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Theorem lactghmga 16224
Description: The converse of galactghm 16223. The uncurrying of a homomorphism into  ( SymGrp `  Y
) is a group action. Thus, group actions and group homomorphisms into a symmetric group are essentially equivalent notions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lactghmga.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
lactghmga.h  |-  H  =  ( SymGrp `  Y )
lactghmga.f  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( ( F `  x
) `  y )
)
Assertion
Ref Expression
lactghmga  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y    x, H, y    x, X, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    .(+) ( x, y)

Proof of Theorem lactghmga
Dummy variables  v  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmgrp1 16064 . . 3  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  G  e.  Grp )
2 ghmgrp2 16065 . . . 4  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  H  e.  Grp )
3 grpn0 15883 . . . 4  |-  ( H  e.  Grp  ->  H  =/=  (/) )
4 lactghmga.h . . . . . 6  |-  H  =  ( SymGrp `  Y )
5 fvprc 5858 . . . . . 6  |-  ( -.  Y  e.  _V  ->  (
SymGrp `  Y )  =  (/) )
64, 5syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( -.  Y  e.  _V  ->  H  =  (/) )
76necon1ai 2698 . . . 4  |-  ( H  =/=  (/)  ->  Y  e.  _V )
82, 3, 73syl 20 . . 3  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  Y  e.  _V )
91, 8jca 532 . 2  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  ( G  e.  Grp  /\  Y  e. 
_V ) )
10 lactghmga.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  G
)
11 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
1210, 11ghmf 16066 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  F : X
--> ( Base `  H
) )
1312ffvelrnda 6019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  H
) )
148adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  Y  e.  _V )
154, 11elsymgbas 16202 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
( F `  x
)  e.  ( Base `  H )  <->  ( F `  x ) : Y -1-1-onto-> Y
) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( Base `  H )  <->  ( F `  x ) : Y -1-1-onto-> Y
) )
1713, 16mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x ) : Y -1-1-onto-> Y )
18 f1of 5814 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x ) : Y -1-1-onto-> Y  ->  ( F `  x ) : Y --> Y )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x ) : Y --> Y )
2019ffvelrnda 6019 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y
)  ->  ( ( F `  x ) `  y )  e.  Y
)
2120ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  ( ( F `  x ) `  y )  e.  Y
)
2221ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( F `  x ) `  y )  e.  Y
)
23 lactghmga.f . . . . 5  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( ( F `  x
) `  y )
)
2423fmpt2 6848 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( F `  x
) `  y )  e.  Y  <->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
2522, 24sylib 196 . . 3  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
26 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
2710, 26grpidcl 15879 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
281, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  ( 0g `  G )  e.  X
)
29 fveq2 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( 0g `  G ) ) )
3029fveq1d 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
( F `  x
) `  y )  =  ( ( F `
 ( 0g `  G ) ) `  y ) )
31 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  ( 0g `  G ) ) `
 y )  =  ( ( F `  ( 0g `  G ) ) `  z ) )
32 fvex 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( 0g
`  G ) ) `
 z )  e. 
_V
3330, 31, 23, 32ovmpt2 6420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( 0g `  G )  .(+)  z )  =  ( ( F `
 ( 0g `  G ) ) `  z ) )
3428, 33sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  ( ( F `  ( 0g `  G ) ) `  z ) )
35 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
3626, 35ghmid 16068 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  ( F `  ( 0g `  G
) )  =  ( 0g `  H ) )
3736adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  ( F `  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  H
) )
388adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  Y  e.  _V )
394symgid 16221 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  _V  ->  (  _I  |`  Y )  =  ( 0g `  H
) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (  _I  |`  Y )  =  ( 0g `  H
) )
4137, 40eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  ( F `  ( 0g `  G ) )  =  (  _I  |`  Y ) )
4241fveq1d 5866 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( F `  ( 0g `  G ) ) `
 z )  =  ( (  _I  |`  Y ) `
 z ) )
43 fvresi 6085 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Y  ->  (
(  _I  |`  Y ) `
 z )  =  z )
4443adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (
(  _I  |`  Y ) `
 z )  =  z )
4534, 42, 443eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  z )
4612ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  F : X --> ( Base `  H
) )
47 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  v  e.  X )
4846, 47ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  v )  e.  ( Base `  H
) )
498ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  Y  e.  _V )
504, 11elsymgbas 16202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
( F `  v
)  e.  ( Base `  H )  <->  ( F `  v ) : Y -1-1-onto-> Y
) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( F `  v
)  e.  ( Base `  H )  <->  ( F `  v ) : Y -1-1-onto-> Y
) )
5248, 51mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  v ) : Y -1-1-onto-> Y )
53 f1of 5814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  v ) : Y -1-1-onto-> Y  ->  ( F `  v ) : Y --> Y )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  v ) : Y --> Y )
55 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  z  e.  Y )
56 fvco3 5942 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  v
) : Y --> Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( ( F `
 u )  o.  ( F `  v
) ) `  z
)  =  ( ( F `  u ) `
 ( ( F `
 v ) `  z ) ) )
5754, 55, 56syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( ( F `  u )  o.  ( F `  v )
) `  z )  =  ( ( F `
 u ) `  ( ( F `  v ) `  z
) ) )
58 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
59 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  u  e.  X )
60 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
61 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
6210, 60, 61ghmlin 16067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  ( F `  ( u
( +g  `  G ) v ) )  =  ( ( F `  u ) ( +g  `  H ) ( F `
 v ) ) )
6358, 59, 47, 62syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  ( u
( +g  `  G ) v ) )  =  ( ( F `  u ) ( +g  `  H ) ( F `
 v ) ) )
6446, 59ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  u )  e.  ( Base `  H
) )
654, 11, 61symgov 16210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  u
)  e.  ( Base `  H )  /\  ( F `  v )  e.  ( Base `  H
) )  ->  (
( F `  u
) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  =  ( ( F `  u )  o.  ( F `  v )
) )
6664, 48, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( F `  u
) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  =  ( ( F `  u )  o.  ( F `  v )
) )
6763, 66eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  ( u
( +g  `  G ) v ) )  =  ( ( F `  u )  o.  ( F `  v )
) )
6867fveq1d 5866 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
u ( +g  `  G
) v ) ) `
 z )  =  ( ( ( F `
 u )  o.  ( F `  v
) ) `  z
) )
6954, 55ffvelrnd 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( F `  v
) `  z )  e.  Y )
70 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  ( F `  x )  =  ( F `  u ) )
7170fveq1d 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
( F `  x
) `  y )  =  ( ( F `
 u ) `  y ) )
72 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( F `
 v ) `  z )  ->  (
( F `  u
) `  y )  =  ( ( F `
 u ) `  ( ( F `  v ) `  z
) ) )
73 fvex 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  u ) `
 ( ( F `
 v ) `  z ) )  e. 
