
10 lactghmga.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  G
)
11 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
1210, 11ghmf 15855 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  F : X
--> ( Base `  H
) )
1312ffvelrnda 5944 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  H
) )
148adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  Y  e.  _V )
154, 11elsymgbas 15991 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
( F `  x
)  e.  ( Base `  H )  <->  ( F `  x ) : Y -1-1-onto-> Y
) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( Base `  H )  <->  ( F `  x ) : Y -1-1-onto-> Y
) )
1713, 16mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x ) : Y -1-1-onto-> Y )
18 f1of 5741 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x ) : Y -1-1-onto-> Y  ->  ( F `  x ) : Y --> Y )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x ) : Y --> Y )
2019ffvelrnda 5944 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y
)  ->  ( ( F `  x ) `  y )  e.  Y
)
2120ralrimiva 2822 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  ( ( F `  x ) `  y )  e.  Y
)
2221ralrimiva 2822 . . . 4  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( F `  x ) `  y )  e.  Y
)
23 lactghmga.f . . . . 5  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( ( F `  x
) `  y )
)
2423fmpt2 6743 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( F `  x
) `  y )  e.  Y  <->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
2522, 24sylib 196 . . 3  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
26 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
2710, 26grpidcl 15670 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
281, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  ( 0g `  G )  e.  X
)
29 fveq2 5791 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( 0g `  G ) ) )
3029fveq1d 5793 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
( F `  x
) `  y )  =  ( ( F `
 ( 0g `  G ) ) `  y ) )
31 fveq2 5791 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  ( 0g `  G ) ) `
 y )  =  ( ( F `  ( 0g `  G ) ) `  z ) )
32 fvex 5801 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( 0g
`  G ) ) `
 z )  e. 
_V
3330, 31, 23, 32ovmpt2 6328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( 0g `  G )  .(+)  z )  =  ( ( F `
 ( 0g `  G ) ) `  z ) )
3428, 33sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  ( ( F `  ( 0g `  G ) ) `  z ) )
35 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
3626, 35ghmid 15857 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  ( F `  ( 0g `  G
) )  =  ( 0g `  H ) )
3736adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  ( F `  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  H
) )
388adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  Y  e.  _V )
394symgid 16010 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  _V  ->  (  _I  |`  Y )  =  ( 0g `  H
) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (  _I  |`  Y )  =  ( 0g `  H
) )
4137, 40eqtr4d 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  ( F `  ( 0g `  G ) )  =  (  _I  |`  Y ) )
4241fveq1d 5793 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( F `  ( 0g `  G ) ) `
 z )  =  ( (  _I  |`  Y ) `
 z ) )
43 fvresi 6005 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Y  ->  (
(  _I  |`  Y ) `
 z )  =  z )
4443adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (
(  _I  |`  Y ) `
 z )  =  z )
4534, 42, 443eqtrd 2496 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  z )
4612ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  F : X --> ( Base `  H
) )
47 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  v  e.  X )
4846, 47ffvelrnd 5945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  v )  e.  ( Base `  H
) )
498ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  Y  e.  _V )
504, 11elsymgbas 15991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
( F `  v
)  e.  ( Base `  H )  <->  ( F `  v ) : Y -1-1-onto-> Y
) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( F `  v
)  e.  ( Base `  H )  <->  ( F `  v ) : Y -1-1-onto-> Y
) )
5248, 51mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  v ) : Y -1-1-onto-> Y )
53 f1of 5741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  v ) : Y -1-1-onto-> Y  ->  ( F `  v ) : Y --> Y )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  v ) : Y --> Y )
55 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  z  e.  Y )
56 fvco3 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  v
) : Y --> Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( ( F `
 u )  o.  ( F `  v
) ) `  z
)  =  ( ( F `  u ) `
 ( ( F `
 v ) `  z ) ) )
5754, 55, 56syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( ( F `  u )  o.  ( F `  v )
) `  z )  =  ( ( F `
 u ) `  ( ( F `  v ) `  z
) ) )
58 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
59 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  u  e.  X )
60 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
61 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
6210, 60, 61ghmlin 15856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  ( F `  ( u
( +g  `  G ) v ) )  =  ( ( F `  u ) ( +g  `  H ) ( F `
 v ) ) )
6358, 59, 47, 62syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  ( u
( +g  `  G ) v ) )  =  ( ( F `  u ) ( +g  `  H ) ( F `
 v ) ) )
6446, 59ffvelrnd 5945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  u )  e.  ( Base `  H
) )
654, 11, 61symgov 15999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  u
)  e.  ( Base `  H )  /\  ( F `  v )  e.  ( Base `  H
) )  ->  (
( F `  u
) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  =  ( ( F `  u )  o.  ( F `  v )
) )
6664, 48, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( F `  u
) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  =  ( ( F `  u )  o.  ( F `  v )
) )
6763, 66eqtrd 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  ( u
( +g  `  G ) v ) )  =  ( ( F `  u )  o.  ( F `  v )
) )
6867fveq1d 5793 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
u ( +g  `  G
) v ) ) `
 z )  =  ( ( ( F `
 u )  o.  ( F `  v
) ) `  z
) )
6954, 55ffvelrnd 5945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( F `  v
) `  z )  e.  Y )
70 fveq2 5791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  ( F `  x )  =  ( F `  u ) )
7170fveq1d 5793 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
( F `  x
) `  y )  =  ( ( F `
 u ) `  y ) )
72 fveq2 5791 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( F `
 v ) `  z )  ->  (
( F `  u
) `  y )  =  ( ( F `
 u ) `  ( ( F `  v ) `  z
) ) )
73 fvex 5801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  u ) `
 ( ( F `
 v ) `  z ) )  e. 