_V
7471, 72, 23, 73ovmpt2 6420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  X  /\  ( ( F `  v ) `  z
)  e.  Y )  ->  ( u  .(+)  ( ( F `  v
) `  z )
)  =  ( ( F `  u ) `
 ( ( F `
 v ) `  z ) ) )
7559, 69, 74syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
u  .(+)  ( ( F `
 v ) `  z ) )  =  ( ( F `  u ) `  (
( F `  v
) `  z )
) )
7657, 68, 753eqtr4d 2518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
u ( +g  `  G
) v ) ) `
 z )  =  ( u  .(+)  ( ( F `  v ) `
 z ) ) )
771ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  G  e.  Grp )
7810, 60grpcl 15864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  ( u ( +g  `  G ) v )  e.  X )
7977, 59, 47, 78syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
u ( +g  `  G
) v )  e.  X )
80 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( u ( +g  `  G ) v )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( u ( +g  `  G ) v ) ) )
8180fveq1d 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u ( +g  `  G ) v )  ->  (
( F `  x
) `  y )  =  ( ( F `
 ( u ( +g  `  G ) v ) ) `  y ) )
82 fveq2 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  (
u ( +g  `  G
) v ) ) `
 y )  =  ( ( F `  ( u ( +g  `  G ) v ) ) `  z ) )
83 fvex 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  ( u ( +g  `  G
) v ) ) `
 z )  e. 
_V
8481, 82, 23, 83ovmpt2 6420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u ( +g  `  G ) v )  e.  X  /\  z  e.  Y )  ->  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( ( F `  ( u ( +g  `  G ) v ) ) `  z ) )
8579, 55, 84syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( ( F `  ( u ( +g  `  G ) v ) ) `  z ) )
86 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  v  ->  ( F `  x )  =  ( F `  v ) )
8786fveq1d 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  (
( F `  x
) `  y )  =  ( ( F `
 v ) `  y ) )
88 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  v
) `  y )  =  ( ( F `
 v ) `  z ) )
89 fvex 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  v ) `
 z )  e. 
_V
9087, 88, 23, 89ovmpt2 6420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  X  /\  z  e.  Y )  ->  ( v  .(+)  z )  =  ( ( F `
 v ) `  z ) )
9147, 55, 90syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
v  .(+)  z )  =  ( ( F `  v ) `  z
) )
9291oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
u  .(+)  ( v  .(+)  z ) )  =  ( u  .(+)  ( ( F `  v ) `  z ) ) )
9376, 85, 923eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( u  .(+)  ( v 
.(+)  z ) ) )
9493ralrimivva 2885 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( (
u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z )  =  ( u 
.(+)  ( v  .(+)  z ) ) )
9545, 94jca 532 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( ( 0g `  G )  .(+)  z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( u  .(+)  ( v 
.(+)  z ) ) ) )
9695ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  A. z  e.  Y  ( (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( (
u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z )  =  ( u 
.(+)  ( v  .(+)  z ) ) ) )
9725, 96jca 532 . 2  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  (  .(+)  : ( X  X.  Y
) --> Y  /\  A. z  e.  Y  (
( ( 0g `  G )  .(+)  z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( u  .(+)  ( v 
.(+)  z ) ) ) ) )
9810, 60, 26isga 16124 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <-> 
( ( G  e. 
Grp  /\  Y  e.  _V )  /\  (  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A. z  e.  Y  ( ( ( 0g `  G )  .(+)  z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( u  .(+)  ( v 
.(+)  z ) ) ) ) ) )
999, 97, 98sylanbrc 664 1  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113   (/)c0 3785    _I cid 4790    X. cxp 4997    |` cres 5001    o. ccom 5003   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   0gc0g 14691   Grpcgrp 15723    GrpHom cghm 16059    GrpAct cga 16122   SymGrpcsymg 16197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-tset 14570  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-ghm 16060  df-ga 16123  df-symg 16198
This theorem is referenced by:  symgga  16226
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