_V
7471, 72, 23, 73ovmpt2 6328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  X  /\  ( ( F `  v ) `  z
)  e.  Y )  ->  ( u  .(+)  ( ( F `  v
) `  z )
)  =  ( ( F `  u ) `
 ( ( F `
 v ) `  z ) ) )
7559, 69, 74syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
u  .(+)  ( ( F `
 v ) `  z ) )  =  ( ( F `  u ) `  (
( F `  v
) `  z )
) )
7657, 68, 753eqtr4d 2502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
u ( +g  `  G
) v ) ) `
 z )  =  ( u  .(+)  ( ( F `  v ) `
 z ) ) )
771ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  G  e.  Grp )
7810, 60grpcl 15655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  ( u ( +g  `  G ) v )  e.  X )
7977, 59, 47, 78syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
u ( +g  `  G
) v )  e.  X )
80 fveq2 5791 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( u ( +g  `  G ) v )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( u ( +g  `  G ) v ) ) )
8180fveq1d 5793 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u ( +g  `  G ) v )  ->  (
( F `  x
) `  y )  =  ( ( F `
 ( u ( +g  `  G ) v ) ) `  y ) )
82 fveq2 5791 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  (
u ( +g  `  G
) v ) ) `
 y )  =  ( ( F `  ( u ( +g  `  G ) v ) ) `  z ) )
83 fvex 5801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  ( u ( +g  `  G
) v ) ) `
 z )  e. 
_V
8481, 82, 23, 83ovmpt2 6328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u ( +g  `  G ) v )  e.  X  /\  z  e.  Y )  ->  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( ( F `  ( u ( +g  `  G ) v ) ) `  z ) )
8579, 55, 84syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( ( F `  ( u ( +g  `  G ) v ) ) `  z ) )
86 fveq2 5791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  v  ->  ( F `  x )  =  ( F `  v ) )
8786fveq1d 5793 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  (
( F `  x
) `  y )  =  ( ( F `
 v ) `  y ) )
88 fveq2 5791 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  v
) `  y )  =  ( ( F `
 v ) `  z ) )
89 fvex 5801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  v ) `
 z )  e. 
_V
9087, 88, 23, 89ovmpt2 6328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  X  /\  z  e.  Y )  ->  ( v  .(+)  z )  =  ( ( F `
 v ) `  z ) )
9147, 55, 90syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
v  .(+)  z )  =  ( ( F `  v ) `  z
) )
9291oveq2d 6208 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
u  .(+)  ( v  .(+)  z ) )  =  ( u  .(+)  ( ( F `  v ) `  z ) ) )
9376, 85, 923eqtr4d 2502 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( u  .(+)  ( v 
.(+)  z ) ) )
9493ralrimivva 2906 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( (
u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z )  =  ( u 
.(+)  ( v  .(+)  z ) ) )
9545, 94jca 532 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( ( 0g `  G )  .(+)  z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( u  .(+)  ( v 
.(+)  z ) ) ) )
9695ralrimiva 2822 . . 3  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  A. z  e.  Y  ( (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( (
u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z )  =  ( u 
.(+)  ( v  .(+)  z ) ) ) )
9725, 96jca 532 . 2  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  (  .(+)  : ( X  X.  Y
) --> Y  /\  A. z  e.  Y  (
( ( 0g `  G )  .(+)  z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( u  .(+)  ( v 
.(+)  z ) ) ) ) )
9810, 60, 26isga 15913 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <-> 
( ( G  e. 
Grp  /\  Y  e.  _V )  /\  (  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A. z  e.  Y  ( ( ( 0g `  G )  .(+)  z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( u  .(+)  ( v 
.(+)  z ) ) ) ) ) )
999, 97, 98sylanbrc 664 1  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   _Vcvv 3070   (/)c0 3737    _I cid 4731    X. cxp 4938    |` cres 4942    o. ccom 4944   -->wf 5514   -1-1-onto->wf1o 5517   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    |-> cmpt2 6194   Basecbs 14278   +g cplusg 14342   0gc0g 14482   Grpcgrp 15514    GrpHom cghm 15848    GrpAct cga 15911   SymGrpcsymg 15986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-plusg 14355  df-tset 14361  df-0g 14484  df-mnd 15519  df-grp 15649  df-ghm 15849  df-ga 15912  df-symg 15987
This theorem is referenced by:  symgga  16015
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